Moskva, Moscow, Russian Federation
Moskva, Moscow, Russian Federation
Previously, the method of rotating of flat geometric objects around curvilinear axes was described by us. The next step in the path of our research should be the development of methods for the automated creation of surfaces digital models obtained by the described rotation method. We have created models of surfaces, the axis and the forming curve of which are circles lying in the same plane. Several cases of mutual disposition for such circles were analyzed. Modeling was carried out using constructive techniques. Surfaces were created using the “surface by section” operation. The centers of such circular sections belong to the axis of rotation, if it is a circle. Using the special tools incorporated in the KOMPAS-3D program, we have cut the surfaces modeled in this way by planes, and obtained a number of flat sections. Taking into account the difficulties occurring during the study of such complex geometric objects by means of flat graphic constructions, as well as graphic computer modeling, we have realized the need to create a mathematical apparatus describing these objects’ shape. The required mechanism should be applicable to any pair of second-order curves interconnected as “axis — generatix”. We have considered an elementary example – the rotation of a point around a curve elliptical axis. In this paper a solution for the problem of finding a system of equations describing a set of point positions, which it will successively take when rotating around the elliptic axis, is presented. It is possible to apply a similar mathematical apparatus to axes having the form of other quadrics, for example, hyperbolas or parabolas, as well as to generatices consisting of more than one point, that is, to forming curves.
rotation, shaping, curve axis, circle, ellipse, Dupin cyclid, cyclic surfaces, axis of rotation, trajectory of rotation, mathematical description.
В статье [2] был описан метод вращения плоских геометрических объектов вокруг криволинейных осей. В качестве примеров были рассмотрены случаи вращения образующих кривых вокруг кривых осей второго порядка. Рассуждения, на которых основан данный метод, были продемонстрированы на примере вращения точки и различных образующих кривых вокруг эллиптической оси и окружности. Предположение о возможности такого вращения мы выдвинули, принимая во внимание основы проективной геометрии, подробно изложенные в [21]. Следующим шагом на пути нашего исследования должна стать разработка методов автоматизированного создания цифровых моделей поверхностей, полученных описанным в [2] методом вращения. Имеющиеся в нашем распоряжении программы для создания моделей трехмерных объектов, такие как КОМПАС-3D, Solidworks, AutoCAD и их аналоги, не позволяют приемлемо точно смоделировать такие поверхности. Для того чтобы получить представления о возможностях данного метода, как и в [11], мы воспользовались КОМПАС-3D. Мы создали модели поверхностей, осью и образующей кривой которых являются окружности, лежащие в одной плоскости. Были разобраны несколько случаев взаимного расположения таких окружностей, которые показаны на рис. 1. Осевая окружность проведена тонкой штрихпунктирной линией, образующая — сплошной толстой. Поверхности создавались операцией «поверхность по сечениям». Моделирование осуществлялось при помощи конструктивных приемов. Центры таких круговых сечений принадлежат оси вращения, если она является окружностью. В случае с эллиптической осью центры круговых сечений не принадлежат оси их поиск сильно усложняется [9; 15; 20]. Каждое сечение является результатом вращения произвольной точки образующей окружности вокруг оси. Для определения диаметра сечения и положения его центра требовалось решить локальную геометрическую задачу, условия которой, а также способ решения, описаны в [2]. Каркасные изображения полученных поверхностей в двух проекциях представлены на рис. 2. Все они оказались самокасающимися, самопересекающимися поверхностями 8-го порядка [5; 12]. Порядок был определен методом пересечения поверхности с произвольной прямой и подсчета максимального количества точек пересечений поверхности с этой прямой. В случае рис. 1, а полученная поверхность представляет собой два касающихся тора.
1. Argunov B.I. Geometricheskie postroeniya na ploskosti [Geometrical constructions on the plane]. Moscow: Uchpedgiz Publ., 1957. 267 p. (in Russian)
2. Beglov I.A. Rustamyan V.V. Metod vrashcheniya geometricheskikh ob"ektov vokrug krivolineynoy osi [The method of rotation of geometric objects around the curvilinear axis]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2017, V. 5, I. 3, pp. 45–50. DOI: 10.12737/article_59bfa4eb-0bf488.99866490 (in Russian)
3. Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoy geometrii i lineynoy algebry [The course of analytic geometry and linear algebra]. Moscow: Fizmatlit Publ., 2009. 312 p. (in Russian)
4. Bermant A.F. Geometricheskiy spravochnik po matematike (Atlas krivykh) [Geometrical reference book on mathematics (Atlas of curves)]. Moscow: ONGIZ NKTP Publ., 1937. 209 p. (in Russian)
5. Vinogradov V.N. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive geometry]. Minsk: Vysshaya shkola Publ., 1977. 367 p. (in Russian)
6. Vygodskiy M.Ya. Spravochnik po vysshey matematike [Handbook of higher mathematics]. Moscow: Astrel' Publ., 2006. 991 p. (in Russian)
7. Girsh A.G. Fokusy algebraicheskikh krivykh [Foci of algebraic curves]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 3, pp. 4–17. DOI: 10.12737/14415. (in Russian)
8. Gordon V.O. Kurs nachertatel'noy geometrii [The course of descriptive geometry]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1998. 272 p. (in Russian)
9. Grafskiy O.A., O.V. Saenko. Obosnovanie postroeniya kasatel'noy k okruzhnosti i ellipsu [Justification for constructing a tangent to a circle and an ellipse]. Nauchno-tekhnicheskie problemy transporta, promyshlennosti i obrazovaniya: trudy Vserossiyskoy nauchno-praktich. konferentsii, 20–22 aprelya 2011 g. [Scientific and Technical Problems of Transport, Industry and Education: Works of the All-Russian Scientific Practical. Conference, April 20–22, 2011. Khabarovsk: FENUPS Publishing House, 2011]. Khabarovsk: DVGUPS Publ., 2011, pp. 14–18. (in Russian)
10. Gryaznov Ya.A. Otsek kanalovoy poverkhnosti kak obraz tsilindra v rassloyaemom obrazovanii [The compartment of the canal surface as the image of the cylinder in the stratified formation]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 3, pp. 17–19. DOI: 10.12737/6518. (in Russian)
11. Zhikharev L.A. Fraktaly v trekhmernom prostranstve. I-fraktaly [Fractals in three-dimensional space. I-fractals]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2017, V. 5, I. 3, pp. 51–66. DOI: 10.12737/14417(in Russian)
12. Ivanov G.S. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive geometry]. Moscow: FGBOU VPO MGUL Publ., 2012. 340 p. (in Russian)
13. Posvyanskiy A.D. Kratkiy kurs nachertatel'noy geometrii [Short course of descriptive geometry]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1970. 240 p. (in Russian)
14. Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya — baza dlya geometrii analiticheskoy [Descriptive geometry — the basis for analytical geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 1, pp. 44–54. DOI: 10.12737/18057. (in Russian)
15. Sal'kov N.A. Svoystva tsiklid Dyupena i ikh primenenie [Properties of Dupin cyclide and their application]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 1, pp. 16–25. DOI: 10.12737/10454. (in Russian)
16. Sal'kov N.A. Svoystva tsiklid Dyupena i ikh primenenie [Properties of Dupin cyclide and their application]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 2, pp. 9–22. DOI: 10.12737/12164. (in Russian)
17. Sal'kov N.A. Svoystva tsiklid Dyupena i ikh primenenie [Properties of Dupin cyclide and their application]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 4, pp. 3–14. DOI: 10.12737/17345. (in Russian)
18. Sal'kov N.A. Svoystva tsiklid Dyupena i ikh primenenie [Properties of Dupin cyclide and their application]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 1, pp. 21–33. DOI: 10.12737/18055. (in Russian)
19. Sal'kov N.A. Tsiklida Dyupena i krivye vtorogo poryadka [Dupin cyclide and second order curves]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 2, pp. 19–28. DOI: 10.12737/19829. (in Russian)
20. Sal'kov N. A. Ellips: kasatel'naya i normal' [Ellipse: Tangent and Normal]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 1, pp. 35–37. DOI: 10.12737/470. (in Russian)
21. Chetverukhin N.F. Proektivnaya geometriya [Projective geometry]. Moscow: Prosveshchenie Publ., 1969. 368 p. (in Russian)
