The predator-prey interactions on the spatial heterogeneous two-dimensional area are described. The model is written as a system of nonlinear parabolic equations for two closely related predator populations and two prey populations competing for the general resource. It is shown that under certain relationships between the parameters and the variable natural habitat resource functions, the model belongs to the class of the cosymmetric dynamical systems. In this case, there is a continuous family of stationary distributions of the coexistent populations. The simulation experiment is based on the method of straight lines, and on the scheme of staggered grids. The balance method is used for the approximation in spatial variables of the task on a rectangular area. The results showing the model capabilities for describing the formation of the population stationary distributions are presented. The formation of the biological structures is studied under the growth parameter heterogeneity; the conditions for the coexistence of closely related types are analyzed.
population dynamics, method of straight lines, nonlinear parabolic equations, cosymmetry.
УДК 519.63
Численное исследование сосуществования популяций в одной экологической нише[1]
А. В. Будянский, М. Г. Кругликов, В. Г. Цибулин
Описывается взаимодействие популяций хищников и жертв на пространственно неоднородном двумерном ареале. Модель записывается в виде системы нелинейных уравнений параболического типа для двух близкородственных популяций хищников и двух популяций жертв, конкурирующих за общий ресурс. Показано, что при определенных соотношениях между параметрами и переменной по ареалу функции ресурса, модель принадлежит к классу косимметричных динамических систем. В этом случае возникает непрерывное семейство стационарных распределений сосуществующих популяций. Вычислительный эксперимент основан на методе прямых и схеме смещенных сеток. Для аппроксимации по пространственным переменным задачи на прямоугольном ареале используется метод баланса. Представлены результаты, демонстрирующие возможности модели для описания формирования стационарных распределений популяций. Изучено формирование биологических структур при неоднородности параметров роста, проанализированы условия сосуществования близкородственных видов.
Ключевые слова: популяционная динамика, метод прямых, нелинейные параболические уравнения, косимметрия.
Введение. Изменение и сокращение среды обитания биологических популяций в современном мире вызывает миграцию животных и приводит к смещению экологических равновесий. В процессе жизнедеятельности биологических видов образуются зоны совместного обитания (сосуществования) популяций,
1. Gauze, G.F. Borba za sushchestvovaniye. [Struggle for existence.] Izhevsk: Institut kompyuternykh issledovaniy, 2002, 234 p. (in Russian).
2. Begon, М., Harper, J., Townsend, C. Ekologiya. Osobi, populyatsii i soobshchestva. [Ecology. Individuals, populations and communities.] Moscow: Mir, 1989, 1144 P. (in Russian).
3. Belotelov, N.V., Lobanov, A.I. Populyatsionnyye modeli s nelineynoy dif-fuziyey. [Population models with non-linear diffusion.] Matematicheskoye modelirovaniye, 1997, vol. 9, no. 12, pp. 43–56 (in Russian).
4. Yudovich, V.I. Kosimmetriya, vyrozhdeniye resheniy operatornykh uravneniy, vozniknoveniye filtratsionnoy konvektsii. [Cosymmetry, degeneration of operator equation solutions, onset of filtration convection.] Matematicheskiye zametki, 1991, vol. 49, no. 5, pp. 142–148 (in Russian).
5. Yudovich, V.I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosym-metry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it. Chaos, 1995, vol. 5, no. 2, pp. 402–411.
6. Govorukhin, V. Computer experiments with cosymmetric models. Z. Angew. Math.Mech, 1996, vol. 76, pp. 559–562.
7. Banegje, M., Petrovski, S. Self-organised spatial patterns and chaos in a ratio-depended predator-prey system. J. Theor. Biol., 2011, vol. 4, pp. 37–53.
8. Xue,L. Patternformationinapredator--preymodelwithspatialeffect. Physica A., 2012, vol. 391, pp. 5987–5996.
9. Budyanskiy, А.V., Tsybulin, V.G. Modelirovaniye prostranstvenno-vremennoy migratsii blizkorodstvennykh populyatsiy. [Modeling of spatial-temporal migration of closely related populations.] Kompyuternyye issledovaniya i modelirovaniye, 2011, vol. 3, no. 4, pp. 477–488 (in Russian).
10. Mishugova, G. V. Air contamination process simulation. Vestnik of DSTU, 2012, no. 8(69), pp. 12–17 (in Russian).
11. Zakovorotny, V.L., Pham Dinh Tung Modelirovaniye evolyutsii dinamicheskoy sistemy, vzaimodeystvuyushchey so sredoy. [Simulation of evolution of dynamical system interacting with medium.] Vestnik of DSTU, 2006, vol. 6, no. 3(30), pp. 184–200 (in Russian).
12. Kovaleva, E.S., Frischmuth, K., Tsybulin, V.G. Dynamics of nonlinear parabolic equations with cosymmetry. Computer Algebra in Scientific Computing, CASC, 2007, pp. 265–274.
13. Frischmuth, K., Kovaleva, E.S., Tsybulin, V.G. Family of equilibriain a population kinetics model and its collapse. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2011, vol. 12, pp. 146–155.
14. Murray, J.D. Mathematical Biology II. Spatial models and Biomedical Applications. Springer–Verlag, 2003, 1082 p.
