Vliyanie fil'tracii podzemnyh vod na prochnost' grunta neobhodimo uchityvat' pri proektirovanii tunneley i gidrotehnicheskih sooruzheniy. Pri prohozhdenii potoka suspenzii cherez poristuyu gornuyu porodu chast' tverdyh chastic zastrevayut v porah i obrazuyut osadok. Osazhdennye chasticy blokiruyut pory i vliyayut na intensivnost' potoka gruntovyh vod. V rabote rassmatrivaetsya odnomernaya matematicheskaya model' fil'tracii monodispersnoy suspenzii v neodnorodnoy poristoy srede. Predpolagaetsya, chto pri zaderzhanii tverdyh chastic suspenzii porami osnovnuyu rol' igraet mehaniko-geometricheskiy mehanizm zahvata chastic. Predlagaemaya model' uchityvaet izmenenie poristosti i pronicaemosti poristoy sredy pri obrazovanii osadka. Polucheno chislennoe reshenie zadachi metodom konechnyh raznostey.
suspenziya, poristaya sreda, zadacha fil'tracii, vzveshennye i osazhdennye chasticy, chislennoe modelirovanie.
Введение. При проектировании и строительстве оснований и фундаментов необходимо учитывать влияние фильтрации подземных вод на прочность грунта. Задача фильтрации суспензии в пористой среде описывает изменение характеристик горной породы при осаждении в порах твердых частиц [1–3].
Пористая среда – это твердое тело, содержащее тонкие полые каналы различной длины и поперечного сечения (поры). При прохождении потока суспензии (несущей жидкости с взвешенными частицами) через пористую среду некоторые частицы застревают в порах и образуют осадок. Геометрическая модель захвата частиц предполагает, что частицы застревают на входе малых пор, и беспрепятственно проходят через поры большого поперечного сечения.
Базовая модель фильтрации монодисперсной суспензии предполагает, что скорость частиц в пористой среде постоянна, и осадок не влияет на пористость и проницаемость пористой среды [4–6]. Более сложные модели фильтрации в однородной пористой среде учитывают изменение пористости и проницаемости при образовании осадка, и непостоянство скорости движения взвешенных частиц [7].
В ряде задач фильтрации найдено точное решение [7–9], в других строится асимптотика [10–14]. Если аналитическое решение отсутствует, для решения задачи используются численные методы [15–17].
В работе рассматривается математическая модель фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде, учитывающая изменение пористости и коэффициента фильтрации при образовании осадка. Суспензия постоянной концентрации впрыскивается в пористую среду, не содержащую взвешенных и осажденных частиц. Задача состоит в нахождении концентраций взвешенных и осажденных
частиц в пористой среде. Получено численное решение задачи методом конечных разностей [18].
Постановка задачи. Одномерная модель фильтрации суспензии в неоднородной пористой среде с изменяющейся пористостью и проницаемостью состоит из двух уравнений в частных производных
; (1)
. (2)
Здесь коэффициент фильтрации , пористость
и проницаемость пористой среды
являются непрерывными функциями,
неотрицательная,
и
строго положительны при
.
Система уравнений (1), (2) рассматривается в области .
Краевые условия для системы (1), (2) ставятся на входе фильтра и в начальный момент времени
:
, (3)
;
. (4)
Условия (3), (4) определяют единственное решение задачи в области W.
Подвижная граница области, заполненной частицами, и пустой части пористой среды называется фронтом концентраций взвешенных и осажденных частиц. Фронт концентраций является характеристической линией уравнения (1), выходящей из начала координат.
Поскольку условия (3) и (4) не согласованы в нуле, то согласно теории характеристик на фронте концентраций решение имеет сильный разрыв; а решение
– слабый разрыв (разрыв производных первого порядка). За фронтом концентрации в области
решение положительно
; перед фронтом в
задача (1)-(4) имеет нулевое решение
.
Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц распространяется в пористой среде с переменной скоростью
. (5)
Точное решение на входе фильтра. Уравнение (2) на входе фильтра имеет вид
. (6)
Делим обе частей уравнение (6) на
(7)
и интегрируем (7) относительно переменной
. (8)
Используя условие (4), преобразуем интеграл в левой части (8)
. (9)
Формула (9) задает концентрацию осажденных частиц на входе фильтра.
Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации называется блокирующим, если он положителен при
, и обращается в ноль при
. В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной
.
Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации называется блокирующим, если он положителен при
, и обращается в ноль при
. В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной
.
А) Для линейного блокирующего коэффициента фильтрации
, (10)
где , интеграл в левой части (9) вычисляется явно:
. (11)
Концентрация осажденных частиц на входе фильтра для коэффициента фильтрации (10) имеет вид
. (12)
Б) Для квадратичного блокирующего коэффициента фильтрации
(13)
интеграл (9) равен
.(14)
Зависимость от времени концентрации осажденных частиц на входе фильтра задается соотношением
. (15)
Формулы (12), (15) показывают, что функция монотонно возрастает и при больших значениях времени t стремится к предельному значению
.
На рис. 1 а), б) показаны графики концентрации осажденных частиц на входе фильтра для блокирующих коэффициентов фильтрации (12) и (15) для значения параметров .
Численный расчет. Расчет осуществляется методом конечных разностей. Для уравнения (1) применяется TVD-версия схемы Лакса-Вендроффа. Для уравнения (2) используется метод Рунге-Кутта второго порядка. Решение системы (1)-(4) получено в области . Шаг интегрирования по x:
, шаг по t:
. Схема удовлетворяет условию Куранта-Фридрихса-Леви:
.
Численный расчет задачи выполнен для коэффициентов уравнений (1), (2) ,
,
.
|
|
|
|
Рис. 1. a) Концентрация осажденных частиц |
б) Концентрация осажденных частиц |
На рис. 2 а) и б) представлены 3-D графики концентраций взвешенных и осажденных частиц.
|
|
|
|
Рис. 2. а) Концентрация взвешенных частиц |
б) Концентрация осажденных частиц |
|
|
|
Графики концентраций взвешенных частиц при фиксированном времени и при фиксированном расстоянии
изображены на рис. 3 а) и б).
|
|
|
|
Рис. 3. а) Концентрация взвешенных частиц |
б) Концентрация взвешенных частиц |
Графики концентраций осажденных частиц при фиксированном времени и при фиксированном расстоянии
изображены на рис. 4 а) и б).
|
|
|
|
Рис. 4. а) Концентрация осажденных частиц |
б) Концентрация осажденных частиц |
Заключение. В работе найдено численное решение одномерной задачи фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде. В отличие от стандартных моделей, рассматривающих однородную пористую среду, рассчитана задача, в которой пористость и коэффициент фильтрации зависят не только от концентрации осажденных частиц , но и от расстояния
до входа фильтра. Рис. 2 показывает, как взвешенные и осажденные частицы постепенно заполняют пористую среду, двигаясь от входа
к выходу
. Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц - граница раздела двух частей пористой среды - пустой и заполненной частицами движется со скоростью
, и в некоторый момент времени достигает выхода (рис. 2). В каждой точке
пористой среды происходит накопление осадка. Чем больше значение
, тем позже в эту точку доходит фронт концентраций и начинается образование осадка (рис. 2). С ростом осадка скорость прироста осажденных частиц уменьшается. С увеличением времени концентрация осажденных частиц стремится к предельному значению
. При больших временах накопление осадка прекращается и концентрация взвешенных частиц стремится к максимальному значению на входе пористой среды
.
1. Khilar K.C., Fogler H.S. Migrations of fines in porous media. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998. 180 p.
2. Santos A., Bedrikovetsky P., Fontoura S. Analytical micro model for size exclusion: Pore blocking and permeability reduction // Journal of Membrane Science. 2008. Vol. 308. №. 1. Pp. 115–127.
3. Civan F. Reservoir formation damage: fundamentals, modeling, assessment, and mitigation. Gulf Professional Publishing, 3nd ed., 2016. 1044 p.
4. Herzig J.P., Leclerc D.M., Legoff P. Flow of suspensions through porous media - application to deep filtration // Industrial and Engineering Chemistry. 1970. Vol. 62. Pp. 8–35.
5. Vyazmina E.A., Bedrikovetskii P.G., Polyanin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convective mass transfer // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. Vol. 41. Iss. 5. Pp. 556–564.
6. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Particle transportation at the filter inlet // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014. Vol. 10. Iiss.3. Pp. 17–22.
7. You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact Solution for Long-Term Size Exclusion Suspension-Colloidal Transport in Porous Media // Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol. 2013. Iss. "Mathematical and Computational Analyses of Flow and Transport Phenomena". 9 p.
8. Kuz'mina L.I., Osipov Yu. V. Raschet fil'tracii s dvumya mehanizmami zahvata chastic // Stroitel'naya mehanika i raschet sooruzheniy. 2017. № 1. S. 59–64.
9. L.I. Kuzmina, Yu.V. Osipov Calculation of filtration of polydisperse suspension in a porous medium // MATEC Web of Conferences. 2016. Vol. 86. №. 01005. 5 p.
10. You Z., Osipov Y., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic model for deep bed filtration // Chemical Engineering Journal. 2014. Vol. 258. Pp. 374–385.
11. Kuzmina L., Osipov Yu. Asymptotic solution for deep bed filtration with small deposit // Procedia Engineering. 2015. Vol. 111. Pp. 491–494.
12. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Deep Bed Filtration Asymptotics at the Filter Inlet // Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. Pp. 366–370.
13. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Asymptotic model of filtration in almost stationary mode // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2016. Vol. 12. Iss.1. Pp. 158–163.
14. Kuz'mina L.I., Osipov Yu.V. Asimptotika zadachi fil'tracii suspenzii v poristoy srede // Vestnik MGSU. 2015. № 1. S. 54–62.
15. Golubev V.I., Mihaylov D.N. Modelirovanie dinamiki fil'tracii dvuhchastichnoy suspenzii cherez poristuyu sredu // Trudy MFTI. 2011. T. 3. S. 143–147.
16. Galaguz Y.P., Safina G.L. Modeling of Particle Filtration in a Porous Medium with Changing Flow Direction // Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. Pp. 157–161.
17. Galaguz Y.P., Safina G.L. Modeling of fine migration in a porous medium // MATEC Web of Conferences. 2016. Vol. 86. №. 03003. 6 p.
18. Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Springer, Dordrecht, 2009. 724 p.
19. Galaguz Yu.P. Realizaciya TVD-shemy chislennogo resheniya zadachi fil'tracii // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. Vol. 13. Iss. 2. Pp. 93–102.
