The optimization problem in a spin chain on the basis of Shr¨odinger equation is considered. The hamiltonian of the equation contains a combination of linear and nonlinear controls. Using the the degenerate problems theory, the problem is reduced to a regular derived problem. This transformation essentially increases the effectiveness of its investigation by iterative methods. The procedure is demonstrated in computational experiments with the use of visual example.
optimal control, spin chain, degenerate problems, turnpike solution, global improvement method.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-01-00256-а).
Введение
Рассматривается задача оптимизации процессов в спиновой цепочке, описываемых уравнением Шредингера, гамильтониан которого содержит два управления и линейно зависит от одного из них. Квантовые системы такого рода [1, 2] в случае одного управления успешно исследовались с помощью нелокального итерационного метода В.Ф. Кротова [3,4].
В [5] на представительном классе задач управления квантомеханическими системами с учетом их вырожденности показана высокая эффективность априорного преобразования задач с одним линейным управлением к производным задачам меньшего порядка, известного из теории вырожденных задач, благодаря возможности его выполнения в общей аналитической форме. В частности, таким путем получено полное решение в форме оптимального синтеза известной задачи управления на модели Ландау–Зинера 4-го порядка, которая ранее решалась лишь численными итерационными методами В данной работе предлагается применять такой подход и в случае двух управлений [6]. Процедура преобразования при этом усложняется, однако остается аналитической и приводит к регулярной для рассматриваемого метода Кротова задаче, линейной относительно состояния с управляемыми коэффициентами. В отличие от предшествующих работ [7,8], где использовалось семейство производных систем с нелинейным исходным управлением в качестве параметра, здесь применяется более радикальное преобразование к единственной производной задаче, но с большим числом новых управлений.
Постановка задачи и последующее преобразование к производной задаче выполняется в комплексных переменных, в которых традиционно записывается уравнение Шредингера, что делает его компактным и наглядным и в целом отвечает традициям математической физики квантовых систем. Переход к действительным переменным производится на этапе реализации итерационных процедур в вычислительных экспериментах.
1. Krotov V. F. Ob optimizatsii upravleniya kvantovymi sistemami. Dokl. RAN, 2008. T. 423, № 3, c. 316–319.
2. Krotov V. F. Upravlenie kvantovymi sistemami i nekotorye idei teorii optimal´nogo upravleniya. Avtomatika i telemekhanika, 2009, № 3, c. 15–23.
3. Krotov V. F., Bulatov A. V., Baturina O. V. Optimizatsiya lineynykh sistem s upravlyaemymi koeffitsientami. Avtomatika i telemekhanika, 2011, № 6, c. 64-78.
4. Baturina O. V., Morzhin O. V. Optimal´noe upravlenie sistemoy spinov na osnove metoda global´nogo uluchsheniya. Avtomatika i telemekhanika, 2011, № 6, c. 79–86.
5. Gurman V. I. Magistral´nye resheniya v zadachakh optimal´nogo upravleniya kvantomekhanicheskimi sistemami. Avtomatika i telemekhanika, 2011, № 6, c. 115–126.
6. Murphy M., Montangero S., Giovannetti V., Calarco T. Communication at the quantum speed limit along a spin chain. Phys. Rev. Lett., 2010, no. 6, http: //arxiv.org/pdf/1004.3445.
7. Gurman V. I., Rasina I. V., Baturina O. V. Optimization of Excitation Transfer in a Spin Chain. Periodic Control Systems. - University of Caen Basse-Normandie, Caen, France, 2013. Vol.5, no. 1, p. 177–180.
8. Gurman V. I., Rasina I. V., Fes´ko O. V. O prakticheskikh preobrazovaniyakh vyrozhdennykh zadach optimal´nogo upravleniya. Programmnye sistemy: teoriya i prilozheniya: elektron. nauchn. zhurn., 2013. T. 4, № 2(16), http://psta.psiras.ru/read/psta2013_2_71-82.pdf, c. 71–82.
9. Gurman V. I. Vyrozhdennye zadachi optimal´nogo upravleniya. M. : Nauka, 1977. – 304 c.
10. Gurman V. I. Magistral´nye resheniya v protsedurakh poiska optimal´nykh upravleniy. Avtomatika i telemekhanika, 2003, № 3, c. 61–71.
11. Gurman V. I. Printsip rasshireniya v zadachakh upravleniya. M. : Nauka. Fizmatlit, 1997. –– 288 c.
12. Trushkova E. A. Ob odnom klasse zadach upravleniya dlya kvantovykh sistem. Avtomatika i telemekhanika, 2013, № 1, c. 35–46.
