Main aim is the development of A.M.Lyapunov stability theory methods for qualitative analysis of non-linear systems of singularly perturbed class. Unified approach, based on N.G.Chetayev stability postulate, allows to generate the approximate methods in exact analysis; to elaborate the reduction principle for considered systems. Here for singularly perturbed problems the concept of P.A.Kuzmin parametrical stability is applied, with extending classical statements,results(A.M.Lyapunov,K.P.Persidsky,I.G.Malkin,V.V.Rumyantsev) for large-scale systems in critical cases. It is important to elaborate the approximate methods in exact analysis; to develop effectual manners with the dissemination of reduction principle for the general qualitative investigation. Here the singularly perturbed problems are arisen, including the critical cases that are characteristic ones for the examples of concrete physical matter (including singular systems on S.L.Campbell).It is introduced s-approximation on variables part.
small parameter, stability, singular, perturbation
Проблемы математического моделирования и качественного анализа в динамике сложных систем с многовременными масштабами порождены задачами инженерной практики [1-11]. Исходная хорошо детализированная физико-математическая модель реального технического объекта является нелинейной, высокоразмерной, многосвязной, что обуславливает особые затруднения в получении точного решения аналитическими и численно-аналитическими методами для задач анализа и синтеза. Это приводит к необходимости упрощения(идеализации) исходной модели, с выявлением главных степеней свободы системы, для последующего перехода к декомпозированной системе ,с укороченными подмоделями. При этом главными в инженерных расчетах являются задачи оптимального механико-математического моделирования и регулярные схемы декомпозиции, с обобщением принципа сведения А.М.Ляпунова, хорошо известного в теории устойчивости. В данной работе разрабатывается унифицированный подход, основанный на методах А.М.Ляпунова, идеях Н.Г.Четаева. Развиваемый подход, синтезирующий методы теории устойчивости и теории возмущений, строится на выработке общей концепции применительно к проблеме моделирования, с разработкой регулярных схем, доведенных до инженерного уровня, для декомпозиции-редукции полной системы и ее качественных свойств.
1. Lyapunov A.M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya. AN SSSR, Moskva, Sobr.soch., t.2, 1956, 7-264.
2. Chetaev N.G. Ob otsenkakh priblizhennykh integrirovaniy. PMM, t. 21, №3, 1957, 419-421.
3. Persidskiy K.P.. Nekotorye kriticheskie sluchai schetnykh sistem. Izv. AN Kazakh.SSR, ser. Matematika i mekhanika, № 5, 1951, 3-24.
4. Gradshteyn I.S. Primenenie teorii ustoychivosti Lyapunova k teorii differen-tsial´nykh uravneniy s malymi mnozhitelyami pri proizvodnykh. Mat.sb., t.32, №2, 1952.
5. Tikhonov A.N. Sistemy differentsial´nykh uravneniy soderzhashchie malye parametry pri proizvodnykh. Mat.sb. t. 31, №3, 1952, 575-586.
6. Kuz´min P.A.Ustoychivost´ pri parametricheskikh vozmushcheniyakh. PMM, t. 21, №1, 1957, 129-132.
7. Shilyak D.D.. Detsentralizovannoe upravlenie slozhnymi sistemami. Mir, Moskva, 1991.
8. Kuz´mina L.K. Metody teorii ustoychivosti i problemy modelirovaniya v mekhanike. 10 Vserossiyskiy S´´ezd po teoreticheskoy i prikladnoy mekhanike, 2011,
9. Moiseev N.N. Matematicheskie zadachi sistemnogo analiza. Nauka, Moskva, 1981.
10. Campbell S.L.. Singular Systems of differential equations. London: Pitman Advanced Publishing Program, 1980.
11. Kuzmina L.K.. Lyapunov theory methods in stability problems of singular systems. Int.J. Nonlinear analysis: Theory, Methods and Applications, v.71, 2009, No.12, 2481-2486, Elsevier.
