from 04.09.2014 to 31.08.2017
Nal'chik, Shalushka, Nalchik, Russian Federation
employee from 01.11.1998 until now
Nal'chik, Nalchik, Russian Federation
It is known that squaring the circle (the problem consisting in construction of a square with the same area as a given circle), together with duplication of cube and angle trisection, is one of the most famous unsolv able problems of constructive geometry for construction with compass and straightedge. The solution of squaring the circle problem is reduced to the straightening of the circle, that is, to the construction of a segment equal in length to the circle, and its insolvability is connected with the pi character transcendence. In this paper, the limiting case of one of Christian Huygens theorems, which establishes an estimate for length of circumference of a circle through perimeters of regular polygons inscribed in circle and circumscribed about it, is proved. On this basis has been proposed and justified an approximate method for squaring the circle problem solving, which allows consistently construct arbitrarily exact solutions of the problem. We will approximate an arc of a circle whose radius is a multiple of the given circle’s radius, with the help of a segment which is parallel to a shrinking it chord, and then will increase or decrease this segment in the required number of times, so that the resulting segment’s length would be approximately equal to half of the given circle’s circumference. The approximation accuracy will be the higher the smaller arc of the circle we will consider. But possibilities of real tools are limited, and not suitable for both too small and too large drawing scales. In order to cope with this problem, an algorithm for scaled approximation has been proposed, in which it is sufficient to increase (or reduce) the drawing fragment, so that all the time sta y within the sheet of the same size. Perhaps this approach will be useful for other constructions, including the exact ones, where it is necessary to come to very large or vice versa very small drawings’ dimensions.
squaring the circle, approximate solution, limit theorem, algorithm for scaled approximation.
Введение
Задача о квадратуре круга состоит в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. Первым документом, в котором упоминается квадратура круга, является папирус Райнда (по имени шотландского египтолога), датированный примерно 1650 г. до н.э. Историю этой задачи разделяют на три периода [13]: первый — с древнейших времен до открытия во второй половине XVII в. дифференциального и интегрального исчислений, второй — до появления в 1766 г. основного сочинения Ламберта об иррациональности числа π, третий — до окончательного разрешения этого вопроса в конце XIX в. Здесь мы опускаем очень интересную и содержательную историю задачи квадратуры круга, более подробное изложение которой можно найти, например, в работах [1–3; 13; 14; 25], и ограничимся некоторыми наиболее важными результатами, отражающими ее этапы. Идея приближать площадь круга с помощью площадей вписанных многоугольников принадлежит Антифону (V в. до н.э.). Бризон Гераклейский добавил к вписанным многоугольникам вписанные и ввел таким образом понятие о нижней и верхней границе. Позже Архимед (287–212 гг. до н.э.) доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, у которого один катет равен радиусу заданного круга, а второй — длине окружности, при том, что способ построения среднего геометрического двух отрезков был известен. Таким образом, задача свелась к увеличению отрезка длины r в π раз, т.е. к спрямлению половины окружности. Этот результат Архимед получил при помощи вычисления площади правильного 96-угольника, вписанного в окружность. В дальнейшем на протяжении почти двух тысяч лет метод вычисления длины окружности посредством вписанных и описанных многоугольников оставался основным. Наибольшей точности в вычислении числа π таким способом удалось добиться Лудольфу ван Цейлену (1539–1610). На протяжении десяти лет, удваивая, по методу Архимеда, число сторон вписанных и описанных многоугольников и дойдя до 60 ⋅ 229 = 32212254720-угольника, он вычислил в 1596 г. 20 точных десятичных знаков числа π. Впоследствии он довел их количество до 35. Долгое время после этого число π называли числом Лудольфа. Подробнее об истории вычисления числа π можно найти в работе [14]. Метод вписанных и описанных многоугольников достиг своего наивысшего развития в работах голландских математиков Виллеброрда Снеллия (1580–1626) и Христиана Гюйгенса (1629–1695). Тонкие геометрические рассуждения позволили им получить более точные результаты при меньшем числе сторон используемых многоугольников. Результат Архимеда — три точных знака π — Снеллий получает уже для вписанного и описанного шестиугольников, а 96-угольники помогают ему рассчитать 7 точных знаков π. Христиан Гюйгенс в сочинении «О найденной величине круга» (1654) доказывает ряд теорем о соотношениях между длинами хорд и стягиваемых ими дуг, которые позволили ему вычислить 10 точных знаков числа π уже для 60-угольника. В 1766 г. известный швейцарский математик Иоганн Ламберт (1728–1777) впервые доказал иррациональность числа π. Этот факт хотя еще не давал ответа на вопрос о разрешимости квадратуры круга, но наметил путь дальнейших исследований о природе числа π.
1. Adler A. Teoriya geometricheskikh postroeniy [The theory of geometric constructions]. Uchpedgiz Publ., 1940. 232 p. (in Russian)
2. Argunov B.I., Balk M.B. Geometricheskie postroeniya na ploskosti [Geometrical constructions on the plane]. Moscow: Uchpedgiz Publ., 1957. 268 p. (in Russian)
3. Belozerov S.E. Pyat’ zhamenitykh zadach drevnosti. Istoriya i sovremennaya teoriya [Five famous tasks of antiquity. History and modern theory]. Rostov: Rostov University Publ., 1975. 320 p. (in Russian)
4. Vavilov V.V. Ob odnoy formule Khristiana Guyygensa [On a formula of Christian Huygens]. Kvant [Quant]. 1985, I. 11, pp. 9–14. (in Russian)
5. Veselovsky I.N. Khristian Huygens [Christian Huygens]. Moscow: Uchpedgiz Publ., 1959. 111 p. (in Russian)
6. Voloshinov D.V. O perspektivakh razvitiya geometrii I eyo instrumentariyakh [On the prospects for the development of geometry and its tools]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 2, I. 2, pp. 15–21. DOI: 10.12737/3844. (in Russian)
7. Vyshnepol'skij V.I., Sal`kov N.A. Tceli i metody obucheiniya graficheskim disciplinam [Objectives and methods of teaching graphic disciplines]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 2, pp. DOI: 10.12737/777. (in Russian)
8. Denichenko S.N. Issledovanie vozmozhnosti resheniya zadachi antichnoy matematiki kvadratura kruga [Investigation of the possibility of solving the problem of ancient mathematics quadrature of the circle]. Perspective innovations in science, education, production and transport, 2013. Fizika i Matematika — Matematika. SWorld. — 17–26 December 2013 [Perspective innovations in science, education, production and transport, 2013. Physics and Mathematics — Mathematics. SWORLD. 17–26 December 2013]. Available at: http://www.sworld.com.ua/index.php/en/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/dec-2013. (in Russian)
9. Zhukov A.V. O chisle π [On the number π]. Moscow: MTSNMO Publ., 2002. 32 p. (in Russian)
10. Kadykova N.S., Sal`kov N.A. Reformirovanie otsenok geometro-graficheskikh znaniy [Reforming geometric-graphic knowledge estimates]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 1, pp. 52–53. DOI: 10.12737/475. (in Russian)
11. Konstantinov A.V. Tekhnicheskiy risunok v isuchenii osnov izobrazitel’noy gramoty [Technical drawing in learning the basics of visual literacy]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2017, V. 5, I. 1, pp. 51–63. DOI: 10.12737/25124. (in Russian)
12. Leparov M.N. Gematricheskie preobrazovaniya sborochnykh edenits [Geometrical transformations of assembly units]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 3, pp. 62–72. DOI: 10.12737/21535. (in Russian)
13. O kvadrature kruga. S prilozheniem teorii voprosa [Quadrature of a circle. With the application of the theory of the question]. Moscow: GTTI Publ., 1934. (in Russian)
14. Prasolov V.V. Tri klassicheskie zadachi na postroenie. Udvoenie kuba, trisekciya ugla, kvadratura kruga [Three classical problems of construction. Duplication of the cube, trisection of the angle, quadrature of the circle.] Moscow: Nauka Publ., 1992. 80 p. (in Russian)
15. Strizhak V. Kakim obrazom postroit’ otrezok ravnym chislu “Pi” i reshit’ zadachu kvadratury kruga? [How to construct a segment equal to the number "Pi" and solve the problem of quadrature of a circle?]. Available at: https://shkolazhizni.ru/authors/stryzhak/posts/71568/ (in Russian)
16. Sal`kov N.A. Amerikanizatsiya geometricheskogo obrazovaniya v Rossii i nachertatel`naya geometriya [Americanization of geometrical education in Russia and descriptive geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 3, pp. 38–46. DOI: 10.12737/14418. (in Russian)
17. Sal`kov N.A. Analiz FGOSov novogo pokoleniya [Analysis of FSESs of the new generation]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 1, pp. 28–31. DOI: 10.12737/468. (in Russian)
18. Sal`kov N.A. Geometricheskoe modelirovanie i nachertatel` naya geometriya [Geometric modeling and descriptive geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 4, pp. 31–61. DOI: 10.12737/22841. (in Russian)
19. Sal`kov N.A. Mesto nachertatel`noy geometrii v sisteme geometricheskogo obrazovaniya tekhnicheskikh vuzov [Place of descriptive geometry in the system of geometric education of technical universities]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4. I. 3, pp. 53–61. DOI: 10.12737/21534. (in Russian)
20. Sal`kov N.A. Nachertatel`naya geometriya do 1917 [Descriptive geometry until 1917]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 2, pp. 18–20. DOI: 10.12737/780. (in Russian)
21. Seryegin V.I., Dmitrieva I.M., Ivanov G.S., Murav’yov K.A. Mezhdistsiplinarnye svyazi nachertatel`noy geometrii i smezhnykh razdelov vysshey matematiki [Interdisciplinary communication descriptive geometry and related sections of higher mathematics]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 3/4, pp. 8–12. DOI: 10.12737/2124. (in Russian)
22. Stolbova I.D. Ob obespechenii kachestva predmetnogo obucheniya studentov tekhnicheskogo universiteta. [On ensuring the quality of subject training for students of a technical university]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 3, I. 4, pp. 27–37. DOI: 10.12737/17348. (in Russian)
23. Tikhonov-Bugrov D.E. O nekotorykh problemakh graficheskoy podgotovki v tekhnicheskikh vuzakh (vzglyad iz Sankt-Peterburga) [On some problems of graphic training in technical universities (view from St. Petersburg)]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2014, V. 2, I. 1, pp. 46–52. DOI: 10.12737/3848. (in Russian)
24. Kheyfec A.L. Reorganizaciya kursa nachertatel`noy geometrii kak aktual’naya zadacha razvitiya kafedr grafiki [Reorganization of the course of descriptive geometry as an urgent task of the development of the departments of graphics]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 2, pp. 21–23. DOI: 10.12737/781. (in Russian)
25. Chistyakov V.D. Tri znamenitye zadach drevnosti [Three famous tasks of antiquity]. Moscow: Uchpedgiz Publ., 1963. 96 p. (in Russian)
