Введение. При проектировании и строительстве оснований и фундаментов необходимо учитывать влияние фильтрации подземных вод на прочность грунта. Задача фильтрации суспензии в пористой среде описывает изменение характеристик горной породы при осаждении в порах твердых частиц [1–3].
Пористая среда – это твердое тело, содержащее тонкие полые каналы различной длины и поперечного сечения (поры). При прохождении потока суспензии (несущей жидкости с взвешенными частицами) через пористую среду некоторые частицы застревают в порах и образуют осадок. Геометрическая модель захвата частиц предполагает, что частицы застревают на входе малых пор, и беспрепятственно проходят через поры большого поперечного сечения.
Базовая модель фильтрации монодисперсной суспензии предполагает, что скорость частиц в пористой среде постоянна, и осадок не влияет на пористость и проницаемость пористой среды [4–6]. Более сложные модели фильтрации в однородной пористой среде учитывают изменение пористости и проницаемости при образовании осадка, и непостоянство скорости движения взвешенных частиц [7].
В ряде задач фильтрации найдено точное решение [7–9], в других строится асимптотика [10–14]. Если аналитическое решение отсутствует, для решения задачи используются численные методы [15–17].
В работе рассматривается математическая модель фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде, учитывающая изменение пористости и коэффициента фильтрации при образовании осадка. Суспензия постоянной концентрации впрыскивается в пористую среду, не содержащую взвешенных и осажденных частиц. Задача состоит в нахождении концентраций взвешенных и осажденных
частиц в пористой среде. Получено численное решение задачи методом конечных разностей [18].
Постановка задачи. Одномерная модель фильтрации суспензии в неоднородной пористой среде с изменяющейся пористостью и проницаемостью состоит из двух уравнений в частных производных
; (1)
. (2)
Здесь коэффициент фильтрации , пористость
и проницаемость пористой среды
являются непрерывными функциями,
неотрицательная,
и
строго положительны при
.
Система уравнений (1), (2) рассматривается в области .
Краевые условия для системы (1), (2) ставятся на входе фильтра и в начальный момент времени
:
, (3)
;
. (4)
Условия (3), (4) определяют единственное решение задачи в области W.
Подвижная граница области, заполненной частицами, и пустой части пористой среды называется фронтом концентраций взвешенных и осажденных частиц. Фронт концентраций является характеристической линией уравнения (1), выходящей из начала координат.
Поскольку условия (3) и (4) не согласованы в нуле, то согласно теории характеристик на фронте концентраций решение имеет сильный разрыв; а решение
– слабый разрыв (разрыв производных первого порядка). За фронтом концентрации в области
решение положительно
; перед фронтом в
задача (1)-(4) имеет нулевое решение
.
Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц распространяется в пористой среде с переменной скоростью
. (5)
Точное решение на входе фильтра. Уравнение (2) на входе фильтра имеет вид
. (6)
Делим обе частей уравнение (6) на
(7)
и интегрируем (7) относительно переменной
. (8)
Используя условие (4), преобразуем интеграл в левой части (8)
. (9)
Формула (9) задает концентрацию осажденных частиц на входе фильтра.
Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации называется блокирующим, если он положителен при
, и обращается в ноль при
. В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной
.
Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации называется блокирующим, если он положителен при
, и обращается в ноль при
. В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной
.
А) Для линейного блокирующего коэффициента фильтрации
, (10)
где , интеграл в левой части (9) вычисляется явно:
. (11)
Концентрация осажденных частиц на входе фильтра для коэффициента фильтрации (10) имеет вид
. (12)
Б) Для квадратичного блокирующего коэффициента фильтрации
(13)
интеграл (9) равен
.(14)
Зависимость от времени концентрации осажденных частиц на входе фильтра задается соотношением
. (15)
Формулы (12), (15) показывают, что функция монотонно возрастает и при больших значениях времени t стремится к предельному значению
.
На рис. 1 а), б) показаны графики концентрации осажденных частиц на входе фильтра для блокирующих коэффициентов фильтрации (12) и (15) для значения параметров .
Численный расчет. Расчет осуществляется методом конечных разностей. Для уравнения (1) применяется TVD-версия схемы Лакса-Вендроффа. Для уравнения (2) используется метод Рунге-Кутта второго порядка. Решение системы (1)-(4) получено в области . Шаг интегрирования по x:
, шаг по t:
. Схема удовлетворяет условию Куранта-Фридрихса-Леви:
.
Численный расчет задачи выполнен для коэффициентов уравнений (1), (2) ,
,
.
|
|
|
|
Рис. 1. a) Концентрация осажденных частиц |
б) Концентрация осажденных частиц |
На рис. 2 а) и б) представлены 3-D графики концентраций взвешенных и осажденных частиц.
|
|
|
|
Рис. 2. а) Концентрация взвешенных частиц |
б) Концентрация осажденных частиц |
|
|
|
Графики концентраций взвешенных частиц при фиксированном времени и при фиксированном расстоянии
изображены на рис. 3 а) и б).
|
|
|
|
Рис. 3. а) Концентрация взвешенных частиц |
б) Концентрация взвешенных частиц |
Графики концентраций осажденных частиц при фиксированном времени и при фиксированном расстоянии
изображены на рис. 4 а) и б).
|
|
|
|
Рис. 4. а) Концентрация осажденных частиц |
б) Концентрация осажденных частиц |
Заключение. В работе найдено численное решение одномерной задачи фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде. В отличие от стандартных моделей, рассматривающих однородную пористую среду, рассчитана задача, в которой пористость и коэффициент фильтрации зависят не только от концентрации осажденных частиц , но и от расстояния
до входа фильтра. Рис. 2 показывает, как взвешенные и осажденные частицы постепенно заполняют пористую среду, двигаясь от входа
к выходу
. Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц - граница раздела двух частей пористой среды - пустой и заполненной частицами движется со скоростью
, и в некоторый момент времени достигает выхода (рис. 2). В каждой точке
пористой среды происходит накопление осадка. Чем больше значение
, тем позже в эту точку доходит фронт концентраций и начинается образование осадка (рис. 2). С ростом осадка скорость прироста осажденных частиц уменьшается. С увеличением времени концентрация осажденных частиц стремится к предельному значению
. При больших временах накопление осадка прекращается и концентрация взвешенных частиц стремится к максимальному значению на входе пористой среды
.
