Дезинтеграторы являются наиболее эффективным оборудованием для помола малоабразивных материалов [1].
Математическое описание процесса движения частицы материала в междурядном пространстве дезинтегратора [2] с переменным междурядным расстоянием S, которое периодически изменяется от значения Smin до Smax будем описывать следующим уравнением:
где m – масса частицы материала; ϑ – скорость движения частицы материала в междурядном пространстве; F – сила, действующая на частицу материала; t– текущее время.
В междурядном пространстве из-за неравенства скоростей движения возникают касательные ϭ напряжения, действующие на частицу материала, которые с силой F связаны соотношением:
F = ϭ A, (2)
здесь A– площадь поперечного сечения частицы, в случае её сферической формы:
гдеd – диаметр частицы материала.
Согласно результату работы [3] величина касательных напряжений в междурядном пространстве определяется следующим соотношением:
где μ – коэффициент псевдовязкого измельчения потока, величина которого согласно работы [3] равна 2618 Па∙с; S – величина междурядного расстояния; ϑ – скорость движения частицы в междурядном потоке.
В силу периодического изменения междурядного расстояния можно записать следующее соотношение:
здесь S0 – амплитуда изменения междурядного расстояния; υ – частота изменения междурядного расстояния.
Значения параметров S0 и υ можно найти, если задаться следующими начальными условиями (см. рис.1)
при t = 0,
S = Smax; (6)
при t = ,
S = Smin, (7)
гдеω – частота вращения роторов дезинтегратора.
На основании соотношений (6) и (7) находим:
S0= Smax; (8)
υ=arccos(). (9)
Подстановка (8) и (9) в (5) позволяет получить следующий результат:
S = Smax cos(), (10)
где введено следующее обозначение:
α = arccos(). (11)
В случае сферической формы частицы массу последней представим в следующем виде:
m= ρ (12)
здесь ρ – плотность частицы материала.
Подстановка (2) и (12) в (1) с учетом (3) и (4) позволяет получить следующее уравнение:
= . (13)
Запишем соотношение, связывающее частоту вращения ротора дезинтегратора с углом поворота φ и временем t:
φ = ωt . (14)
На основании (14) с учетом (10) уравнение (13) принимает следующий вид:
ω = . (15)
C математической точки зрения уравнение (15) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Разделение переменных в (15) приводит к следующему результату:
= γ , (16)
где введем следующее обозначение:
γ = . (17)
Интегрирование уравнения (16) в определенных пределах позволяет получить следующее соотношение:
= γ , (18)
где ϑ0 иϑk – начальное и конечное значение скорости в области переменного сечения.
Вычислим:
= = = = =
= = - ln . (19)
Подстановка (19) в (18) позволяет получить следующее соотношение:
= -γ1 ln, (20)
где введено следующее обозначение:
γ1 = . (21)
Применив операцию потенцирования к соотношению (20) находим, что:
ϑk = . (22)
Разрушение частицы материала в области с переменным междурядным расстоянием (10) будет осуществляться в случае выполнения следующего неравенства [4]:
∆E ≥ , (23)
где E – модуль Юнга для материала измельчаемой частицы; ϭр – значение растягивающего напряжения, которое приводит к разрушению частицы материала; ∆E – изменение кинетической энергии частицы материала при движении последней в области междурядного пространства дезинтегратора с переменным расстоянием. Величина данного изменения равна:
∆E = (ϑk2 – ϑ02). (24)
Подстановка (24) в (23) с учетом (12) и (21) позволяет получить следующий результат:
≥ . (25)
Если предположить, что в междурядном пространстве значение скорости частицы материала ϑ0 совпадает со значением окружной скорости потока, тогда:
ϑ0 = ωRp, (26)
где Rp – расстояние от оси вращения роторов до рассматриваемого ряда ударных элементов.
На основании (26) получаем следующий результат:
Rp≥ , (27)
где величина определяется соотношением:
p = . (28)
Таким образом, полученные соотношения (27) и (28) определяют радиальный размер области междурядного пространства дезинтегратора с переменным расстоянием (10), в которой возможно разрушение частиц материала под действием возникающего напряжения (4). На рис. 2 представлена зависимость радиального размера переменной области от отношения минимального междурядного расстояния к максимальному.
