In this paper have been proposed theoretical bases for formation one-dimensional contours of the first order smoothness, passing through k in advance given points, including requirements to the contour in general, and the contour’s arcs in particular, as well as representations for tangents in extreme and intermediate contour sections, which determine the contour arc shape. Based on this theoretical material have been developed computational algorithms for simulation of closed (A5, A6) and open (A1-A4) contours according to postulated conditions, which allow form irregular composite curves and surfaces with different degree of complexity, docked together on the first order smoothness. The proposed computational algorithms can also be used to construct contours of higher orders smoothness using arcs of the same ratio curves. For analytical description of computational algorithms for one-dimensional contours simulation is used the mathematical apparatus of BN-calculation (Balyuba – Naidysh point calculation). The obtained algorithms have been presented in a point form, which is a symbolic form. For transition from point equations to a system of parametric equations, it is necessary to perform a coordinate-by-coordinate calculation, which can be presented geometrically as population of projections on the global coordinate system’s axes. As an example has been presented a computational algorithm that provides the use a system of parametric equations instead of symbolic point recording. The proposed algorithms have been successfully used for computer modeling and prediction for the impact of geometric shape imperfections on the strength and stability of engineering structures’ thin-walled shells. In particular, a numerical study method for a stress-strain state of steel vertical cylindrical reservoirs with regard to imperfections of theirs geometric shapes has been proposed.
contour arc, one-dimensional contour, smoothness order, computational algorithm, BN-calculation, thin-walled shells, engineering structures.
Введение
При проектировании тонкостенных оболочек инженерных сооружений задаются их формой и размерами. При монтаже конструкций, вследствие производственных погрешностей, а также в процессе эксплуатации, геометрия тонкостенной оболочки претерпевает изменения, что может негативно повлиять на дальнейшую работу конструкции. В связи с этим возникает необходимость в изучении влияния искажений геометрической формы тонкостенных оболочек технических форм, на их прочность и устойчивость. Для прогнозирования влияния несовершенств геометрической формы на прочность и устойчивость такой оболочки возникла необходимость разработки аналитического описания ее действительной поверхности, на основе которого возможно построение компьютерной модели действительной поверхности и ее дальнейшее применение для расчетов на прочность и устойчивость с применением современных программных пакетов (например, SCAD Office). Исследования ведущих ученых по моделированию несовершенств геометрической формы тонкостенных оболочек инженерных сооружений были проанализированы авторами в работах [14; 16]. Большинство научных исследований по данному вопросу можно классифицировать на два типа: 1) исследования несовершенств геометрической формы тонкостенных оболочек, выполненные специалистами из областей науки, смежных с прикладной геометрией, а иногда и вообще далеких от нее, таких как строительная механика [10], строительные конструкции, здания и сооружения [9], железнодорожный транспорт [2], динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры [27], механика деформируемого твердого тела [26], строительство и эксплуатация нефтегазопроводов, баз и хранилищ [25], динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры [1] и т.п.; 2) исследования ученых по прикладной геометрии в области оболочек конструкций, не связанные с несовершенствами геометрической формы: И.Г. Балюбы [5], Г.С. Иванова [11], В.Е. Михайленко [18], А.В. Найдыша [20], В.М. Найдыша [19; 20], В.С. Обуховой [18], А.В. Павлова [22], А.Л. Подгорного [18], И.А. Скидана [24] и их учеников. Как показывает проведенный анализ литературных источников, вопросами несовершенств геометрической формы действительных поверхностей тонкостенных оболочек занимались не профессиональные геометры, а специалисты из тех областей науки, в которых возникали проблемы исследования несовершенств геометрической формы и их влияния на те или иные инженерные сооружения. В связи с этим при математическом моделировании действительной поверхности оболочки использовались не специализированные инструменты прикладной геометрии, а общеизвестные методы. Например, в работе профессора Е.А. Егорова [9] для описания локальных несовершенств геометрической формы действительной поверхности резервуаров для хранения нефтепродуктов предлагается использование рядов Фурье. Такой подход не дает возможности оценить влияние того или иного несовершенства на всю конструкцию в целом, а следовательно, и предложения по необходимости устранения таких несовершенств не всегда являются оптимальными и экономически обоснованными. В наших исследованиях модель действительной поверхности тонкостенной оболочки представлена в виде сложной составной поверхности, состоящей из множества отсеков поверхностей, которые образованы дугами одномерных обводов первого порядка гладкости, стыкующихся между собой также по первому порядку гладкости. Такой подход обусловлен незакономерностью действительной поверхности инженерных сооружений с учетом несовершенств геометрической формы, которые могут иметь самую разнообразную геометрическую форму. Конструирование и стыковка отсеков поверхностей по первому порядку гладкости возможна с помощью метода подвижного симплекса [8], который был разработан и реализован на основе математического аппарата БН-исчисление [5–7; 21]. Однако для построения такой незакономерной поверхности необходимо сначала разработать теоретические основы конструирования одномерных обводов, а также алгоритмы их формирования.
1. Alifanov L.A. Normirovanie defektov formy i resursa vertikal'nykh tsilindricheskikh rezervuarov. Kand. Diss. [Normalization of defects in shape and life of vertical cylindrical tanks. Cand. Diss.]. Krasnoyarsk, 2003. 224 p. (in Russian)
2. Arkhipov A.V. Analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya kotla tsisterny, imeyushchego geometricheskie nesovershenstva. Kand. Diss. [Analysis of the stress-strain state of a cauldron cistern having geometric imperfections. Cand. Diss.]. Ekaterinburg, 2007. 146 p. (in Russian)
3. Balyuba I.G. Zamena simpleksa v uravnenii ploskoy krivoy i ego prilozheniya [Replacement of the simplex in the equation of a plane curve and its application]. Suchasnі problemi modelyuvannya: zb. nauk. prats'. [Suhachnі problemy modelyuvannya: zb. sciences. Prac.]. Melіtopol': MDPU іm. B. Khmel'nits'kogo Publ., 2016, I. 6, pp. 12–18. (in Ukrainian)
4. Balyuba I.G. Konstruirovanie dug obvoda iz krivykh odnogo otnosheniya [Constructing arcs of contours from curves of the same relation]. Trudy 27-y Mezhdunarodnoy konferentsiya po komp'yuternoy grafike i mashinnomu zreniyu «GraphiCon 2017» [Proceedings of the 27th International Conference on Computer Graphics and Machine Visions "GraphiCon 2017"]. Perm': PGNIU Publ., 2017, pp. 332–334. (in Russian)
5. Balyuba I.G. Konstruktivnaya geometriya mnogoobraziy v tochechnom ischislenii. Dokt. Diss. [Constructive geometry of manifolds in point calculation. Doct. Diss.]. Makeevka, 1995. 227 p. (in Russian)
6. Balyuba I.G. Tochechnoe ischislenie [Point calculation]. Melitopol': MGPU im. B. Khmel'nitskogo Publ., 2015. 236 p. (in Russian)
7. Balyuba I.G. Tochechnoe ischislenie geometricheskikh form i ego mesto v ryadu drugikh sushchestvuyushchikh ischisleniy [Point calculation of geometric forms and its place in a number of other existing calculi]. Naukoviy zhurnal. Komp’yuterno-іntegrovanі tekhnologії: osvіta, nauka, virobnitstvo [Naukovy Journal. COMPUTER-INTEGRATED TECHNOLOGIES]. Luts'k: LNTU Publ., 2011, I. 6, pp. 24–29. (in Ukrainian)
8. Davydenko I.P. Konstruirovanie poverkhnostey prostranstvennykh form metodom podvizhnogo simpleksa. Kand. Diss. [The construction of surfaces of spatial forms by the method of a moving simplex. Cand. Diss.]. Makeevka: DonNASA Publ., 2012. 186 p. (in Russian)
9. Egorov E.A. Kompleksnyy analiz, otsenka i upravlenie nadezhnost'yu stal'nykh rezervuarov dlya khraneniya nefteproduktov.Dokt. Diss. [Complex analysis, assessment and management of the reliability of steel tanks for storage of petroleum products. Doct. Diss.]. PGASA Publ., 2004. 337 p. (in Russian)
10. Ivanov V.N. Geometricheskie issledovaniya, formoobrazovanie, razrabotka metodov rascheta i chislennyy analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya tonkostennykh obolochek slozhnoy formy s sistemoy ploskikh koordinatnykh liniy. Dokt. Diss. [Geometric studies, shaping, development of calculation methods and numerical analysis of the stressstrain state of thin-walled shells of complex shape with a system of planar coordinate lines. Doct. Diss.]. Moscow, 2006. 394 p. (in Russian)
11. Ivanov G.S. Konstruirovanie odnomernykh obvodov, prinadlezhashchikh poverkhnostyam, putem ikh otobrazheniya na ploskost' [Constructing one-dimensional contours belonging to surfaces by mapping them to a plane]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2018, V. 6, I. 1, pp. 3–9. DOI: 10.12737/ article_5ad-07ed61bc114.52669586. (in Russian)
12. Konopatskiy E.V. Osobennosti konstruirovaniya zamknutogo obvoda pervogo poryadka gladkosti v BN-ischislenii [Peculiarities of constructing a closed contour of the first order of smoothness in BN-calculus]. Suchasnі problemi modelyuvannya [Suhachnі problemy modelyuvannya]. Melіtopol': MDPU іm. B. Khmel'nits'kogo Publ., 2016, I. 6, pp. 65–70. (in Russian)
13. Konopats'kiy Є.V. Geometrichne modelyuvannya algebraїchnikh krivikh ta їkh vikoristannya pri konstruyuvannі poverkhon' u tochkovomu chislennі Balyubi-Naydisha. Kand. Diss. [Geometrics of modularity of algebraic curves of these varieties when constructing a vertex at the point number Balyubi-Naidisha. Cand. Diss.]. Melіtopol', 2012. 164 p. (in Russian)
14. Konopats'kiy Є.V. Geometrichnі peredumovi modelyuvannya dіysnoї poverkhnі tonkostіnnikh obolonok tekhnіchnikh form metodami BN-chislennya [Geometric interpretation of the modeling of the surface surfaces of thin-walled shells of technical shapes by BN-numerical methods]. Naukoviy vіsnik Melіtopol's'kogo derzhavnogo pedagogіchnogo unіversitetu іmenі Bogdana Khmel'nits'kogo. Serіya: Matematika. Geometrіya. Іnformatika [Naukovy Visnik of the Melitopol State Teachers' University of Bogdan Khmelnitsky. Mathematics. Geometry. Informatics]. Melіtopol': MDPU іm. B. Khmel'nits'kogo Publ., 2014, V. 1, pp. 118–125. (in Ukrainian)
15. Krys'ko A.A. Analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya stenki rezervuara s geometricheskimi nesovershenstvami pri deystvii gidrostaticheskoy nagruzki [Analysis of the stress-strain state of the reservoir wall with geometric imperfections under hydrostatic loading]. Metallicheskie konstruktsii [Metallic constructions]. 2017, V. 23, I. 3, pp. 97–106. (in Russian)
16. Krys'ko A.A. Geometricheskoe i komp'yuternoe modelirovanie ekspluatiruemykh konstruktsiy tonkostennykh obolochek inzhenernykh sooruzheniy s uchetom nesovershenstv geometricheskoy formy. Kand. Diss. [Geometric and computer modeling of exploited structures of thin-walled shells of engineering structures with allowance for geometric imperfections.Cand. Diss.]. Makeevka, 2016. 191 p. (in Russian)
17. Krys'ko A.A. Metodika chislennogo issledovaniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya stal'nykh vertikal'nykh tsilindricheskikh rezervuarov s uchetom nesovershenstv geometricheskoy formy [The technique of numerical investigation of the stressed-deformed state of steel vertical cylindrical tanks with allowance for imperfections of geometric shape]. Metallicheskie konstruktsii [Metal constructions]. 2016, V. 22, I. 1, pp. 45–57. (in Russian)
18. Mikhaylenko, V.E. Formoobrazovanie obolochek v arkhitekture [Formation of shells in architecture]. Budіvel'nik Publ., 1982. 205 p. (in Russian)
19. Naydish V.M. Diskretna іnterpolyatsіya [Discrete Interpolation]. Melіtopol': Lyuks Publ., 2007. 250 p. (in Russian)
20. Naydish V.M. Osnovi prikladnoї diskretnoї geometrії [The basis of applied discrete geometry]. Melіtopol': Lyuks Publ., 2007. 193 p. (in Russian)
21. Naydysh V.M. Algebra BN-ischisleniya [Algebra of BN-calculus]. Mіzhvіdomchiy naukovo-tekhnіchniy zbіrnik. Prikladna geometrіya ta іnzhenerna grafіka [Applied Geometry is the engineering graph]. KNUBA Publ., 2012, I. 90, pp. 210–215. (in Ukrainian)
22. Pavlov A.B. Grafoanaliticheskie sposoby konstruirovaniya poverkhnostey slozhnoy formy. Dokt. Diss. [Graphoanalytical methods for constructing surfaces of a complex shape. Dokt. Diss.]. Moscow, 1967. 26 p. (in Russian)
23. Polіshchuk V.І. Pobudova prostorovoї dugi krivoї tret'ogo poryadku [Pobudova dvorovevoi arc curved third order]. Materіali VIII Mіzhnarodnoї naukovoї konferentsії molodikh vchenikh, aspіrantіv і studentіv [Material of the VIII International Scientific Conference of Young Adults, aspirants and students]. Makіїvka: DonNABA Publ. 2009, I. 2009-5(79), V. 2, pp. 169–172. (in Russian)
24. Skidan I.A. Geometricheskoe modelirovanie kinematicheskikh poverkhnostey v spetsial'nykh koordinatakh. Dokt. Diss. [Geometric modeling of kinematic surfaces in special coordinates.Doct. Diss.]. Donetsk, 1989. 340 p. (in Russian)
25. Tyurin D.V. Modelirovanie vertikal'nykh stal'nykh rezervuaro s nesovershenstvami geometricheskoy formy. Kand. Diss. [Modeling of vertical steel tanks with imperfections of geometric shape. Cand. Diss.]. Tyumen', 2003. 230 p. (in Russian)
26. Fursaev S.A. Konechnoe plasticheskoe i sverkhplasticheskoe deformirovanie tonkostennykh obolochek. Kand. Diss. [Final plastic and superplastic deformation of thin-walled shells.Cand. Diss.]. Tula, 2011. 105 p. (in Russian)
27. Khaustov V.M. Dinamicheskoe formoizmenenie tonkostennoy obolochki impul'sami magnitnogo polya. Kand. Diss. [Dynamic shaping of a thin-walled shell by pulses of a magnetic field.Cand. Diss.]. Omsk, 2000. 123 p. (in Russian)
