Russian Federation
New settlement dependences for expression of «not undertaking» elliptic integrals through elementary functions (with a margin error to 1–2%), received at the decision of various engineering problems hydro- and aerodynamics, the building physics, the theory of a filtration, mechanics of the continuous environment, thermal dynamics, etc. are given. In particular, on the basis of the approximately-hydromechanical decision analytical dependences for direct calculation value of incomplete elliptic integrals of 2nd sort are received. Thus their range of definition is expanded from an individual interval of a material axis to all numerical axis and to the top complex semiplane that opens new possibilities for researches of more challenges of engineering practice.
elliptic integral, full elliptic integral, incomplete ellipticintegral, complex variable, conformal displays, length of ellipse.
Эллиптические (неполные) интегралы 1-го и 2-го рода, F(ϕ,λ) и (ϕ,λ), соответственно, в функции от комплексной амплитуды ϕ = ϕ1 + iϕ2 и модуля интеграла λ = sinα, где ϕ1, ϕ2 — координаты комплексной полуплоскости (рис. 1, г) и α — модулярный угол, широко используются при решении множества инженерных задач гидро- и аэродинамики, строительной физики, теории фильтрации, механики сплошной среды, теплодинамики и др. [1–3] В то же время рассматриваемые интегралы в общем виде не выражаются через элементарные функции («неберущиеся»), и вычисление их значений представляет собой трудоемкую задачу, связанную с итерационными подсчетами по методам понижающего преобразования Ландена, арифметико-геометрического среднего и др. [1, 3, 4] Для практических же расчетов их значений составлены специальные графики и таблицы (впервые, еще Лежандром в 1830-х гг.), в которых амплитуда (в градусах) ϕ0 = arcsinϕ и модулярный угол α изменяются через интервалы: 1°, 2°, 5° и др. [3–5] Пользование же последними вызывает затруднения, связанные с необходимостью применения нелинейной интерполяции по двум направлением [4] и т.д. При этом значения эллиптических интегралов определяются только лишь на единичном интервале вещественной оси АВ ( 0 ≤ ϕ1 ≤ 1, ϕ2 = 0) без возможности нахождения их во всей комплексной полуплоскости ϕ = ϕ1 + iϕ2 (см. рис. 1, г). Указанное существенно ограничивает возможности выявления внутренних взаимосвязей исходных факторов в рассматриваемых задачах и оценки их влияния на итоговые результаты решения, что сдерживает дальнейшее развитие аналитических методов исследований более сложных задач и т.д.
1. Anakhaev K.N. O metodakh rascheta potentsial´nykh (fil´tratsionnykh) potokov na osnove ellipticheskikh integralov Yakobi. Gidrotekhnicheskoe stroitel´stvo. 2008. № 8. S. 7–9.
2. Anakhaev K.N. O sovershenstvovanii gidromekhanicheskikh metodov rascheta potentsial´nykh (fil´tratsionnykh) potokov. Inzhenernye sistemy – 2009. Tr. mezhdunar. nauch.-prakt. konf. T. 2. M.: RUDN, 2009. S. 588–595.
3. Volkovinskiy L.I., Lunts G.L., Aramanovich I.G. Sbornik zadach po teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo. M.: Nauka, 1975. 319 s.
4. Lavrent´ev M.A., Shabat B.V. Metody teorii funktsiy kompleksnogo peremennogo. M.: Nauka, 1973. 736 s.
5. Lavrik V.I., Savenkov V.N. Spravochnik po konformnym otobrazheniyam. Kiev: Naukova dumka, 1970. 252 s.
6. Miln-Tompson L. Ellipticheskie integraly. Spravochnik po spetsial´nym funktsiyam: per. s angl. M.: Nauka, 1979. S. 401–441.
7. Sikorskiy Yu.S. Elementy teorii ellipticheskikh funktsiy (s prilozheniyami k mekhanike). M.–L., 1936. 365 s.
8. [8] Yanke E., Emde F., Lesh F. Spetsial´nye funktsii: per. s nem. M.: Nauka, 1977. 342 s.
