Russian Federation
The article is devoted to the theoretical substantiation of the method of replacing distributed masses with concentrated masses, as applied to the calculations of a spherical rotation of the bodies of arbitrary shape, for example, aircraft. As the testing method presented model ̶ rotation of a thin- walled sphere around a fixed point. The surface of sphere is divided into equal squares, that replacing point masses and fixed to the ends of three orthogonal rods. Such a core structure is called a spatial balancer. The balancer rotates within double gimbal suspension. The coordinates and velocities of point masses at own, nutation, precession rotate are calculated, the kinetic energy determined by the system, compiled of the Lagrangian equation. Of the equations it follows that: the inertial properties of the sphere and the balancer are equivalent , because formulas of the moments of inertia coincide; the movement of the masses system is determined by external actions on the frame and the forces of inertia - portable and Coriolis; after cessation of exposure the total kinetic energy balance remains constant, there is a continuous exchange of energy between the precession and nutation in the form of mechanical vibrations undamped; the equations movements adequately describe most of the known gyroscopic effects, including the inertialess stop of the precessional motion and the stable conservation by the balanceres angular position, given during its promotion. The results can be used in analytical studies and engineering calculations of aircraft and gyroscopic instruments.
distributed mass, concentrated mass, rotation around a fixed point (spherical), substitution, balance weight, double gimbal, Lagrange equations, inertial equivalence, nutation, precession, inertialess stop, gyroscopic effects
Задачи, связанные с движением твердого тела вокруг неподвижной точки (сферического), относятся к классической механике и решаются уже не одно столетие. В эволюции данной проблемы можно условно выделить три составляющие:
- разработка и непрерывное совершенствование теоретических основ, заложенных, в свое время, Л. Эйлером и Ж. Лагранжем;
- практическое приложение результатов к техническому управлению – гироскопии и навигации;
- распространение классических методов на задачи современного этапа – изучения движения скоростных летательных аппаратов, спутников, космических кораблей [1].
Для оценки нагрузок на несущие конструкции скоростного летательного аппарата при сложном маневрировании или в аварийных режимах требуется расчетная модель, учитывающая все виды силовых воздействий, которые могут возникнуть в сложном движении, общем случае – свободном. Исходя из того, что наиболее неблагоприятное сочетание силовых факторов (одновременное действие центробежных сил, гироскопических моментов, переносных сил инерции) характерно для отрезков времени, когда аппарат совершает сферические движения, целесообразно рассмотреть именно этот случай. В работах по динамике вращающихся тел с одной закрепленной точкой, в основу анализа положены динамические уравнения Эйлера [2], [3], оперирующие инерционными параметрами распределенной массы – осевыми и центробежными моментами инерции. Считается, что полученные из них решения исчерпывающим образом описывают изучаемые явления. Однако, кроме того, что они достаточно абстрактны и не адаптированы для инженерных расчетов, некоторые результаты, например, обоснование безынерционности остановки прецессионного движения, устойчивости гироскопа к резкому удару, сохранению пространственного положения, заданного при раскрутке, выглядят недостаточно детализированными. Теория волчков Ф.Ф. Лендера, разработанная для упрощения понимания их динамики, также представляется не вполне доступной альтернативой. В частности, в работе [4] им был использован метод замещения объемного тела с распределенной массой, системой эквивалентных сосредоточенных масс. Такой подход широко применяется в теоретической механике и позволяет описывать движение объемного тела наглядными уравнениями Лагранжа второго рода, для системы замещающих точечных масс [5]. Члены уравнений дают полное представление о характере действующих сил и закономерностях движения тела. Применительно к летательному аппарату, такой метод предусматривает его разбиение на участки замещения и аналитическое определение координат и скоростей точечных масс, при его вращении вокруг неподвижной точки. Апробируем данный метод анализом гироскопических явлений, возникающих при вращении твердого тела, например, тонкостенной сферы.
Разобьем поверхность сферы радиусом R и массой M на шесть одинаковых сферических квадрата. Примем, что масса квадратов сосредоточена в точечных массах m =M/6, расположенных в точках пересечения поверхности сферы и координатных осей, на расстоянии R от центра (рис. 1a). Заместим сферу телом, состоящим из трех, скрепленных между собой, ортогональных стержней с точечными массами на концах (рис. 1б).
После прекращения воздействия суммарная кинетическая энергия балансира остается постоянной. Происходит непрерывный обмен энергией между прецессией и нутацией в форме незатухающих механических колебаний.
Разобранный пример динамики стержневой системы с точечными массами, в инерционном отношении эквивалентной тонкостенной сфере, указывает на принципиальную возможность использования метода замещенияи в других, гораздо более сложных, случаях. Представляется, что использование методов компьютерной динамики [13] в исследованиях закономерностей движения замещаемых тел позволит существенно углубить и расширить анализ, обеспечить механиков – математиков и инженеров – механиков удобным инструментом аналитического исследования динамики и предварительных расчетов элементов летательных аппаратов:
- полученные решения свидетельствуют о том, что инерционные свойства балансира и тонкостенного тела вращения – сферы эквивалентны, поскольку величины их моментов инерции совпадают;
- движения системы определяются внешними воздействиями на рамки и внутренними силами инерции − переносными и Кориолиса;
- после прекращения воздействия суммарная кинетическая энергия балансира остается постоянной, происходит непрерывный обмен энергией между прецессией и нутацией в форме незатухающих механических колебаний;
- приведенные уравнения нутации и прецессии адекватно описывают большинство известных гироскопических эффектов, в том числе, безынерционную остановку прецессионного движения и устойчивого сохранения балансиром углового положения, заданного при его раскрутке;
- полученные результаты могут быть использованы в аналитических исследованиях и инженерных расчетах летательных аппаратов.
1. Chernous'ko F.L. Evolyuciya dvizheniya tverdogo tela otnositel'no centra mass/ F.L.Chernous'ko, L.D. Akulenko, D.D. Leschenko – Moskva−Izhevsk: Izhevskiy institut komp'yuternyh issledovaniy, 2015. – 308 s.
2. Magnus K. Giroskop. Teoriya i praktika / K.Magnus─ Moskva: Izdatel'stvo «Mir», 1974. – 516 s.
3. Kurs teoreticheskoy mehaniki: Uchebnik dlya vuzov / V.I. Drong [i dr.]; pod obsch.red. K.S. Kolesnikova – Moskva: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2005. – 736 s.
4. Lender F.F. Teoriya volchka: Obschaya teoriya volchka v elementarnom izlozhenii/ F.F. Lender. – Moskva: LENAND, 2017. – 136 s.
5. Yablonskiy A.A. Kurs teoreticheskoy mehaniki: Ch.2. Dinamika / A.A.Yablonskiy. – Moskva: Vysshaya shkola, 1977. – 430 s.
6. Pryadko Yu.G. Teoreticheskaya mehanika. Geometriya mass / Yu.G.Pryadko, V.G.Karavaev─ Chelyabinsk: Izd−vo YuUrGU, 2006. – 105 s.
7. Pochemu, i kak, precesciruet giroskop [Elektronnyy resurs] / IATE NIYaU MIFI, kafedra O i SF.─ rezhim dostupa: iatephysics.narod.ru/gyroscope/gyros_r.htm. Data dostupa 17.05.2018.
8. Levi−Chivita T., Amal'di U. Kurs teoreticheskoy mehaniki: T.2. Dinamika sistem s konechnym chislom stepeney svobody. Ch.2 / T. Levi−Chivita, U.Amal'di─Moskva: Izd−vo Inostrannaya literatura, 1959. – 543 s.
9. Buhgol'c N.N. Osnovnoy kurs teoreticheskoy mehaniki: Ch.2. Dinamika sistemy material'nyh tochek / N.N. Buhgol'c─ Moskva: Nauka, 1966. – 332 s.
10. Sivuhin D.V. Obschiy kurs fiziki. Uchebnoe posobie: T.1. Mehanika / D.V. Sivuhin─ Moskva: Izd−vo MFTI, 2005. – 560 s.
11. Perri Dzh. Vraschayuschiysya volchok / Dzh. Perri─ Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika», 2001. – 112 s.
12. Dobronravov V.V. Kurs teoreticheskoy mehaniki / V.V. Dobronravov, Nikitin N.N.─ Moskva: Vysshaya shkola, 1974. – 528 s.
13. Borisov A.V. Dinamika tverdogo tela / A.V.Borisov, I.S.Mamaev─ Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika», 2001. – 384 s.
