Constructing method of channel surface by means of equiform transformations is offered. Combined surface represents a smooth two-dimensional contour whose components are formed by movement of smooth one-dimensional contour consisting of arches of circles and ellipses.
equiform transformations, channel surface, image, pre-image.
Рассматриваются вопросы конструирования поперечных сечений каналовых поверхностей посредством преобразований, сохраняющих площади фигур.
Такие требования часто предъявляются к каналовым поверхностям, предназначенным для транспортировки газа, жидкости и сыпучих материалов. Эти поверхности часто встречаются во многих сферах производственной деятельности. На деревообрабатывающих предприятиях - это трубопроводы для перемещения отходов производства или вторичного сырья (опилок или щепы). В силу технологических, конструкторских или других ограничений они могут иметь переменные сечения, изменяющие свою форму (например: переходящие от квадрата в окружность). Раньше такие трубопроводы изготавливали из листового материала (жести) за счет гибки определенным образом, и они не обладали хорошими динамическими качествами из-за отсутствия гладкости сопряжения.
В таких случаях возникают местные сопротивления, обусловленные завихрениями, которые снижают КПД системы, что приводит к необходимости увеличения мощности двигателя и в итоге - к более высоким затратам. В настоящее время такие трубопроводы изготавливают из полимерных материалов с сечениями постоянной площади или изменяющимися по определенному закону. Таким образом, возникает задача геометро-динамического профилирования фасонных элементов таких трубопроводов.
Для решения этой задачи мы предлагаем использовать преобразования пространства, расслаивающиеся в плоскостях, перпендикулярных оси трубопровода, на эквиформные преобразования, как сохраняющие площади соответственных фигур. Они удобны при конструировании сечений каналовых поверхностей. В этих преобразованиях замкнутые кривые (окружность, эллипс, овал, прямоугольник и т.д.) переходят также в замкнутые кривые более сложной формы, которые удовлетворяют динамическим требованиям к конструкции трубопровода.
Рассмотрим конструктивный аппарат преобразования в плоскости расслоения. Эти преобразования Jn в общем случае задаются инвариантной кривой dn моноидального типа с несобственной вершиной 
[1].
(1)
График этой функции представляет собой параболу dn n-го порядка. Как известно, такие кривые с любой прямой l, параллельной оси Oy, пересекаются лишь в одной собственной точке D. Поэтому алгоритм построения соответственных точек A′ ~ A в таких преобразованиях очень прост (рис. 1):
(или) 
,
т.е. соответственные точки A, A′ симметричны относительно D. Отсюда легко выводится оператор инволюции Jn:
,
или 
.
Окончательно имеем:
;
. (2)
Формулы обратного преобразования имеют симметричный вид.
Рассмотрим построение образов простейших линий в этих преобразованиях, начиная с линейного.
1. Ivanov G.S. Konstruirovanie tekhnicheskikh poverkhnostey (matematicheskoe modelirovanie na osnove nelineynykh preobrazovaniy). — M.: Mashinostroenie, 1987.
