Введение

Выбор конкретных физических, а в последующем и математических моделей обусловливается целями не только собственно математического моделирования, но и физического моделирования и синтеза различных методик обработки данных опыта.

Принятие решений о моделях течений газовых теплоносителей в трубопроводах теплообменных аппаратов и соответствующего выполнения равенства критериев подобия для физического моделирования обусловливается степенью сложности конструкций установок, а выбор моделей для расчётных методик - нужной степенью приближения к реальным течениям и сложностью вынужденных вычислений.

В определённом числе моделей применяется термодинамическое моделирование газовых теплоносителей - моделирование, в котором преобразование параметров в рассматриваемом пространстве и времени не предусматривается.

В контексте данной статьи течения газовых теплоносителей при разветвлении трубопровода теплообменного аппарата рассматриваются как докритические и стационарные.

Фактическое стационарное течение газовых теплоносителей в трубопроводе теплообменника не одномерное и происходит одновременно с диссипацией механической энергии. Следовательно, при расчёте применяется коэффициент расхода μ, который меньше единицы и при помощи которого возможно учесть сужение потока и потери механической энергии.

В соответствии с отношениями давлений и площадей проходных сечений коэффициент расхода μ может быть определен на основании опытной статической продувки.

Коэффициент расхода μ рассчитывается как отношение действительного расхода на входе в трубопровод G₁ к идеальному G'₁, то есть без потерь при течении [1; 7; 11]. В научных трудах [1; 3; 6; 7; 11] выявлено, что уменьшенные значения G₁ по сравнению с G'₁ связаны с тем, что плотности ρ'₁ и скорости W'₁ на входах в трубопроводы выше аналогичных фактических значений ρ₁ и W₁.

  Возможно использование двумерных нестационарных моделей идеальных газов при расчётном изучении структур потоков газов в разветвлениях трубопровода теплообменного аппарата.

Численные величины характеристик газовых теплоносителей, которые получены при использовании данного моделирования, только приближённым образом соответствуют характеристикам реальных потоков газовых теплоносителей, так как вследствие допущения постоянства характеристик относительно третьей координаты нет возможности расчёта действительных размеров отрывных зон и распределений характеристик реальных трёхмерных потоков [1; 3; 7; 11].

Вышеупомянутые математические подходы могут позволить оценить качественную закономерность изменений структур течений и распределений характеристик газовых теплоносителей в трубопроводе теплообменного аппарата как их зависимость от конструкций и форматов разветвлений.

  Определение характеристик газовых теплоносителей для граничных профилей в разветвлениях трубопровода теплообменного аппарата важно также и для задания граничных условий для расчёта течений теплоносителей для прямых участков трубопровода.

Физическое моделирование параметров течений газообразных теплоносителей в разветвлениях трубопровода теплообменного аппарата         

При течении газового теплоносителя в трубопроводе теплообменного аппарата для учёта потерь возможно использование коэффициента потерь ζ, выражающего потери энергии l_П как некоторую долю кинетической энергии стационарного потока газового теплоносителя (для выражения для энергии для одномерных стационарных течений газовых теплоносителей l рассчитывается как работа L, которая отнесена к временной единице и массовой единице газа, а именно: l=L/(G·dt), т.е. как энергия, которая эквивалентна мощностной единице газовой массы) [1; 6; 7; 11]:

                              lп=ζρW22  .                      (1)

Коэффициенты потерь ζ при течениях газовых теплоносителей в трубопроводах теплообменных аппаратов могут быть определены как, например, при течениях теплоносителей, которые рассматриваются в виде несжимаемого газа, в коленах (рис. 1).

Рис. 1. Схема течений газовых теплоносителей

в коленах трубопроводов теплообменных аппаратов

Рис. 2. Схема разделяющихся течений газовых теплоносителей в разветвлениях трубопроводов теплообменных аппаратов

В профилях 1-1 и 2-2 предполагаем, что профиль скорости несущественно отличается от равномерных идеальных профилей. Записываем уравнение Бернулли для данного течения газовых теплоносителей (р₀ - полное давление, или давление заторможенного потока) [1; 6; 7; 11]:

p1+ρW122=p2+ρW222+ζρW222  .                 (2)

В левой и правой частях первые слагаемые - давления заторможенных потоков, поэтому коэффициенты потерь ζ для несжимаемых газовых теплоносителей будут отражением относительной доли потери полных давлений:

ζ=p01-p02ρW222  .                                       (3)

Таким образом, возможно детерминировать - к примеру, по данным опыта - потери полных давлений и ρW222 .

Полные давления можно рассчитать опытным образом, например при помощи приёмников полных давлений. Cкорости W₂ вычисляются при известном расходе газовых теплоносителей по выражению G=ρW₂А₂ (А - площади профилей трубопроводов теплообменных аппаратов).

Для несжимаемых газовых теплоносителей теплообменных аппаратов изменения скоростей потоков в профиле 2-2 определяются преобразованием площадей профилей А₁ и А₂, так как при неизменности плотностей газов из уравнения неразрывности - ρ₁W₁А₁=ρ₂W₂А₂ - вытекает соотношение W₂=W₁(А₁/А₂).

Таким образом, коэффициенты потерь выражают в том числе относительные доли потерь статических давлений.

Коэффициенты сопротивлений ζ возможно рассчитать при сопоставлении уравнения Бернулли для течений газовых теплоносителей при отсутствии потерь с соответствующим уравнением Бернулли для течений при потерях ( (р₂)_ид - статические давления в профиле 2-2 при течении без потерь) [1; 6; 7; 11]:

ζ=p2ид-p2ρW222  .                                      (4)

Течения газов в коленах трубопроводов теплообменных аппаратов являются неодномерными течениями со сложными пространственными структурами, которые зависят от параметров втекающих газовых теплоносителей, а также геометрии каналов. Инерционная сила стремится к сохранению первоначального прямолинейного движения, следовательно, давления на внешних стенках каналов увеличиваются, а на внутренних - снижаются. Скорости движения чаcтиц газов, которые находятся в пограничных слоях, в сторону главного течения довольно невелики, следовательно, генерирующиеся в поперечных профилях градиенты давлений приводят к перемещению этих частиц по периметрам каналов от внешних стенок к внутренним и образованию в ядрах обратных компенсирующих движений, вследствие чего в поперечных профилях образуются вторичные движения в форме парных вихрей.

Скорости основных потоков газовых теплоносителей в коленах трубопроводов теплообменных аппаратов будут меняться обратно изменениям давлений: скорости газовых теплоносителей в сравнении со скоростями в профиле 1-1 уменьшаются вне пограничных слоёв внешних стенок и повышаются вне пограничных слоёв внутренних стенок. Если кривизна колен трубопроводов теплообменников мала, то давления в пограничных слоях могут являться практически эквивалентными давлениям заторможенных потоков, а вдоль вышеуказанных стенок могут быть образованы вихревые зоны. После преодоления центральных профилей Ц-Ц происходит переформатирование профилей cкоpоcтей и давлений следующим образом: в направлениях от внутренних стенок к внешним давления уменьшаются, а скорости повышаются. Направления кривизны внутренних стенок колен трубопроводов теплообменников применительно к направлениям главных движений потоков и вышеуказанное повышение давлений обусловливают образование зон отрыва пограничных слоёв, толщина и протяжённость которых в значительной мере перекрывают аналогичные величины зон отрыва у внешних стенок [1; 2; 4-8; 11].

Итоговые энергетические потери потоков газовых теплоносителей в коленах трубопроводов теплообменных аппаратов можно подразделить на потери на трение, выходные и внутренние потери, которые связаны с неравномерностями полей скорости и дальнейшим их самовыравниванием. Внутренние потери определяются как потери на трение для вторичных течений и потери на образование вихревой отрывной зоны. Выходные и внутренние потери формируют наибόльшую составную часть итоговых энергетических потерь.

Уровень неравномерностей полей скорости, величины отрывной зоны, интенсивности вторичного течения обусловлены геометрическими параметрами колен трубопроводов теплообменных аппаратов и критерием Рейнольдса Rе. Трансформация коэффициентов сопротивлений ζ в трубопроводах теплообменных аппаратов может быть вычислена как зависимость от вышеупомянутых характеристик (к примеру, по данным опыта) [2; 4; 5; 8; 9; 11].

Bозрастание потерь имеет место и при неравномерностях полей скорости втекающих потоков газовых теплоносителей, так как повышаются градиенты давлений и размеров зон отрыва. Критерии Маха М при течении газовых теплоносителей в трубопроводе теплообменного аппарата невелики, следовательно, их влияние на коэффициенты сопротивлений незначительно. Выравнивание полей скорости имеет место на значительных длинах трубопровода, которые соединены с коленами. Практически трубопровод теплообменного аппарата может быть и укороченным, следовательно, для вычисления коэффициентов сопротивлений ζ обязательно выполнение условия параметрического осреднения в профилях 1-1 и 2-2.

Осреднение характеристик газовых теплоносителей в трубопроводах теплообменников способствует переходу от рассмотрения потоков с пространственной неравномерностью распределения характеристик к рассмотрению потоков с равномерностью распределения характеристик по профилям трубопроводов теплообменников (переход от рассмотрения немалого количества величин характеристик действительных потоков, а именно векторного или скалярного поля характеристик, к определённо меньшему количеству характеристик осреднённых потоков).

При упрощении методов расчёта при осреднении используются некоторые упрощения, принимающиеся при учёте специфики действительного течения газoвых теплоносителей в трубопроводах теплообменных аппаратов. В том случае, если течения газовых теплоносителей характеризуются не очень значительным теплообменом с внешней cpедой, возможно принятие постоянной во вcеx точкаx профилей трубопроводов теплообменников температуры заторможенных потоков Т₀. При определении коэффициента потеpь в коленах и разветвлениях трубопровода теплообменника в подавляющем большинстве cлучаев она может быть признана постоянной по входному и выходному профилям.

Коэффициенты потерь ζ могут быть отнесены к характеристикам течения как на выходах трубопроводов теплообменных аппаратов, так и на входах. Диссипацию энергии можно определить, к примеру, следующим образом (W'₂ - cкорости потоков газовых теплоносителей без потерь на выходах из трубопроводов) [1; 6; 7; 11]:

l п=ζρW2'22  .                                    (5)

Таким образом, используя данные опытов для коэффициентов сопротивлений ζ для разветвлений трубопровода теплообменного аппарата, главное внимание необходимо обратить на характер детерминирующей коэффициент сопротивления формулы.

Более того, при расчёте характеристик течений несжимаемых газовых теплоносителей при учёте гидромеханического характера потерь в трубопроводе теплообменника неправомерным будет использование равенства температуры заторможенных потоков, так как соотношения между Т₀₁ и Т₀₂ определяются уравнениями состояния газов.

При расчёте коэффициентов потерь ζ для разветвлений трубопровода теплообменного аппарата для теплоносителей в форме сжимаемых газов возможно использование структуры выражения (3). Формула

ζ=p01-p02ϱ02W222                                          (6)

постулирует связь между коэффициентом сопротивления ζ и коэффициентом восстановления полных давлений σ (σ=р₀₂/р₀₁) для течения газового теплоносителя в трубопроводе теплообменного аппарата.

При применении соответствующих выкладок будем иметь:

σ=1+ζW222RT02-1  .                         (7)

Диссипацию работоспособности сжимаемых газовых теплоносителей в трубопроводах теплообменников следует оценить с помощью коэффициентов потерь ζ_сж при расчёте работы как адиабатической работы при сжатии, которая должна быть затрачена в целях восстановления полных давлений р₀₂ до начальных давлений р₀₁ [1; 6; 7; 11]:

ζсж=lW122=γγ-1RT02p01p02γ-1γ-1W122  .                (8)

Следовательно, при математическом моделировании течений газовых теплоносителей в разветвлениях трубопровода теплообменного аппарата для обеспечения необходимой степени приближения к действительному потоку и сложности необходимых вычислений с полным основанием можно остановить выбоp на термодинамической модели докритического стационарного течения сжимаемых газов.

Математическое моделирование характеристик течений газообразных теплоносителей в разветвлениях трубопровода теплообменного аппарата

Для энергоизолированных изоэнтропных потоков термодинамические характеристики газовых теплоносителей взаимосвязаны следующим образом (γ - показатель для изоэнтроп) [1; 6; 7; 11]:

T0=T1+γ-12М2;                                  (9)

ϱ0=ϱ1+γ-12М21γ-1;                            (10)

p0=p1+γ-12М2γγ-1.                                          (11)

Характеристики одномерных стационарных потоков на выxоде в профилях 2-2 (рис. 1) газодинамических устройств теплообменных аппаратов (рассчитываются, когда извеcтны характеристики на входах 1-1 при известной величине коэффициента восстановления полных давлений σ=р₀₂/р₀₁) определяются из решения системы трансцендентных уравнений:

p01σ=p02=p21+γ-12W22γRT2γγ-1;T01=T02=T21+γ-12W22γRT2;G=A2p2RT2W2.         (12) 

          Данная система уравнений может быть применена для расчётов стационарных течений газовых теплоносителей при несколько более сложных структурах течений в тройном разветвлении (тройнике) трубопровода теплообменного аппарата.            Схемы данных течений газовых теплоносителей в трубопроводах теплообменных аппаратов показаны на рис. 2.

          Линии тока (пунктир на рис. 2) отвечают разделению потоков, втекающих в разветвления, на два, которые вытекают благодаря ответвлениям потоков.

На рис. 3 пунктир соответствует разделению линий тока при поточном слиянии.

Рис. 3. Схема течений при слиянии потоков газовых теплоносителей в разветвлениях трубопроводов теплообменных аппаратов

Рис. 4. Типичные схемы течения потоков газовых теплоносителей в разветвлениях трубопровода теплообменного аппарата

Течения газов в разветвлённых трубопроводах теплообменных аппаратов характеризуются сложными пространственными структурами с неравномерными распределениями характеристик в профилях 2-2 и 3-3.

  Принимается, что течения газовых теплоносителей влияния друг на друга практически не оказывают. Известны величины характеристик в профиле 1-1, а также коэффициенты восстановления σ₁ и σ₂; берутся фактически одинаковыми давления в профилях 2-2 и 3-3.

Принятые допущения обусловливают запись системы трансцендентных уравнений для определения характеристик газовых теплоносителей в профилях 2-2 и 3-3:

                                                  p01σ1=p02=p21+γ-12W22γRT2γγ-1;p01σ2=p03=p31+γ-12W32γRT3γγ-1;T01=T02=T21+γ-12W22γRT2;T01=T03=T31+γ-12W32γRT3;G=A2p2RT2W2+A3p3RT3W3;p2=p3.                                              (13)

Для предложенного моделирования одномерных стационарных течений в разветвлённых трубопроводах теплообменников следует ещё до решения определяющей системы уравнений назначить параметры и структуры, которые необходимо определить. Течение в трубопроводе теплообменного аппарата носит докритический характер, следовательно, нужно задать значения давлений в профилях 2-2 и 3-3 и две характеристики в профиле 1-1. Конкретный подбор независимых харaктеристик состояний газовых теплоносителей в рассматриваемых профилях разветвлений соответствует установленным закономерностям потоков.

Характеристики течений газов в рамках одномерного моделирования слияния потоков и характеристики газовых теплоносителей должны согласовываться с условиями выравнивания их величин.

Постулируется, что между течениями газов, вытекающих через разные площади А₁₂ и А₁₃ в профиле 1-1 (А₁=А₁₂+А₁₃) (рис. 3), не происходит массообменных и теплообменных процессов, следовательно, они обладают разной плотностью и скоростью, но одинаковым давлением.

Аналитическое решение задачи о течениях газообразных теплоносителей в разветвлениях трубопровода теплообменного аппарата         

Течение газовых теплоносителей в разветвлениях трубопровода теплообменного аппарата происходит одновременно с турбулизированием и генерацией зон отрыва, что, в свою очередь, вызывает ощутимые потери механической энергии.

          Количественные и качественные потери, а также структуры течений (при стационарном течении) в разветвлениях трубопровода теплообменника обычно устанавливаются на опытном основании.

          В большинстве случаев изучению подвергаются характеристики для стационарного течения газов в трубопроводе теплообменного аппарата, поскольку основные режимы течения для данного условия - турбулентные стационарные.

          Расширенным допущением при расчётах характеристик течений в трубопроводе теплообменника является постоянство формы канала и разделения или слияния потоков газов (рис. 2, 3).

          Граничные условия задаются следующим способом. Если граница открыта, то количество необходимых граничных условий равно количеству уходящих от данной границы характеристик, а граничные условия, требующиеся входным характеристикам, определяются решениями дифференциальных задач.

          Следовательно, утверждая, что в профиле разветвления трубопровода теплообменного аппарата, прилегающего к патрубкам или ресиверам, нужные характеристики газовых теплоносителей уже известны, и исходя из предположения о задании граничных условий, можно обосновать исходную систему выражений для расчёта возможного случая для течений газовых теплоносителей в разветвлениях [1; 6; 7; 11].

          Для разделения потоков в трубопроводах теплообменных аппаратов (рис. 4.1) в профиле 3-3 следует задать 2 граничных условия, так как от данной границы уходят 2 характеристики; в профиле 2-2 следует задать давления р₂ или скорости W₂ и температуру Т₂, так как положения характеристик сходны с профилем 3-3.

          Главная система уравнений для рассматриваемых случаев разделения или слияния потоков в трубопроводах теплообменных аппаратов - система уравнений (13).

          Варианты разделения потока в трубопроводах теплообменных аппаратов, показанные на рис. 4.2, симметричны варианту на рис. 4.3, поэтому можно рассмотреть только первый случай.

В профиле 2-2 следует задать только 1 граничное условие, поскольку от этого профиля исходит лишь 1 характеристика. Равенство давления истекающего потока: р₁=р₃.

В профиле 1-1 определяемые характеристики - температура Т₁ и скорость W₂ или давление р₁.

          Далее следует рассмотреть задание граничных условий при слиянии потоков в трубопроводе теплообменного аппарата.

          Алгоритмы расчёта слияния потоков в трубопроводе теплообменника для случаев на рис. 4.4 и 4.5 подобны, следовательно, можно рассмотреть лишь 1-й случай.

Для случая слияния потоков в трубопроводах теплообменных аппаратов, показанного на рис. 4.5, в профиле 2-2 следует задавать лишь 1 граничное условие, а в профиле 3-3 - 2 граничных условия.

Постулируется, что течения теплоносителей между профилями 1-1 и 2-2 не смешиваются, следовательно, неизвестными характеристиками служат площадь профиля А₃₁ и площадь профиля А₃₂, причём А₃₁+А₃₂=А₃, что соответствует вытекающим через профиль 3-3 потокам газовых теплоносителей.

Постулируется, что температура Т₃₁ и температура Т₃₂, а также скорость W₃₁ и скорость W ₃₂ вытекающего потока разные, но в профиле 3-3 давления одинаковые; кроме того, р₂=р₁.

При учёте данных допущений основная система уравнений для расчётов течений газовых теплоносителей в трубопроводах теплообменных аппаратов при слиянии потоков (рис. 4.6) выводится из главной системы (13):

                                                      p01σ1=p31+γ-12W312γRT31γγ-1;p02σ2=p31+γ-12W322γRT32γγ-1;T01=T311+γ-12W312γRT31;T02=T321+γ-12W322γRT32;G1=A31p3RT31W31;A2p2RT2W2=A3-A31p3RT32W32.                                              (14)

          Как граничное условие в профиле 2-2 известно давление р₂; в профиле 1-1 известен ещё расход G₁ газовых теплоносителей.

Неизвестные характеристики: скорости W₂, W₃₁, W₃₂; температуры Т₃₁, Т₃₂; площадь профиля А₃₁.

Следовательно, имеет место система из шести трансцендентных уравнений с шестью неизвестными параметрами.

Представленная система уравнений может быть решена аналитическим образом, несмотря на то что ранее постулировалось, что её можно решить лишь численным способом [6].

Для системы уравнений (14) имеется четыре аналитических решения.

Корректность решения системы (т.е. существование, единственность и устойчивость) заключается в следующем: решение сводится к уравнению четвёртой степени с действительными коэффициентами, имеющему четыре решения (в общем случае - комплексно-сопряжённые), которые и были получены в рамках данной статьи.

Решив систему, получим четыре корня. Физический смысл есть только у одного, которому после выкладок можно придать следующий вид:

                           W2=1-p02p3σ21-γγRp02σ2γ-1γT2A2p2T02A32γγ-1p31γ-Rp01σ11-γγT01G11-p01p3σ11-γγ;W31=2γ1-γRT01p01p3σ11-γγ-1;W32=2γ1-γRT02p02p3σ21-γγ-1;T31=T01p01p3σ11-γγ;T32=T02p02p3σ21-γγ;A31=G1p3p01p3σ11-γγγ-12γRT011-p01p3σ11-γγ.                               (15)

          Далее следует рассмотреть алгоритм расчёта слияния потоков в трубопроводе теплообменного аппарата для варианта, представленного на рис. 4.6.

В профилях 2-2 и 3-3 определяется только 1 граничное условие, поскольку определяющее условие для данного случая слияния потоков - условие тождественности давлений р₂=р₃, что и задано в форме граничных условий.

В этом случае необходимо задание одного неизвестного параметра - давления р₂.

Неизвестные параметры в профиле 1-1: W₁₂, W₁₃, T₁₂, T₁₃, А₁₂, А₁₃ (А₁=А₁₂+А₁₃).

При учёте представленных постулатов основная система уравнений для расчётов течений газовых теплоносителей в трубопроводах теплообменных аппаратов при слиянии течений (рис. 4.6) выводится из исходной системы (13):

                                                               p02σ2=p11+γ-12W122γRT12γγ-1;p03σ3=p11+γ-12W132γRT13γγ-1;T02=T121+γ-12W122γRT12;T03=T131+γ-12W132γRT13;A2p2RT2W2=A12p1RT12W12;A3p2RT3W3=A1-A12p1RT13W13.                                                (16)