Sankt-Peterburg, St. Petersburg, Russian Federation
While using conventional tools for solving geometric problems, it is difficult to obtain and analyze results where imaginary geometric images appear. Despite the recognition of legitimacy and scientific value of imaginary solutions presenting in geometric constructions, the question on such solutions’ appropriateness and practical feasibility remains no completely clear up till now. That’s why, for most practitioners imaginary solutions are presented as something unattainable or unimportant. However, the introduction of imaginary geometric images into the practice of geometric modeling makes it possible to obtain solutions in an exhaustiveness, to develop unified algorithms for solving problems that were usually presented as either not solvable or reduced to solutions in partial settings. The use of computer technologies and the paradigm of constructive geometric modeling allow eliminate this problem’s acuteness, and direct efforts both at geometric theory’s improvement and introduction of scientific achievements in this area at the field of practical applications. Automation means for geometric experiment make it possible to find new regularities in seemingly well-known mathematical facts, to come to more general understanding of geometric concepts and images. This paper is devoted to analysis of some geometric schemes and to discussion of arising from it questions related to the theory of second-order curves creation by the methods of constructive synthesis. In the paper it has been demonstrated that the currently used definitions of second-order curves’ center and diameters contradict the principle of conics indistinguishability in projective geometry. The ways for eliminating of these contradictions have been proposed, and a unified algorithm for the second-order curves’ foci creation has been developed based on these ways.
geometric modeling, second-order curve, conic, focus, Simplex.
Принципы определения фокальных точек кривых второго порядка освещены в научной и педагогической литературе столь широко и подробно, что попытка отыскать в этом вопросе что-то новое и значимое может вызвать у читающего эти строки глубокое удивление и недоумение [1–3; 5; 12; 13; 15–30]. И все же статья, представляемая на суд читателей, призывает обратить внимание на, казалось бы, хорошо известные факты и устоявшиеся представления с несколько иной точки зрения, нежели это принято делать в математической литературе. Рассуждения предполагается проводить без использования аналитического аппарата математики с опорой на конструктивно-геометрические свойства исследуемых образов и их свойств. Эти рассуждения, основывающиеся на аппарате проективной геометрии, позволят вскрыть ряд противоречий в ныне существующих определениях, относящихся к кривым второго порядка, а их устранение предоставит возможность разработать единый подход к построению некоторых геометрических образов, инициируемых кривыми второго порядка, и дать им общее конструктивное обоснование. Как известно, аффинная геометрия, не оперирующая понятием бесконечности, различает несколько видов кривых второго порядка, среди которых в дальнейшем нас будут интересовать в особенности эллипс и гипербола. С точки зрения проективной геометрии, кривые второго порядка не различаются, вследствие чего алгоритмы получения тех или иных образов, ассоциированных с понятием конического сечения, также не различаются. Тем более удивительным становится тот факт, что вопросы геометрического обоснования таких образов, как фокальные точки коник, в проективной геометрии остались без должного внимания, а известные схемы построения этих точек трактуются исходя из метрических соображений и разнятся для эллипсов и гипербол. Такое положение дел нельзя называть удовлетворительным, в особенности, если неполные, а иногда и противоречивые теоретические положения закладываются в основу средств автоматизации процедур геометрического моделирования, поскольку на практике это приводит к нарушению системности и стабильности работы этих средств. Именно такое положение сложилось с интерпретацией кривых второго порядка при разработке системы Симплекс [10], предназначенной для синтеза конструктивных геометрических моделей не только с привлечением аппарата проективной геометрии, но и оперирующей мнимыми образами, которые неизбежно в этой геометрии возникают. Многочисленные эксперименты и анализ получаемых геометрических схем, проведенные с помощью этой системы [7–9], позволили сделать вывод о том, что некоторые определения, связанные с трактовкой кривых второго порядка, положенные в основу геометрической теории, некорректны. В частности, неверно трактуются понятие центра кривой второго порядка и отсутствие у эллипса второго главного диаметра. Переосмысление этого геометрического феномена и принятие за основу определений в новой трактовке позволяют выработать единый подход к решению задач с участием кривых второго порядка и унифицировать связанные с этими задачами функции системы геометрического моделирования. Обычно под центром кривой второго порядка понимают полюс в индуцируемом этой кривой полярном преобразовании бесконечно удаленной прямой, принимаемой за поляру [20]. Это определение в равной степени применяется для отыскания центров невырожденных кривых второго порядка: как эллипсов и окружностей, так и гипербол в аффинной трактовке. Как известно, любое коллинеарное преобразование, определенное в плоскости, переводит точку в точку, прямую линию в прямую линию и конику в конику. При этом свойство инцидентности объектов-оригиналов и их образов сохраняется, а метрические свойства объектов в общем случае — нет.
1. Adamar J. Jelementarnaja geometrija. Chast' I. Planimetrija [Elementary geometry. Part I. Planimetry]. Moscow, Uchpedgiz Publ., 1948. 608 p. (in Russian)
2. Akopyan A.V., Zaslavskiy A.A. Geometricheskie svoystva krivyih vtorogo poryadka [Geometric properties of secondorder curves]. Moscow, MTsNMO Publ., 2007. 136 p. (in Russian)
3. Argunov B.I., Balk M.B. Geometricheskie postroenija na ploskosti [Geometric constructions on the plane]. Moscow, Uchpedgiz Publ., 1957. 268 p. (in Russian)
4. Belotserkovskiy D.L. Krivye vtorogo porjadka na ploskosti [Second-order curves on the plane]. Moscow, Gubkin Russian state University of oil and gas Publ., 2009. 42 p. (in Russian)
5. Berger M. Geometrija [Geometry]. Moscow, Mir Publ. 368 p. (in Russian)
6. Vasin S. I., Ivanov V. I. Analiticheskaja geometrija [Analytical geometry]. Moscow, Gubkin Russian state University of oil and gas, 2010. 60 p. (in Russian)
7. Voloshinov D.V. Geometricheskaja laboratorija. Zakladyvaem osnovy [Geometric laboratory. Found the groundwork]. VII Mezhdunarodnaya internet-konferentsiya KGP-2017 [VII international online conference, HACO-2017]. Available at: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/53 (in Russian)
8. Voloshinov D. V. Geometricheskaja laboratorija. Instrumenty ortogonal'nosti [Geometric laboratory. Tools of orthogonality]. VII Mezhdunarodnaya internet-konferentsiya KGP-2017 [VII international online conference, HACO-2017]. Available at: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/72 (in Russian)
9. Voloshinov D. V. Geometricheskaja laboratorija. Novyj geometricheskij instrument [Geometric laboratory. New geometric tool]. VII Mezhdunarodnaya internet-konferentsiya KGP-2017 [VII international online conference, HACO- 2017]. Available at: http://dgng.pstu.ru/conf2017/papers/60 (in Russian)
10. Voloshinov D.V. Konstruktivnoe geometricheskoe modelirovanie. Teorija, praktika, avtomatizacija [Constructive geometric modeling. Theory, practice, automation]. Saarbrücken, Lambert Academic Publ., 2010. 355 p. (in Russian)
11. Volberg A.O. Osnovnye idei proektivnoj geometrii [Basic ideas of projective geometry]. Moscow-Leningrad, Uchpedgiz Publ., 1949. 188 p (in Russian)
12. Gil'bert D., Kon-Fossen S. Naglyadnaya geometriya [Visual Geometry]. Moscow, Nauka Publ., 1981. (in Russian)
13. Hirsh A.G. Fokusy algebraicheskih krivyh [Foci of algebraic curves]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, pp. 4–17. (in Russian)
14. Glagolev N.A. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. Moscow, Vysshaya shkola Publ.,1963. 342 p. (in Russian)
15. Dorfman A.G. Optika konicheskih sechenij [Optics of conical sections]. Moscow, Fizmatgiz. Publ., 1959. 32 p. (in Russian)
16. Ignatiev Yu.G., Agafonov A.A. Analiticheskaja geometrija evklidovogo prostranstva [Analytical geometry of Euclidean space]. Kazan: Kazan University Publ., 2014. 204 p. (in Russian)
17. Korn G. Harakteristicheskaja kvadratichnaja forma i harakteristicheskoe uravnenie [Characteristic quadratic form and characteristic equation]. Spravochnik po matematike [Handbook of mathematics]. Moscow, Nauka Publ., 1978. P. 64. (in Russian)
18. Korotky V.A., Hmarova L.I. Nachertatel'naja geometrija na jekrane komp'jutera [Descriptive geometry on the computer screen]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, pp. 32–34. (in Russian)
19. Savel'ev Yu.A. Grafika mnimyh chisel [Imaginary number graphics]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 1, pp. 22–23. DOI: 10.12737/2079. (in Russian)
20. Chetverukhin N.F. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. Moscow, Uchpedgiz Publ,. 1961. P. 268. (in Russian)
21. Audin M. Geometry. Strasbourg. 2002. 363 p.
22. Busemann H., Paul J. Kelly. Projective geometry and projective metrics. New York, Academic press Inc. Publ., 1962. P. 88.
23. Field P. Projective geometry with applications to engineering. New York, D.Van Nostrand Company. 1923. P. 79.
24. Gallier J. Curves and Surfaces In Geometric Modeling: Theory And Algorithms. Philadelphia, University of Pennsylvania, 2015. 492 p.
25. Herman I. The Use of Projective Geometry in Computer Graphics. Berlin, Springer-Verlag, 1992. 148 p.
26. Boissonnat J-D, MoniqueTeillaud M. Effective Computational Geometry for Curves and Surfaces With 120 Figures and 1 Table. Springer, 2006. 351 p.
27. Jürgen Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. A Guided Tour Through Real and Complex Geometry. Berlin, Springer, 2011. 593 p.
28. Lehmer D.N. An Elementary Course In Synthetic Projective Geometry. Boston, Ginn & Company, 1917. 123 p.
29. Lockwood E.H. A Book of Curves. Cambridge, Cambridge University Press, 1961. 199 p.
30. Tabak J. Geometry. The language of space and form. New York, Facts On File Inc., 2004. 269 p.
