Введение. Неравномерная осадка зданий и сооружений в процессе эксплуатации может вызвать дополнительные напряжения в конструкциях. В работе [1] исследуется влияние неравномерных смещений фундаментов на работу решетчатых башен дымовых труб. В [2] рассмотрено изменение напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций построенного здания в ходе его эксплуатации, с учетом зафиксированной на объекте разности осадок фундаментов. Анализируя опыт строительства на Юге России д.геол.-мин.н. проф. Б.Ф Галай указывает: «что практически все аварии зданий и сооружений в регионе связаны с потерей несущей способности оснований…» [3]. В силу чего, совершенствование методик определения НДС элементов зданий и сооружений при кинематическом воздействии представляется актуальной задачей. Ниже приведена численная методика расчета изотропных пластин на заданные перемещения, в частности, точек контура. При этом кинематическое воздействие может рассматриваться как самостоятельная задача или совместно с действием внешних нагрузок.
Отметим также, что расчеты в [1] и [2] выполнялись в коммерческих программных комплексах на базе метода конечных элементов. Нами для решения задачи привлекаются обобщенные уравнения метода конечных разностей [4]. Многие авторы, обращая внимание на проблему достоверности и надежности численного решения, указывают на необходимость получения результатов различными методами [5, 6].
Методология. Дифференциальные уравнения поперечного изгиба тонкой изотропной пластины запишем в безразмерном виде [4]:
(1)
(2)
где
qo –интенсивность нагрузки в какой-либо точке; μ – коэффициент Пуассона; D – цилиндрическая жесткость; a – длина одной из сторон плиты; W – прогиб. Выполнив подстановку (2) в (1) и переход к размерным величинам, получим известное дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластины (103) [7].
Безразмерные изгибающие моменты определяются по известным формулам:
(3)
где
Безразмерные поперечные силы:
(4)
Безразмерные крутящие моменты
где
Решение системы дифференциальных уравнений (1), (2) получим, как мы указывали выше, с привлечением обобщенных уравнений метода конечных разностей, хорошо себя зарекомендовавших при расчете оболочек, пластин тонких и средней толщины на статические и динамические нагрузки, а также на упругом основании [4, 8–12].
Разностные уравнения, аппроксимирующие (1) и (2) запишем по [4] на квадратной сетке для случая непрерывных m и w. Будем учитывать только разрывы распределенной нагрузки и первых частных производных m, моделирующих полосовые нагрузки
(5)
(6)
где ;
; (7)
h – шаг расчетной сетки; верхние левые индексы обозначают номер элемента примыкающего к точке i,j (рис. 1).
Рис. 1. Элемент, примыкающий к расчетной точке
Основная часть. Уравнения (5), (6) записываются для каждой регулярной точки совместно с уравнениями аппроксимирующими краевые условия. При этом законтурные точки не используются. Решая, полученную таким образом, систему алгебраических уравнений определяем значения и
в каждой расчетной точке. По известным значениям прогибов вычисляются вторые частные производные
(8)
После чего по (3) – значения моментов по направлениям ξ и η.
Учет краевых условий рассмотрен в [4]. Здесь подробнее остановимся на получении разностного аналога для левого шарнирного края (η=0) при заданной осадке его точек . Из условия
[4] и второго уравнения (3) следует
(9)
Подставляя (9) в (2) и учитывая первое выражение (8) получим
(10)
В качестве иллюстрации методики рассмотрим пример расчета квадратной шарнирно опертой пластины при заданной осадке ее левого края, без выяснения причин ее вызвавших, по закону (рис.2).
Рис. 2. Заданная осадка левого края пластины
Покажем ход решения на минимальной расчетной сетке с шагом . Коэффициент Пуассона
. Примем значение перемещения в точке 10 равным единице, тогда закон изменения осадок по левому краю примет вид
. В этом случае
. Если осадка левого края задана не аналитически, а значениями перемещений точек края, то вторая частная производная от функции прогибов вычисляется по (8). Запишем уравнения для точки 10: по (7)
; по (10)
. Для точки 11 запишем уравнения (5) и (6), учитывая найденные значения
и
:
;
. Откуда
и
. По (7)
. Используя (8), найдем
;
. Значения безразмерных моментов по направлениям ξ и η вычислим по (3)
,
. В точке 10
.
На рис. 3 показана рассчитываемая плита с нанесенной сеткой 16×16 и нумерацией характерных сечений.
Рис. 3. Плита с сеткой 16×16
Решения, полученные на вложенных одна в другую сетках, приведены на рис. 4 а, б, в.
|
а |
б |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
Рис. 4. Эпюры прогибов (а), изгибающих моментов в направлении ξ (б) и в направлении η (в)
Выводы. Эффективность применения обобщенных уравнений МКР при расчете балок, тонких пластин, пластин средней толщины, изотропных и анизотропных, оболочек на действие статических и динамических нагрузок продемонстрирована в работах [4, 8–12]. Простота алгоритма, быстрая сходимость решения, возможность получения результатов при использовании простейших вычислительных средств позволяют рекомендовать методику к использованию в инженерной практике.
