Для расчета тонкой изгибаемой плиты на локальные и разрывные нагрузки в работе использовались обобщённые уравнения метода конечных разностей (МКР). Численное решение сводится к составлению разностных уравнений, которые позволяют учитывать конечные разрывы искомой функции, правой части исходных дифференциальных уравнений, а также – разрывы производных функций. Решены следующие задачи: шарнирно опёртая плита, загруженная равномерно распределённой нагрузкой с опорой в центре и на 4-х опорах. При этом исследовался вопрос сходимости решения. Расчёт проводился при разном числе разбиений. Результаты сравнивались с известным решением [1].
Дифференциальные уравнения изгиба тонкой изотропной плиты [1] запишем в безразмерном виде:
(1)
(2)
где 
– интенсивность нагрузки в какой-либо точке; 
– коэффициент Пуассона;
– цилиндрическая жесткость; 
– сторона плиты; 
–прогиб.
Численные аналоги уравнений (1), (2) [2] на квадратной сетке с шагом h:
(3)
(4)
Часть (фрагмент) сетки, на которой строится решение показана на рис.1.
Рис 1. Шаблон с расчётными точками
Безразмерные изгибающие моменты определяются по формулам:
(5)
(6)
Для квадратной плиты в центральной точке 1:
(7)
Уравнения (1) и (2), записанные для всех внутренних точек плиты с учетом граничных условий, позволяют определить напряженно-деформированное состояние.
1. Рассмотрим квадратную шарнирно опёртую по контуру плиту с опорой в центре на действие равномерно распределённой нагрузки q=1. Для решения задачи реакцию, возникающую в колонне, заменим нагрузкой типа «крест» распределённой по линейному закону с максимальной интенсивностью r. Таким образом, задача сводится к расчёту плиты на совместное действие равномерно
распределённой нагрузки и нагрузки типа «крест», расположенной в центре и направленной в противоположную сторону. Данная нагрузка будет учтена в виде скачка равного величине r:
. При шарнирном опирании на контуре:
Принимаем 
.
Запишем уравнения (3) и (4) для каждой из шести расчетных точек плиты. Прогиб в центральной точке равен нулю, а неизвестной будет являться величина скачка r. Для дальнейших вычислений удобнее точки обозначать одним индексом, расчетная схема показана на рис. 2, в силу симметрии изображена только четверть плиты, на рис. 3 показана центральная часть плиты с изображением нагрузки типа «крест».
Рис. 2. Четверть расчетной схемы к задаче 1.
Рис. 3. Аппроксимация реакции в центральной точке
Приведем в качестве иллюстрации решения уравнения (3) и (4) для точек 1 и 2, где 
учитывает полосовую нагрузку.
(8)
Откуда
,
где
(9)
Безразмерные изгибающие моменты вычисляются по (5) с учётом (6) и (7) при 
:
(10)
(11)
Выполним расчет, следуя методике [1]. Под равномерной нагрузкой интенсивностью q пластинка вызовет в колонне реакцию R. Устранив из системы колонну получим шарнирно опёртую квадратную плиту, несущую лишь заданную нагрузку q, прогибы производимые этой нагрузкой - 
. Далее устранив нагрузку q и проложив в центре сосредоточенную силу получим прогибы 
. Из условия что пластинка в центральной точке не прогибается получим значение реакции 
. Значения моментов в расчётных точках получены методом суперпозиции.
В таблице приведены значения изгибающих моментов на опоре и в четверти пролёта, а также значение реакции в колонне при разном числе разбиения. Одновременно расчет выполнялся МКЭ с использованием программного комплекса ЛИРА-САПР 2013 R3.
Таблица 1
Результаты расчёта задачи 1
|
|
R |
|
Изгибающий момент в четверти пролёта |
|
|
1/4 |
-0.2946 |
-0.0261 |
||
|
1/6 |
-0.3170 |
-0.0443 |
|
|
|
1/8 |
-0.3283 |
-0.0570 |
0.001 |
0.0192 |
|
МКЭ |
- |
-0.0482 |
0.0009 |
0.019 |
|
по [1] |
-0.3584 |
-0.0588 |
0.0004 |
0.0174 |
Расчет проводился на сетке с разным шагом. Из таблицы видно, что полученные значения R на опоре увеличиваются с уменьшением шага. Особенность в центральной точке связана с характером сосредоточенного воздействия на плиту.
2. Рассмотрим теперь квадратную шарнирно опёртую плиту на четырёх опорах, на действие равномерно распределённой нагрузки q=1. Расчетная схема представлена на рис. 4. Система разрешающих уравнений аналогична первой задаче, за исключением того, что скачки учитываются в точке 4, а не в точке 1. Откуда получаем решение:
Безразмерные изгибающие моменты вычисляются по (5) с учётом (6) и (7) при 
:
(12)
(13)
В таблице приведены значения изгибающих моментов при разном числе разбиения.
Рис. 4. Четверть расчетной схемы к задаче 2
Таблица 2
Результаты расчёта задачи 2
|
|
h=1/6 |
h=1/9 |
||
|
№ точки |
4 |
5 |
6 |
момент на опоре |
|
|
-0.0109 |
0.00018 |
0.0066 |
-0.0168 |
|
МКЭ |
-0.0119 |
0.00018 |
0.0054 |
-0.0119 |
|
|
-0.0109 |
0.0095 |
0.0066 |
- |
|
МКЭ |
-0.0119 |
0.0079 |
0.0054 |
- |
Анализ результатов, приведенных в таблице 2, показывает, что при достаточно редком разбиении значения изгибающих моментов в расчетных точках близки к значениям полученным методом конечных элементов. Относительная погрешность момента в точке 4 (на опоре) при h=1/6 составляет 9 %. Это позволяет судить о сходимости результата на минимальной сетке. Предложенный алгоритм решения можно использовать как дополнительный вариант расчета, наряду с другими методами.
Выводы. Решение тестовых задач на ряде сеток и использование принципа суперпозиции позволило подтвердить достоверность полученных результатов и решить новые задачи о расчете безбалочного перекрытия.
