In this paper, an analytical expression that indicates the radial size of the inter-row space disintegrator with a periodically varying length, which can be destroyed by the action of the particles of the material occurring voltage. It presents the design scheme for determining the radial dimension of the area under consideration grinding chamber.
disintegrator, intercropping space particle.
Дезинтеграторы являются наиболее эффективным оборудованием для помола малоабразивных материалов [1].
Математическое описание процесса движения частицы материала в междурядном пространстве дезинтегратора [2] с переменным междурядным расстоянием S, которое периодически изменяется от значения Smin до Smax будем описывать следующим уравнением:
где m – масса частицы материала; ϑ – скорость движения частицы материала в междурядном пространстве; F – сила, действующая на частицу материала; t– текущее время.
В междурядном пространстве из-за неравенства скоростей движения возникают касательные ϭ напряжения, действующие на частицу материала, которые с силой F связаны соотношением:
F = ϭ A, (2)
здесь A– площадь поперечного сечения частицы, в случае её сферической формы:
гдеd – диаметр частицы материала.
Согласно результату работы [3] величина касательных напряжений в междурядном пространстве определяется следующим соотношением:
где μ – коэффициент псевдовязкого измельчения потока, величина которого согласно работы [3] равна 2618 Па∙с; S – величина междурядного расстояния; ϑ – скорость движения частицы в междурядном потоке.
В силу периодического изменения междурядного расстояния можно записать следующее соотношение:
здесь S0 – амплитуда изменения междурядного расстояния; υ – частота изменения междурядного расстояния.
Значения параметров S0 и υ можно найти, если задаться следующими начальными условиями (см. рис.1)
при t = 0,
S = Smax; (6)
при t = ,
S = Smin, (7)
гдеω – частота вращения роторов дезинтегратора.
На основании соотношений (6) и (7) находим:
S0= Smax; (8)
υ=arccos(). (9)
Подстановка (8) и (9) в (5) позволяет получить следующий результат:
S = Smax cos(), (10)
где введено следующее обозначение:
α = arccos(). (11)
В случае сферической формы частицы массу последней представим в следующем виде:
m= ρ (12)
здесь ρ – плотность частицы материала.
Подстановка (2) и (12) в (1) с учетом (3) и (4) позволяет получить следующее уравнение:
= . (13)
Запишем соотношение, связывающее частоту вращения ротора дезинтегратора с углом поворота φ и временем t:
φ = ωt . (14)
На основании (14) с учетом (10) уравнение (13) принимает следующий вид:
ω = . (15)
C математической точки зрения уравнение (15) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Разделение переменных в (15) приводит к следующему результату:
= γ , (16)
где введем следующее обозначение:
γ = . (17)
Интегрирование уравнения (16) в определенных пределах позволяет получить следующее соотношение:
= γ , (18)
где ϑ0 иϑk – начальное и конечное значение скорости в области переменного сечения.
Вычислим:
= = = = =
= = - ln . (19)
Подстановка (19) в (18) позволяет получить следующее соотношение:
= -γ1 ln, (20)
где введено следующее обозначение:
γ1 = . (21)
Применив операцию потенцирования к соотношению (20) находим, что:
ϑk = . (22)
Разрушение частицы материала в области с переменным междурядным расстоянием (10) будет осуществляться в случае выполнения следующего неравенства [4]:
∆E ≥ , (23)
где E – модуль Юнга для материала измельчаемой частицы; ϭр – значение растягивающего напряжения, которое приводит к разрушению частицы материала; ∆E – изменение кинетической энергии частицы материала при движении последней в области междурядного пространства дезинтегратора с переменным расстоянием. Величина данного изменения равна:
∆E = (ϑk2 – ϑ02). (24)
Подстановка (24) в (23) с учетом (12) и (21) позволяет получить следующий результат:
≥ . (25)
Если предположить, что в междурядном пространстве значение скорости частицы материала ϑ0 совпадает со значением окружной скорости потока, тогда:
ϑ0 = ωRp, (26)
где Rp – расстояние от оси вращения роторов до рассматриваемого ряда ударных элементов.
На основании (26) получаем следующий результат:
Rp≥ , (27)
где величина определяется соотношением:
p = . (28)
Таким образом, полученные соотношения (27) и (28) определяют радиальный размер области междурядного пространства дезинтегратора с переменным расстоянием (10), в которой возможно разрушение частиц материала под действием возникающего напряжения (4). На рис. 2 представлена зависимость радиального размера переменной области от отношения минимального междурядного расстояния к максимальному.
1. Khint I.A. Osnovy proizvodstva silikal´tsitnykh izdeliy. M.: Stroyizdat, 1962. 636 s.
2. Bogdanov V.S., Semikopenko I.A., Maslovskaya A.N., Aleksandrova E.B. Dezintegrator s povyshennymi nagruzkami na izmel´chaemyy material. Stroitel´nye i dorozhnye mashiny. 2009. №5. S. 51–54.
3. Danilov R.G. Gipoteza mekhanizma tonkogo izmel´cheniya v rotornykh mel´nitsakh s zubchatopodobnym zatsepleniem// Promyshlennost´ stroymaterialov i stroyindustriya. Energo - i resursosberezhenie v usloviyakh rynochnykh otnosheniy: Sb. dokl. Mezhdunar. konf. Ch.4. Belgorod, 1997. S. 164–168.
4. Kukhling X. Sppavochnik po fizike. M., Mir, 1985. 196 s.
