Voronezh, Russian Federation
GRNTI 55.01 Общие вопросы машиностроения
GRNTI 55.13 Технология машиностроения
The application of the systems of residual classes (SRC) allows carrying out arithmetic operations of addition and multiplication more efficiently which are basic in DSP at the expense of small digit capacity of deductions. An additional growth of an operating speed gives a transition from a digital processing to a tone one, that is, to number encoding in the SRC by discrete phases of tone signals of one frequency. The application of an instrumentation framework on the superconductor basis shows an outlook of the special processor formation on the basis of principles marked earlier with the productivity of a subtherahertz order. If a mathematical expression for a signal processing is rigidly specified and contains a constant k which does not need to vary, then in the special processor structure a tone multiplication of a number by a constant through a module may be carried out as a serial addition of an operand with itself. If a special processor work needs sometimes a program reconstruction of system constant parameters, then it is possible to carry out on the basis of other multiplication device by a constant. A tone multiplication of two numbers by a module is formed through a simplest algorithm consisting in a serial addi-tion through a module of the first operand with itself and a choice of the result required through the second operand. The multiplication fulfillment through a mod-ule in a tone form in different versions is possible that enables unique possibilities of signal processing on the basis of the wellknown DSP methods with an operation speed which is a record for these algorithms.
arithmetic devices, system of residual classes, SRC
Введение
Развитие измерительной техники до уровня работы с сигналами порядка 100 ГГц [1] требует соответствующих возможностей от спецпроцессоров, позволяющих удешевить и уменьшить габариты конечного продукта за счет применения обработки информации вычислительными методами. Широкое использование цифровой электроники в аналогичных системах здесь же наталкивается на специфику рассматриваемой области измеряемых частот, естественно связанной с быстродействием. Выходом может стать активное внедрение системы остаточных классов (СОК) [2], позволяющей за счет малоразрядности вычетов более эффективно осуществлять арифметические операции сложения и умножения, которые являются основными в ЦОС [3]. Дополнительный рост быстродействия дает переход от цифровой обработки к тональной [4], т.е. кодированию чисел в СОК дискретными фазами гармонических сигналов одной частоты. Применение приборной базы на основе сверхпроводников [5] проявляет перспективу построения спецпроцессоров на основе обозначенных ранее принципов с производительностью субтерагерцового порядка. Проецирование наработанных алгоритмов ЦОС в СОК на структуры с дискретно-фазированным представлением чисел требует в первую очередь проработки вопросов функционирования устройств для сложения (вычитания) и умножения по модулю. Если первое достаточно просто и рассмотрено ранее [4], то второе несколько сложнее и является предметом данного исследования.
Основные алгоритмы цифровых устройств
Прежде чем перейти к тональным вычислительным операциям, рассмотрим цифровые алгоритмы. Как и сложение, умножение в СОК выполняется в параллельных трактах по соответствующим модулям без перекрестного обмена информацией между ними [2]. Реализация вычислений в кольце вычетов с гораздо меньшей по сравнению с позиционными числами разрядностью порождает более эффективные алгоритмы как в быстродействии, так и объеме оборудования. В качестве аппаратной основы могут использоваться несколько различных устройств: двоичные позиционные сумматоры, унитарные таблицы и кольцевые сдвиговые регистры [6; 7].
Самый простой вариант бинарных вычислений сводится к преобразованию операндов в унарный код, с дальнейшей выборкой правильного ответа на пересечении выбранных сигнальных линий через логический элемент И, с последующей дешифровкой результата. В силу коммутативности модулярных операций возможно сокращение аппаратных затрат [8].
Другие подходы основаны на идее максимально свести умножение к промежуточному сложению и вычитанию. В первую очередь таковым является метод, получаемый из квадратов суммы и разности:
.
Особенности данного алгоритма - необходимость возведения в квадрат и деление на четыре в СОК - приводят к повышенным аппаратным затратам, но в ряде случаев такой подход видится наиболее приемлемым.
Одним из столпов модулярной арифметики является теория индексов [2], представляющая из себя некоторый аналог логарифмических вычислений. Здесь каждому вычету γ по модулю m в заданной СОК ставится в соответствие уникальный индекс ind γ. При выполнении операции умножения сначала определяются индексы для каждого из операндов, затем производится их сложение, после чего происходит обратное преобразование через нахождение антииндекса.
Даже краткий обзор подходов к бинарному умножению на основе цифровых устройств показывает широкий выбор инструментов для решения аналогичной задачи в тональной форме. Тем не менее оперирование аналоговым сигналом имеет свои преимущества и недостатки, раскрыть которые в полной мере применительно к рассмотренным алгоритмам в рамках одной статьи невозможно.
Тональное умножение числа по модулю на константу
Если математическое выражение для обработки сигнала жестко задано и содержит константу k, которая не требует изменения, то в структуре спецпроцессора соответствующая операция может быть отображена в виде последовательного сложения операнда с самим собой (рис. 1а) [9].
На синхронизирующий вход поступает сигнал 
, а на информационные - гармоники 
, где 
, 
, m - модуль СОК. Процесс сложения двух вычетов γ как результат манипуляции с дискретными значениями фаз (СФ) изложен в [4]. Последовательная работа блоков СФ приводит к формированию на выходе устройства итоговой гармоники 
Для операции умножения на константу данное выражение принимает вид 
.
Если работа спецпроцессора иногда требует программной перестройки постоянных параметров системы, то это возможно осуществить на основе другого устройства умножения на константу (рис. 1б) [10]. Рассмотрим операцию умножения двух чисел Γ=А×В, где В представлено в виде полинома: 
. Здесь g - максимальное количество двоичных разрядов 
, применяемое для реализации константы В. Если целый остаток числа А по модулю m есть αm, а результат умножения по модулю m - это γm, то
.
а) б)
Рис. 1. Устройство умножения на константу: а - на основе
последовательного сложения двух операндов; б - на основе умножения на два
Для реализации алгоритма вычислений на дискретных блоках полученное выражение примет следующий вид:
Рис. 2. Арифметический вентиль
умножения на два
На синхронизирующий вход поступает сигнал 
, на информационный - гармоника 
, а константа представлена двоичным кодом, который замыкает соответствующие ключи, пропуская дальше S0 или S1. Для умножения вычета αm на два в дискретно-фазированной форме используется вентиль (рис. 2). Гармоника S1 увеличивает фазу на π/2, а в параллельной линии - амплитуду в два раза, после чего оба сигнала поступают на входы первого смесителя, где реализуется известное тригонометрическое выражение:
.
Полученная промежуточная гармоника удвоенной частоты 
перемножается на втором смесителе с синхронизирующей гармоникой S0, фаза которой увеличена на π/2 (т.е. 
). При этом, согласно тригонометрическому выражению
,
после полосовой фильтрации более низкочастотной составляющей и усиления формируется результат в виде гармоники с единичной амплитудой и искомой результирующей фазой
.
Требуемая степень двойки набирается последовательным умножением на два необходимое количество раз. Последнее действие сложения всех разрядов происходит попарно на блоках СФ.
Тональное умножение двух чисел по модулю
Данная арифметическая операция формируется простейшим алгоритмом, заключающимся в последовательном сложении по модулю первого операнда с самим собой и выборе нужного результата через второй операнд (рис. 3).
Рис. 3. Тональное умножение двух
операндов по модулю
Работа начинается с подачи на входы устройства гармоник одной частоты:
- синхронизирующий: 
;
- первый операнд:
;
- второй операнд:
,
где γa и γb - вычеты по модулю m, над которыми осуществляется операция умножения. Второй операнд претерпевает m-1 операций сложения по модулю, в результате чего на выходах блоков СФ формируются сигналы:
;
;
...
.
Гармоники с выходов фазовращателей на фиксированное значение 2π/m сравниваются фазированными ключами (ФК) [11] со значением первого операнда. Если наблюдается равенство, то на один из входов результирующего сумматора мощности проходит сигнал от соответствующего блока СФ или значение второго операнда (если γa =1). Складываясь с нулевыми уровнями от других ключей, на выходе устройства формируется результат:
.
Существуют и другие подходы к реализации искомой арифметической операции. Как известно, квадраты суммы и разности, при вычитании второго из первого, позволяют представить умножение двух чисел по модулю в виде
.
Вычисления в рамках данного выражения удобно осуществлять в двоичном коде без ограничения на разрядность результатов промежуточных операций. Поскольку в дискретно-фазированной форме адекватно только модулярное представление, то результат суммы и разности [4] в некоторых случаях вызовет появление ошибки. Рассмотрим пример. Пусть m=7, γa=3 и γb=5, тогда
;
;
;
.
Итого: 
. Ошибка.
Если не ограничивать сумму и разность величинами, не превышающими значения m-1, то будет наблюдаться следующий результат:
;
;
;
.
Итого: 
. Верно.
Следовательно, рассмотренный алгоритм, по крайней мере в представленной форме, не годится для реализации на основе дискретно-фазированного представления чисел.
Теория синтеза аппаратных средств в системе остаточных классов знает примеры эффективного сопряжения ряда арифметических операций в составе единого универсального устройства. Образец тонального табличного вычислителя подробно рассмотрен в [12].
Заключение
Осуществление операции умножения по модулю в тональной форме в различных вариантах возможно, что открывает уникальные возможности обработки сигналов на основе известных методов ЦОС с рекордным для данных алгоритмов быстродействием.
1. D'yakonov, V. Sensaciya 2015: Teledyne LeCroy osvoila vypusk pervogo v mire 100-GGc oscillografa real'nogo vremeni! / V. D'yakonov // Komponenty i tehnologii. – 2015. – № 3. – S. 16-22.
2. Akushskiy, I.Ya. Mashinnaya arifmetika v ostatochnyh klassah / I.Ya. Akushskiy, D.I. Yudickiy. – M.: Sov. radio, 1968. – 440 s.
3. Galanina, N.A. Analiz effektivnosti sinteza ustroystv vychislitel'noy tehniki dlya nepozicionnoy cifrovoy obrabotki signalov / N.A. Galanina, N.N. Ivanova // Kibernetika i programmirovanie. – 2015. – № 3. – S. 1–6.
4. Kozhevnikov, A.A. Arifmeticheskie ventili modulyarnyh specprocessorov / A.A. Kozhevnikov // Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol', diagnostika. – 2018. – № 2. – S. 46-51.
5. Shitov, S.V. Maloshumyaschiy SIS smesitel' na chastotu 1 THz s dvoynoy dipol'noy antennoy / S.V. Shitov [i dr.] // ZhTF. – 2002. – № 9. – S. 87-92.
6. Irhin, V.P. Tablichnaya realizaciya cifrovyh fil'trov v modulyarnoy arifmetike / V.P. Irhin, L.A. Ovcharenko // Informacionnye tehnologii. – 2005. – № 10. – S. 13-20.
7. Mel'nik, V.A. Informacionnaya izbytochnost' v uzlah nepozicionnogo specvychislitelya dlya telekommunikacionnyh ustroystv / V.A. Mel'nik, R.V. Kuz'menko, V.P. Irhin // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. – 2015. – № 2. – S. 149-155.
8. Irhin, V.P. Rasshirenie funkcional'nyh vozmozhnostey vychisliteley v telekommunikacionnyh ustroystvah / V.P. Irhin, V.A. Mel'nik, D.S. Shvedov // Vestnik Voronezhskogo instituta FSIN Rossii. – 2016. – № 1. – S. 21-26.
9. Pat. 2653312 RF, MPK (2006.01) G06F 7/72. Ustroystvo dlya slozheniya k chisel po modulyu m / A.A. Kozhevnikov [i dr.]. – Zayavl. 24.05.17; opubl. 07.05.18.
10. Pat. 2653310 RF, MPK (2006.01) G06F 7/72. Ustroystvo dlya umnozheniya chisla po modulyu na konstantu / A.A. Kozhevnikov [i dr.]. – Zayavl. 24.05.17; opubl. 07.05.18.
11. Pat. 2659866 RF, MPK (2006.01) G01R 25/00, G01R 29/02, H03K 17/00. Fazirovannyy klyuch po modulyu m / A.A. Kozhevnikov [i dr.]. – Zayavl. 24.05.17; opubl. 04.07.18.
12. Pat. 2656992 RF, MPK (2006.01) G06F 7/72. Arifmeticheskoe ustroystvo po modulyu m / A.A. Kozhevnikov [i dr.]. – Zayavl. 24.05.17; opubl. 07.06.18.
