CALCULATED ANALYSIS OF SEISMIC SECURITY OF HOISTING CRANES
Authors:
1.
Astrakhan State Technical University
(Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Technique and Technology of Land Transport )
Astrakhan, Russian Federation
Astrakhan, Russian Federation
2.
Astrakhan Institute of Civil Engineering
3.
Saint-Petersburg Mining University
(Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Thermal Engineering and Heat Power Engineering )
Type:
Article
Pages:
from 113
to 132
Status:
Published
Received:
20.05.2018
Accepted:
21.02.2020
Published:
25.05.2018
Subject area:
UDK 629.08.
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 55.42 Двигателестроение
GRNTI 55.45 Судостроение
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 44.31 Теплоэнергетика. Теплотехника
Language:
Russian
Keywords:
seismic impact, 3-component accelerogram, synthesized (probability-statistical) accelerogram, seismic response spectrum, linear-spectral method, dynamic analysis method, mathematical model of seismic impact
Abstract (English):
The choice of methods of the theory of seismic resistance in relation to the assessment of seismic safety of hoisting cranes operated in buildings and structures depends on the availability and the type of a seismic model. In the presence of a seismic input in the form of seismic coefficients of dynamism or their modified variants in the form of seismic response spectra, there is used a linear-spectral method, to be exact, its "flat" version, according to BD 14.13330.2014 "Building in seismic zones" and DS-031-01 "Design standard of earthquake resistant atomic power stations". Dynamic analysis of the theory of seismic resistance of structures is an extension of a linear-spectral method. It simplifies finite-element modelling of real structures, but uses methods of numerical integration of big systems of second-order seismic differential equations.
The choice of methods of the theory of seismic resistance in relation to the assessment of seismic safety of hoisting cranes operated in buildings and structures depends on the availability and the type of a seismic model. In the presence of a seismic input in the form of seismic coefficients of dynamism or their modified variants in the form of seismic response spectra, there is used a linear-spectral method, to be exact, its "flat" version, according to BD 14.13330.2014 "Building in seismic zones" and DS-031-01 "Design standard of earthquake resistant atomic power stations". Dynamic analysis of the theory of seismic resistance of structures is an extension of a linear-spectral method. It simplifies finite-element modelling of real structures, but uses methods of numerical integration of big systems of second-order seismic differential equations.
Keywords:
seismic impact, 3-component accelerogram, synthesized (probability-statistical) accelerogram, seismic response spectrum, linear-spectral method, dynamic analysis method, mathematical model of seismic impact
seismic impact, 3-component accelerogram, synthesized (probability-statistical) accelerogram, seismic response spectrum, linear-spectral method, dynamic analysis method, mathematical model of seismic impact
Землетрясения представляют собой одну из самых разрушительных природных катастроф с последствиями в виде человеческих жертв и огромных материальных убытков. По статистическим данным, в мире ежегодно происходит более 300 тыс. землетрясений. В СНГ сейсмически активной считается 28 % территории, ежегодно регистрируется до 75 землетрясений, причём в среднем раз в три года происходит одно разрушительное землетрясение. Задача сокращения материальных убытков и уменьшения человеческих жертв при возможных землетрясениях в ходе освоения сейсмически активных территорий обусловлена требованиями по сейсмической безопасности грузоподъёмных кранов, транспортирующих, в том числе, опасные радиоактивные грузы в портах и терминалах. Основой сейсмической безопасности являются методы расчёта подъёмных сооружений на сейсмические воздействия по оценке напряженно-деформированного состояния их несущих конструкций, связанных с обеспечением их прочности для восприятия сейсмических нагрузок. В статье показано, что требования по разработке современных проектов подъёмных сооружений удовлетворяются, если учитывается пространственный характер воздействия, а сооружения рассматриваются как единые пространственные системы, кроме того, учитываются различного характера деформации и геометрические и кинематические нелинейности. Установлено, что расчёт и проектирование сейсмостойких подъемных сооружений стали возможными за счёт развития компьютерной техники и компьютерного математического обеспечения, основанного на развитии аппарата общей и строительной механики и численных методов решения больших систем дифференциальных уравнений сейсмических колебаний второго порядка. Математическая модель сейсмического воздействия Уравнение вынужденных сейсмических колебаний недемпфированной системы расчётно-динамической модели (РДМ) подъёмного сооружения с n степенями свободы имеет вид , (1) где [М] и [К] - матрицы масс и жёсткости РДМ конструкции; - вероятностно-статистическая акселерограмма (ВСА) землетрясения; {Рст}, {Рд} - векторы статических и динамических эксплуатационных и технологических нагрузок на грузоподъёмную машину соответственно; и - вектор перемещений РДМ и его вторая производная. В соответствии с п. 5.1.1. Руководства по безопасности 006-98 «Определение исходных сейсмических колебаний грунта для проектных основ» [1] для синтезирования расчётных акселерограмм используется полученный в результате обработки набор аналоговых акселерограмм, подходящих для сходных сейсмических и грунтовых условий, представленных в работах [2-6], сводный ансамбль которых приведён на рис. 1. Рис. 1. Сводный ансамбль реальных 7-балльных акселерограмм максимального расчётного землетрясения MSK-64 [2-6] на дневной поверхности Принято считать, что расчётная акселерограмма РБ 006-98 [1] (2) является консервативной. Здесь A(t) - огибающая, а фазовые углы φi представляют собой равномерно распределённые в интервале от 0 до 2π случайные величины. Шаг по частоте Δω определяется из условия гладкости спектра реакции как . Расчёты производятся в интервале периодов Т от 0,05 до 3 с. В качестве первого приближения для амплитуды Bi в (2) используются значения, непосредственно взятые с заданной кривой b(Т) [7] для соответствующих значений частот wi. Уход от консервативной акселерограммы (2) авторам настоящей работы представляется в разработке вероятностно-статистическая акселерограммы, получаемой на основе обработки ансамбля исходных, предпочтительно реальных, акселерограмм землетрясений баллов MSK-64 [2-6]. Для построения ВСА нами приняты следующие допущения [8, 9]: - на времени действия τэ эффективной фазы землетрясения 4 ≤ τэ ≤ 10 c сейсмическое воздействие (СВ) является случайным стационарным процессом с нулевым матожиданием, дисперсией , корреляционной функцией (КФ) - К(τ) и функцией спектральной плотности (ФСП) - Ga(ω); - сейсмическое воздействие, заданное акселерограммой a(t), имеет нормальный закон распределения; - сейсмическое воздействие, в отличие от СНиП II-7-81* [7], задаётся для трёх направлений пространства: двух горизонтальных X, Y и вертикального Z. Причем вероятность проектного землетрясения равна Тс / 103, а максимального расчетного землетрясения (МРЗ) - Тс / 104, где Тс - нормативный срок службы проектируемого сооружения, например, согласно РД 22-01-97 [10]. Сейсмическое воздействие как случайную функцию представим ансамблем [2-6] выборочных функций , каждая из которых не описывает всех свойств СВ. Проведя статистическую обработку ансамбля исходных акселерограмм, получим воздействие, учитывающее все свойства ансамбля. Для этого каждая акселерограмма исходного ансамбля переоцифровывается с одним и тем же шагом Δt (0,01 ≤ Δt ≤ 0,03 c), и для каждой из них устанавливается длительность, соответствующая длительности τэ эффективной фазы ансамбля. В результате получается ансамбль переоцифрованных с одинаковым по времени шагом акселерограмм равной длительности, рассматриваемых как реализация случайного процесса . Для каждого момента времени tk (с шагом оцифровки) проводится осреднение мгновенных значений процесса землетрясения: определяется и - математическое ожидание и среднеквадратическое значение (дисперсия) соответственно: (3) (4) где S - число реализаций сейсмических процессов. Выборка объемом S в (3), (4) имеет нормальный закон распределения. С изменением объёма выборки будет меняться дисперсия (4). В этом случае для момента времени tk значение процесса является случайной величиной со всеми параметрами дисперсии (5) и матожидания выборочного среднего, которое с вероятностью будет находиться в интервале , (6) где верхняя граница (6) является среднестатистической акселерограммой (ССА): (7) В (6) и (7) F(UP), Ф(UР) - табулированные функции нормального распределения (нормированного и Лапласа) соответственно; Uр - квантиль нормального распределения, соответствующий принятой проектировщиком доверительной вероятности Р, значения которого приведены в табл. 1. Таблица 1 Квантили UP нормального распределения Показатель Критерий Доверительная вероятность Р 0,90 0,95 0,975 0,990 0,995 0,999 Односторонний 1,282 1,645 1,96 2,362 2,576 3,0 Двухсторонний 1,645 1,96 2,362 2,576 3,0 3,3 Заметим, что выбор доверительной вероятности Р в (6) не является математической задачей, а определяется конкретно решаемой проблемой. Величина a = (1 - Р) (8) называется уровнем значимости или риском пользователя (риском 1-го рода) и определяет критическую область, в которую попадает α процентов неучтённых возможных средних значений выборки S. При малом числе реализаций процесса вместо квантиля Up в (6) и (7) следует принимать квантиль tp распределения Стьюдента (табл. 2.). Таблица 2 Квантили tp распределения Стьюдента Показатель Объём выборки Доверительная вероятность Р 0,95 0,99 0,999 5 3,04 5,04 9,43 15 2,22 3,08 4,28 20 2,15 2,93 3,98 30 2,08 2,80 3,72 40 2,03 2,71 3,53 50 1,99 2,64 3,41 100 1,96 2,58 2,29 Анализ реальных акселерограмм [2-6] показывает, что у консервативных акселерограмм (2), построенных для различных ансамблей, пиковые ускорения в момент времени tk могут существенно отличаться, поэтому для повышения точности представления СВ и повышения качества сейсмических расчётов применяют ВСА. Учитывая, что среднеквадратичное значение в (6) тоже является случайной величиной, имеющей доверительный интервал (9) где qp - квантиль распределения (табл. 3), поэтому для построения вероятностно-статистической акселерограммы целесообразно принимать верхнюю границу Р-процентного интервала среднеквадратичного значения из (9). Таблица 3 Значения квантилей qp Показатель Число дискретных значений ансамбля акселерограмм Доверительная вероятность Р 0,95 0,99 0,999 5 1,37 2,67 5,64 10 0,65 1,08 1,80 15 0,46 0,73 1,15 20 0,37 0,58 0,88 30 0,28 0,43 0,63 40 0,24 0,35 0,50 50 0,21 0,30 0,43 100 0,14 0,20 0,27 После этого вероятностно-статистическая акселерограмма с учётом (9) представляется в виде (10) она учитывает Р процентов свойств всей исходной информации ансамбля {аi(t)} [2-6] и может быть использована как модель сейсмического воздействия на грунте при расчёте зданий и сооружений на сейсмостойкость линейно-спектральным методом и методом динамического анализа. Очевидно, что ВСА (10) интенсивностью 7 баллов по шкале MSK-64 рекомендуется использовать для практических расчётов зданий и сооружений на СВ по МДА (рис. 2), причём выбор значений доверительной вероятности Р в (10) производится в зависимости от вероятности (8). Рис. 2. Расчётная ВСА максимального расчётного землетрясения 7 баллов MSK-64 на отметке +0 на дневной поверхности: а, б - горизонтальные компоненты х, y; в - вертикальная компонента z В целях практических расчетов сооружений на СВ получение значений оцифровки любой акселерограммы a(t) с любым шагом в пределах длины полупериодов осуществляется с использованием формулы (11) в которой L - длительность импульса; t - время начала импульса; τ - время в пределах импульса, ; аm - амплитуда импульса. Здесь следует учесть, что ВСА (10) обеспечены оцифровками как процесс на временной оси с шагом Δt (0,01 ≤ Δt ≤ 0,08 c). Пользователю трёхкомпонентными ВСА (10) при сейсмическом проектировании зданий и сооружений МДА следует помнить, что их качество при полноте информации большей, чем [2-6], может быть улучшено. Кроме того, их качество должно оцениваться через призму сведений [7], согласно которым максимальные ускорения пиков акселерограмм 7, 8 и 9 баллов отличаются друг от друга в 2 раза и составляют 1, 2 и 4 м/с2 соответственно. В заключение следует указать, что ВСА при наличии РДМ рассчитываемого объекта служит основой для построения методом динамического анализа поэтажной ВСА, на уровне установки встроенного технологического оборудования, крановых конструкций и др. с целью их детального расчёта на сейсмостойкость. С целью оценочного анализа ВСА 7 баллов (см. рис. 2) МРЗ MSK-64 на рис. 3 и 4 представлены её сейсмический спектр ответа (ССО) и сейсмические коэффициенты динамичности (СКД) соответственно на дневной поверхности на временной и частотной оси, в том числе, для сравнения, СКД СНиП II-781*[7], для грунтов II категории. Рис. 3. Сейсмические спектры ответа ВСА максимального расчётного землетрясения 7 баллов MSK-64 на дневной поверхности (затухание 0,02; 0,04; 0,08): а, б - горизонтальные компоненты х, y; в - вертикальная компонента z Рис. 4. Сейсмические безразмерные коэффициенты динамичности b(w) ВСА максимального расчётного землетрясения 7 баллов MSK-64 на дневной поверхности (затухание 0,02; 0,04; 0,08): а, б - горизонтальные компоненты х, y; в - вертикальная компонента z Для оценки амплитудных характеристик ВСА 7 баллов (см. рис. 2) на рис. 5 представлена её амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика ВСА максимального расчётного землетрясения 7 баллов MSK-64: а, б - горизонтальные компоненты х, y; в - вертикальная компонента z Очевидно, что пользователю ВСА 7 баллов при необходимости следует учитывать грунтовые условия, как согласно [7, 12], так и результатам обеспеченности и сейсмомикрорайонирования, например, согласно [3, 13]. Кроме того, оцифровку ВСА 7 баллов МРЗ MSK-64 можно найти по рекомендациям работы [11]. Необходимо указать, что затуханию x = 0,02; 0,04; 0,05 и 0,08 (см. рис. 3, 4) соответствует логарифмический декремент затухания колебаний dз, определяемый из формулы , (12) величины которого принимают значения 0,12; 0,25; 0,314 и 0,5 соответственно, что отвечает сведениям [14]. Математическая модель линейно-спектрального метода В качестве расчётного базиса линейно-спектрального метода (ЛСМ) примем собственные векторы, полученные, в частности, для стержневой динамической системы сооружения из уравнений свободных колебаний n-го порядка , (13) полученное из (1). Для системы со многими степенями свободы исключим время t в (13) с помощью вектора перемещений (14) и его второй производной по времени , (15) что приводит к системе уравнений для собственных значений относительно форм колебаний , в которой [Ф] - фундаментальная матрица произведения матриц порядка n ´ n, составленная из собственных векторов, расположенных по столбцам (16) характеризующая форму колебаний полной системы, у которой изменяются только амплитуды и J - фазовый угол; - диагональная матрица собственных значений, элементами которой являются квадраты собственных частот … (17) Подставив выражения (14) и (15) в (13), получим , откуда приходим к уравнению для собственных значений (однородной системе) . (18) Условие нетривиальности решения однородной системы (18) приводит к частотному уравнению метода конечных элементов (МКЭ) в прямой форме , (19) легко разрешаемому с помощью ЭВМ, где - единичная матрица. Здесь всегда принимается во внимание, что решение частотного уравнения, согласно (18), удовлетворяет условию . Поскольку уравнение движения (1) является линейным, связь между обобщёнными координатами и нормальными координатами {ѱ} определяется соотношением (20) Подставив в (1) выражение (20) и его вторую производную и умножив полученное слева уравнение на транспонированный вектор m-й формы колебаний {φm}T, получим распадающееся уравнение n-го порядка (векторы {Рст}, {Р¶} опущены): (21) которое, согласно условиям ортогональности, доказанным Рэлеем, с учётом (18) распадается на несвязанные уравнения по формам колебаний: (22) в которых Mm и Km - модальные масса и жёсткость соответственно: ; (23) . (24) Вектор в правой части (22) с учётом (23), (24) представляет собой долю сейсмической нагрузки на сооружение, вызывающую колебания его РДМ по m-й форме. Если СВ в (22) представим в виде , (25) где - трёхкомпонентный вектор направляющих косинусов трёхкомпонентной ВСА (см. рис. 2) в общей системе координат (ОСК), то уравнение (22) с учётом затухания (12) примет вид , (26) где wm - собственная m-ая частота колебаний осциллятора, определяемая из выражения (17): ; Dm - коэффициент влияния с учётом (23, 24) - величина постоянная для m-й формы колебаний РДМ сооружения: . (27) Теперь покажем, что матрица жёсткости полой стержневой системы сооружения порядка n ´ n, состоящая из S конечных элементов определяется методом суперпозиции: , (28) согласно которому матричная форма матрицы отдельного стержневого КЭ должна быть представлена в виде блока, в котором , где Т - индекс транспонирования. Известно, что матрица жёсткости масс из местной системы координат (МСК) в ОСК переводится с применением диагональной матрицы преобразования : , (29) в которой , (30) а матрица в (30) - матрица направляющих косинусов углов Эйлера [8, 9]; в практических целях матрицу стержневого КЭ обычно представляют в блочном виде типа (28). Из (22) и (26) стало очевидно, что сейсмические нагрузки по своей природе являются расчётными инерционными нагрузками. Для их определения необходимо знать абсолютные ускорения колебаний земли из (25). Для многомассовых систем грузоподъёмных кранов и крановых рельсовых путей расчётные сейсмические нагрузки определяются вектором , (31) в котором - вектор абсолютных ускорений земли (см. рис. 2) в обобщённых координатах (20). На основании (22) и (31) вклад от m-й формы колебаний конструкции сооружения в искомую теории ЛСМ сейсмостойкости расчётную сейсмическую нагрузку с учётом (27) имеет вид (32) Здесь - абсолютное ускорение m-го осциллятора, испытывающего СВ . Принципиально важным моментом в ЛСМ пространственных конструкций зданий и сооружений с крановыми нагрузками является переход от динамической задачи (32) к квазистатической. Это осуществляется заменой временной функции в (32) на постоянную величину , которая представляет собой максимальную реакцию осциллятора с частотой wm на воздействие, заданное акселерограммой (25). При этом величину следует получать из сейсмического спектра ответа (рис. 3) для заданной акселерограммы [15, 16] (см. рис. 2), поэтому расчёт m-й сейсмической силы (32), в соответствии с ЛСМ, осуществляется с использованием ССО с учётом (27) по формуле , (33) где W(ωm, ξm) - отсчёт ССО с затуханием xm на частоте wm, построенный для акселерограммы из (25) [16]. При этом . Если исходная акселерограмма (в данном случае ВСА) задана трёхкомпонентным воздействием вида (25), что чаще всего имеет место на практике, сейсмическую нагрузку (33) по m-й форме колебаний на конструкцию сооружения вычисляют по формуле , (34) в которой {W(ωm, ξm)} - вектор порядка n*, построенный на основе трёхкомпонентного сейсмического спектра ответа (см. рис. 3) с использованием ВСА (9). При этом n* < n, где n - число степеней свободы РДМ сооружения, n* = 30-50 Гц, где: (35) Фактически в рамках ЛСМ вводится понятие квазистационарных расчётных сейсмических сил {s}m (34), каждый вектор которых по m-й форме колебаний РДМ сооружения характеризуется тем, что при приложении эквивалентного ей вектора статических сил конструкция сооружения получит сейсмические смещения {V}m в ОСК, определяемые из уравнения [17]: . (36) Используя полученный вектор смещений из (36), согласно теории метода конечных элементов, в МСК определяется известный вектор внутренних усилий в каждом КЭjk РДМ конструкции крана по m-й форме колебаний: , (37) где - матрица (30) преобразования ОСК ® МСК; - матрица жёсткости КЭjk; - вектор перемещений узлов j и k КЭjk 12-го порядка, выделенный из вектора n-го порядка, который получен в результате решения (36): где в строках первые три параметра - линейные перемещения узла j(k) по осям XYZ ОСК, далее три угловые и производная от угла закручивания. Результирующие внутренние усилия от действующих расчётных сейсмических сил (34) должны быть получены суммированием векторов (37) для всех учитываемых форм колебаний (как правило, до 30 Гц). Однако, поскольку их значения для разных собственных форм достигаются в различные моменты времени, они не могут быть определены в рамках ЛСМ. Поэтому суммарные расчётные сейсмические силы определяют с помощью эмпирических формул, установленных путём сопоставления расчёта по ЛСМ и методом динамического анализа (МДА) на действие акселерограммы, в частности, среднеквадратичным суммированием: (38) где n* << n - число учитываемых форм колебаний. Для близко расположенных частот, таких как wi £ 1,1wi-1 внутренние усилия (37), найденные методом среднеквадратичного суммирования (38), оказываются заниженными по сравнению с внутренними усилиями, найденными с помощью МДА. В этом случае авторы [18] рекомендуют алгебраическое суммирование, а для полученных сумм - среднеквадратичное суммирование: (39) где q - число групп; rq - число частот в q-й группе. Полученные среднеквадратичным суммированием (39) внутренние усилия не имеют знака и, следовательно, отсутствует информация о направлении их действия. Поэтому в рамках ЛСМ принимаются наихудшие условия нагружения, которые получаются при совпадении направления действия статических и динамических эксплуатационных и расчётных сейсмических нагрузок. Тогда для каждого КЭjk суммарные внутренние усилия вычисляются по формуле . (40) Дополнительно отметим, что предложенная структура ЛСМ не исключает плоский расчёт согласно [7]. Для этой цели на рис. 4 приведены графики сейсмических коэффициентов динамичности (СКД) как ВСА 7 баллов МSK-64 (см. рис. 2) при затухании (11) 0,02; 0,04 для стальных конструкций и при затухании 0,08 для железобетонных конструкций зданий с крановыми нагрузками, так и строительные СКД свода правил 14.13330 [7]. Для проектировщиков сейсмостойких кранов интерес может представить сейсмический расчёт на 8-балльное землетрясение либо его долевые составляющие от 7,1 балла с шагом 0,1 до 8 баллов, поскольку, согласно картам общего сейсмического районирования ОСР-97, на территории стран СНГ и России, семибалльные районы составляют 58 % общей площади, восьмибалльные - 28 %, девятибалльные - 14 %. Тогда, как предписывает приложение 3 РБ 006-98 [1], используют единичную нормализованную акселерограмму, которую получают делением амплитуд ВСА 7 баллов на её максимальную амплитуду. С её помощью получают модифицированные (синтезированные) ВСА в границах от 7 до 8 баллов с шагом DI = 0,1, пересчёт которых производится по формулам, принятым по [19]: (41) (42) где - нормализованная (единичная) акселерограмма; I - балльность модифицированной акселерограммы; - модифицированная (синтезированная) расчётная акселерограмма, в которой переходные коэффициенты, значения которых приведены в табл. 4, имеют вид . (43) Таблица 4 Переходные коэффициенты от нормализованной к модифицированным акселерограммам МРЗ MSK-64 Баллы модифицированной (синтезированной) акселерограммы Множитель Kn (б/р) перехода от нормализованной акселерограммы 7,0 0,10000 7,1 0,10715 7,2 0,11482 7,3 0,12303 7,4 0,13183 7,5 0,14125 7,6 0,15136 7,7 0,16218 7,8 0,17378 7,9 0,18621 8,0 0,19953 * Компонента Z в (42) дополнительно умножается на коэффициент 0,5. Для оценки спектрального состава ВСА 7 и 8 баллов MSK-64 традиционно проводят анализ Фурье [11, 22], в результате которого, прежде всего, получают их АЧХ (см. рис. 5), из которых следует необходимость качественного определения спектра составных частот (17), особенно в области 2-10 Гц (рис. 3-5). В заключение настоящего раздела статьи укажем на достоинство предложенного развития теории ЛСМ, которое позволяет вести расчётный анализ сейсмической безопасности пространственных металлоконструкций кранов, в отличие от плоского решения СП 14.13330 [7], смоделированных на основе любых базовых КЭ. Укажем также на недостатки предложенной методики, главный из которых состоит в том, что она завышает внутренние усилия (40) в среднем на 20-25 % и, как следствие, завышает металлоёмкость кранов при сейсмическом проектировании в соответствии с требованиями ФНП [20]. Это ставит перед проектировщиками задачу дальнейшего методологического перехода от ЛСМ к МДА [7, 16, 18, 22]. Основы метода динамического анализа При расчётном анализе сейсмической безопасности зданий с крановыми нагрузками (рис. 6) можно отказаться от иерархических построений РДМ ЛСМ и подвергнуть сейсмическому анализу комплексную РДМ, в которой представлены все расчётные элементы действительной конструкции. Расчётно-динамическая модель здания содержит степеней свободы n = 149 862, в т. ч. крана 130/32 т - 33,5 м n = 10 950, узлов u = 1 825, КЭ s = 1 883, а также крана 16/3,2 т - 32 м n = 6 156, u = 1 026, s = 987. Рис. 6. Расчётно-динамическая конечно-элементная модель промышленного здания с крановыми нагрузками, оборудованного мостовыми кранами 130/32 т (3 шт.) и 16/3,2 т (2 шт.): число степеней свободы n = 149 862, узлов u = 24 977, КЭ s = 28 480, в т. ч. оболочных 17 960, стержневых 10 520 Для проведения динамического расчётного анализа пространственных конструкций, аппроксимированных дискретной конечно-элементной сеткой стержней, пластин, оболочек и трёхмерных КЭ, как это следует из теории совместных конечных элементов в рамках алгоритма МКЭ, на необходимое для расчётов расчётное сочетание нагрузок можно, с учётом работы [23], сформировать математическую конечно-элементную модель кранового сооружения с n степенями свободы: , (44) где gз, согласно (12), - коэффициент потерь. Векторы в правой части уравнения движения (44) обозначают, как в (1), внешние статические, динамические и кинематические воздействия соответственно, в которых может обозначать ускорение переезда краном стыков и просадок рельсовых путей, акселерограммы землетрясений [16], а выражение перед вектором скоростей - матрица затухания Цейтлина-Мартемьянова [24]. От матричного линейного уравнения (44) можно перейти к нелинейному расчётному анализу. Для этого в левую часть (44) необходимо ввести вектор , характеризующий силы трения заторможенных ходовых колёс, включающиеся связи реборд ходовых колёс и односторонние связи, в частности стальные канаты грузовых полиспастов, демпферы и пр. После этого становится очевидным, что комплексная РДМ промздания должна быть загружена сочетанием нагрузок согласно методу предельных состояний ГОСТ 28609-90, в котором - акселерограмма расчётного землетрясения интенсивностью согласно картам ОСР-97 [19], ОСР-97А, ОСР-97В, ОСР-97С, ОСР-97D, характеризующим разный уровень вероятности превышения сейсмической интенсивности, указанной в баллах шкалы MSK-64 на каждой из карт. Так, карта А соответствует 10 %, карта В - 5 %, карта С - 1 %, карта D - 0,5 % вероятности возможного превышения или 90, 95, 99 и 99,5 % непревышения соответственно в течение 50 лет расчётной сейсмической интенсивности, что соответствует повторяемости сейсмического эффекта на земной поверхности в среднем один раз в 500, 1 000, 5 000 и 10 000 лет. В качестве способа интегрирования системы сейсмических нелинейных уравнений движения (44) использован жёсткоустойчивый метод Гира, как метод динамического анализа, в виде формул дифференцирования назад [23], позволяющий контролировать знак производной на каждом шаге интегрирования и эффективно строить алгоритм интегрирования системы дифференциальных уравнений (44). Согласно методу Гира в общем виде нелинейное матричное уравнение движения типа (44) преобразуется в систему уравнений порядка 2n вида: (45) где [Е] - единичная матрица. Далее система (45) с учётом вектора фазовых координат (46) записывается в виде (47) или в развёрнутом виде : . (48) В отличие от одношаговых методов, в (48) нет необходимости вычислять матрицу, обратную матрице масс [М]-1, что, как известно, существенно повышает точность расчёта. Решение уравнения (47) ищется в виде итерационного сходящегося процесса (49) (50) где - вектор Нордсика [25], представленный в транспонированном (Т) виде: (51) где k - порядок метода Гира (максимальное число первых членов ряда Тейлора полученного решения, совпадающих с точным решением дифференциального уравнения движения); Р - треугольная матрица Паскаля порядка 2n: (52) где I - вектор вида с постоянными коэффициентами, зависящими от порядка метода Гира, приведёнными в табл. 5. Таблица 5 Порядок метода Гира Показатель Коэффициенты Порядок метода Гира k 2 3 4 5 6 i0 2/3 6/11 12/25 60/137 20/49 i1 1 1 1 1 1 i2 1/3 6/11 7/10 225/274 58/63 i3 - 1/11 1/5 85/274 5/12 i4 - - 1/50 15/274 25/252 i5 - - - 1/274 1/84 i6 - - - - 1/1 764 В формуле (50) - функция невязки: . (53) Здесь и - решения, полученные на v-ом шаге итерации. Кроме того, в (50) W - итерационная матрица вида . (54) Очевидно, что если правая часть уравнения (47) линейна вследствие того, что в уравнении типа (44) вектор , то итерационный процесс (49), (50) сходится за одну итерацию. Кроме того, метод Гира, как и МДА, имеет средства контроля погрешностей вычислений на каждом шаге, что позволяет строить адаптивные вычислительные процессы с автоматическим выбором шага интегрирования и порядка метода интегрирования. Это позволяет решать как линейные, так и нелинейные задачи динамического анализа. Заключение Основным этапом расчёта сложных пространственных систем крановых сооружений произвольного вида, составленных из тонкостенных стержней (пластин, оболочек, трёхмерных КЭ), методом конечных элементов в перемещениях является формирование матриц жёсткости, масс и демпфирования отдельного конечного элемента, находящегося в условиях пространственного деформирования в МСК. Причём динамический анализ полной системы с распределёнными массами обычно требует более сложных вычислений, чем системы с сосредоточенными массами, поскольку матрица сосредоточенных масс - диагональная, а матрица распределённых масс имеет много недиагональных элементов. Это приводит к так называемой инерционной взаимосвязи масс действительных конструкций крановых сооружений, что принято считать важным для проектировочных задач. При этом важно обосновать приоритет теории МДА сейсмостойкости перед ЛСМ, что обуславливает особые требования к назначению расчётных сейсмических воздействий, как правило, представленных трёхкомпонентными сейсмическими спектрами ответа (либо СКД), акселерограммами и сейсмическими волновыми процессами.
1. RB-006-98. Opredelenie ishodnyh seysmicheskih kolebaniy grunta dlya proektnyh osnov. M.: Gosatomnadzor Rossii, 2000. 74 s.
2. Materialy dlya eksperimental'nogo proektirovaniya i tehnicheskih issledovaniy seysmostoykih sooruzheniy. GIPROTIS Gosstroya SSSR. Tablicy uskoreniy grunta proshedshih zemletryaseniy intensivnost'yu 7 i 8 ballov. M., 1961. Vyp. 1. 200 s.
3. Polevye inzhenerno-geologicheskie izyskaniya s cel'yu utochneniya nesuschih svoystv gruntov ploschadki stroitel'stva HOT-2. Dogovor № 12731-G ot 01.06.2009. Etap 2: «Geofizicheskie izmereniya s cel'yu seysmomikrorayonirovaniya ploschadki». Irkutsk: ZAO «Vostsibtizis», 2009. 190 s.
4. Center for Engineering Strong Motion Data. United States Geological Survey. URL: http:// strongmotioncenter.org/ (data obrascheniya: 15.02.2017).
5. PEER-NGA. URL: https://ngawest2.berkeley.edu/ (data obrascheniya: 16.02.2017).
6. Seysmicheskoe mikrorayonirovanie i razrabotka sintezirovannyh akselerogramm s uchetom harakteristik gruntov v osnovanii zdaniya № 1 zavoda RT-2. Otchet po dogovoru s GHK № 10-10/3-2005 ot 15.12.05 g. M.: IGE RAN, 2006. V 4-h t. T. 4. Arh. № 5794 ot 18.08.2006. 103 s.
7. SP 14.1330, 2014. Stroitel'stvo v seysmicheskih rayonah. Aktualizirovannaya redakciya SNiP II-7-81*. M.: Minstroy RF, 2014. 125 s.
8. Panasenko N. N. Dinamika i seysmostoykost' pod'emno-transportnogo oborudovaniya atomnyh stanciy: dis.. d-ra tehn. nauk. V 2-h ch. Novocherkassk: NGTU, 1992. Ch. 1. 85 s.
9. Sinel'schikov A. V. Dinamika i seysmostoykost' mostovyh kranov: dis.. kand. tehn. nauk. Astrahan': AGTU, 2000. 276 s.
10. RD 10-112-1-2004. Rekomendacii po ekspertnomu obsledovaniyu gruzopod'emnyh mashin. Obschie polozheniya. M.: Rostehnadzor, 2004. 20 s.
11. Panasenko N. N. Veroyatnostno-statisticheskaya model' raschetnogo seysmicheskogo vozdeystviya // Mehaniki XXI veku. 2016. № 15. S. 263-277.
12. Radchikova L. I. K voprosu o pereschete akselerogramm sil'nyh dvizheniy na razlichnye gruntovye usloviya // Issledovaniya po seysmicheskoy opasnosti. Voprosy inzhenernoy seysmologii. M.: Nauka, 1988. Vyp. 29. S. 81-93.
13. Macelya V. I., Seelev I. N., Lekoncev A. V., Hafizov R. R., Panasenko N. N., Sinel'schikov A. V., Yakovlev P. V. Sravnitel'nyy analiz parametrov konechno-elementnyh modeley gruntov, poluchennyh chislennymi metodami // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. 2017. № 1 (63). S. 23-31.
14. Panasenko N. N., Rabey V. V., Sinel'schikova L. S. Konechno-elementnaya model' dempfirovaniya kolebaniy nesuschih metallokonstrukciy gruzopod'emnyh kranov // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. 2013. № 2 (56). S. 41-49.
15. Panasenko N. N., Sinel'schikov A. V. Metod konechnyh elementov v teorii sooruzheniy iz tonkostennyh sterzhney // Stroitel'naya mehanika tonkostennyh sterzhney. Volgograd: VolGU, 2013. S. 228-288.
16. Panasenko N. N., Sinelshicov A. V., Rabey V. V. Calculated Justification of Seismic Stability of Load-Lifting Cranes// WSEAS Transaction on Applied and Theoretical Mechanics. 2014. Vol. 9. P. 104-123.
17. Panasenko N. N., Sinel'schikov A. V. Raschetnoe obosnovanie seysmostoykih gruzopod'emnyh kranov. V 3-h ch. Pod'emnye sooruzheniya i special'naya tehnika (Ukraina). Odessa, 2010. Ch. 1. № 10. S. 23-26.
18. Birbraer A. N. Prochnost' i nadezhnost' konstrukciy AES pri osobyh dinamicheskih vozdeystviyah. M.: Energoatomizdat, 1989. 304 s.
19. Ulomov V. I. Veroyatnostno-determinirovannaya ocenka seysmicheskih vozdeystviy na osnove kart OSR-97 i scenarnyh zemletryaseniy // Seysmostoykoe stroitel'stvo. Bezopasnost' sooruzheniy. 2005. № 4. S. 60-68.
20. Pravila bezopasnosti OPO, na kotoryh ispol'zuyutsya pod'emnye sooruzheniya. SPb: Izd-vo DEAN, 2016. 160 s.
21. NP-043-11. Pravila ustroystva i bezopasnoy ekspluatacii gruzopod'emnyh kranov dlya OIAE M.: Rostehnadzor, 2013. 15 s.
22. Sinel'schikov A. V., Panasenko N. N., Sinel'schikova L. S. Spektral'nyy analiz Fur'e veroyatnostno-statisticheskih akselerogramm // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. 2012. № 2 (54). S. 22-31.
23. Sinel'schikov A. V., Hal'fin M. N. Diskretnye metody dinamicheskogo analiza gruzopod'emnyh kranov // Izv. vuzov. Severo-Kavkaz. region. Ser.: Tehnicheskie nauki. 2007. № 3. S. 34-38.
24. Martem'yanov A. I. Proektirovanie i stroitel'stvo zdaniy i sooruzheniy v seysmicheskih rayonah. M.: Stroyizdat, 1985. 253 s.
25. Car C. W. Numerical initialvalye problems in ordinary differential equations. New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1971. 350 p.
