Envelope of a Family of Curves

A. Girsh

doi:doi:10.12737/22839

Envelope of a Family of Curves

Published в Geometry & Graphics · Volume 4, Issue 4, 2016 · Pages 14–18 · Rubrics: Scientific problems of geometry

DOI 10.12737/22839

Received: 24.11.2016 Accepted: 19.12.2016 Published: 19.12.2016 Language of publication: RUS

Authors

A. Girsh ¹

1 Kassel'skiy universitet
Kassel', Germany

ABSTRACT

A one-parameter family of algebraic curves has an envelope line, which may be imaginary in certain cases. Jakob Steiner was right, considering the imaginary images as creation of analysis. In the analysis a real number is just a part of a complex number and in certain conditions the initial real values can give an imaginary result. But Steiner was wrong in denying the imaginary images in geometry. The geometry, in contrast to the single analytical space exists in several spaces: Euclidean geometry operates only on real figures valid and does not contain imaginary figures by definition; pseudo-Euclidean geometry operates on imaginary images and constructs their images, taking into account its own features. Geometric space is complex and each geometric object in it is the complex one, consisting of the real figure (core) having the "aura" of an imaginary extension. Thus, any analytical figure of the plane is present at every point of the plane or by its real part or by its imaginary extension. Would the figure’s imaginary extension be visible or not depends on the visualization method, whether the image has been assumed on superimposed epures – the Euclideanpseudo-Euclidean plane, or the image has been traditionally assumed only in the Euclidean plane. In this paper are discussed cases when a family of algebraic curves has an envelope, and is given an answer to a question what means cases of complete or partial absence of the envelope for the one-parameter family of curves. Casts some doubt on widely known categorical st

KEYWORDS

discriminant curve envelope line one-parameter set imaginary curve

Information Text References

Authors:

1. Kassel'skiy universitet

Kassel', Germany

Type:

Article

Pages:

from 14 to 18

Status:

Published

Language:

Russian

Keywords:

discriminant curve, envelope line, one-parameter set, imaginary curve

Text

Понятие огибающей линии присутствует в инженерной терминологии и практике. Часто огибающая линия ассоциируется со следом движущейся кривой линии, но это не совсем корректно. Понятие огибающей линии связано с понятием однопараметрического семейства линий. «Однопараметрическое» предполагает, что некоторая линия не просто график, а имеет уравнение, содержащее величину с переменным значением. Кроме того, предполагается, что уравнение алгебраическое и рассматривается над полем комплексных чисел, т.е. допускается, что функция может принимать комплексные значения. А комплексные значения в анализе дают мнимый образ в геометрии. Мы затронули эту тему в той связи, что в конструкциях огибающих линий могут появляться мнимые составляющие кривых образующего семейства. Мнимые составляющие и отвечают на вопрос, почему семейство линий, которое, казалось бы, не должно иметь огибающей, ее имеет, и объясняют случаи, когда огибающая частью или полностью становится невидимой. Визуализация мнимых образов реализуется нами на совмещенных эпюрах, на которых совмещаются график реальной фигуры с графиком мнимого образа той же фигуры [2; 3; 9; 11; 12].

References

1. Bronshteyn I.N. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashchikhsya vtuzov [Handbook of mathematics for engineers and students of technical colleges]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 544 p.

2. Brus D., Dzhiblin P. Krivye i osobennosti. Geometricheskoe vvedenie v teoriyu osobennostey [A geometric introduction to the theory of features]. Moscow, Mir Publ., 1988. 262 p.

3. Volkov V.Ya. Elementy matematizatsii teoreticheskikh osnov nachertatel´noy geometrii [elements mathematization of the theoretical foundations of descriptive geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 1, pp. 3-15. DOI:https://doi.org/10.12737/10453

4. Vygodskiy M.Ya. Spravochnik po vysshey matematike [Handbook of higher mathematics]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 872 p.

5. Girsh A.G. Kompleksnaya geometriya - evklidova i psevdoevklidova [Complex geometry - Euclidean and pseudo-Euclidean]. Moscow, «IPTs «Maska»» Publ,, 2013. 216 p.

6. Girsh A.G. Mnimosti v geometrii [Imaginaries in Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2014, V. 2, I. 2, pp. 3-8. DOI: 10. 12737/5583.

7. Girsh A.G. Naglyadnaya mnimaya geometriya geometrii [Transparent imaginary geometry geometry]. Moscow, «IPTs «Maska»» Publ., 2008. 213 p.

8. Zalgaller V.A. Teoriya ogibayushchikh [Theory of envelopes]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 105 p.

9. Ivanov G.S. O zadachakh nachertatel´noy geometrii s mnimymi resheniyami [On the tasks of descriptive geometry with imaginary solutions]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 2, pp. 3-8. DOI: 10. 127/12163.

10. Kleyn F. Elementarnaya geometriya s tochki zreniya vysshey [Elementary geometry from the point of view of the highest]. Moscow, Nauka Publ., 1987, V. 2, 416 p.

11. Savel´ev Yu.A. Grafika mnimykh chisel [Graphic imaginary numbers]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 1970, V. 1, I. 1, pp. 22-23. DOI:https://doi.org/10.12737/465

12. Seregin V.I. Mezhdistsiplinarnye svyazi nachertatel´noy geometrii i smezhnykh razdelov vysshey matematiki [Interdisciplinary communication descriptive geometry and adjacent sections of higher mathematics]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 3/4, pp. 8-12. DOI:https://doi.org/10.12737/2124

13. Khirsh M. (Hirsch M.W.), Immersion of manifolds, Trans. Amr. Math. Soc. 93, № 2 (1959), 242-276.

14. Glaeser G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. Wien: Springer Spektrum, 2014. 508 S.

15. Available at: http://www.math.24.ru/ogibayushchaya-semeystva-krivykh.html

16. Available at: http://www.anhirsch.de Anton Georgievich Girsh (Dr. A. Hirsch).

Доступ и загрузка

🗂 JATS XML ❝ To cite 📎 Citations

—

Views

—

Downloads

Citations

Индексируется в

RI RINC Indexing database

Indexing and databases

RINC →

Envelope of a Family of Curves

Confirmation

Регистрация