FORMULA OF INVERSION FOR RATIONAL CHARACTERISTIC FUNCTIONS OF PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Rubrics: ENGINEERING AND NATURAL SCIENCES
Authors:
1.
Astrakhan State Technical University
(Head of the Department of Information Security )
Type:
Article
Pages:
from 7
to 22
Status:
Published
Received:
10.10.2018
Accepted:
21.02.2020
Published:
15.10.2018
Subject area:
UDK 519.21
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 26.03 Общественно-политическая мысль
GRNTI 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
GRNTI 44.01 Общие вопросы энергетики
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 62.01 Общие вопросы биотехнологии
GRNTI 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
GRNTI 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
GRNTI 73.34 Водный транспорт
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 26.03 Общественно-политическая мысль
GRNTI 43.01 Общие вопросы естественных и точных наук
GRNTI 44.01 Общие вопросы энергетики
GRNTI 45.01 Общие вопросы электротехники
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 62.01 Общие вопросы биотехнологии
GRNTI 69.01 Общие вопросы рыбного хозяйства
GRNTI 70.01 Общие вопросы водного хозяйства
GRNTI 73.34 Водный транспорт
Language:
Russian
Keywords:
formulas of inversion, characteristic functions, rational functions, gamma distribution with shifted arguments, random values
Abstract (English):
The paper deals with the problem of clarifying the well-known inversion formulas for distribution functions, usually describing the increment of these functions. The validity of the corresponding inversion formulas for the distribution function π and their densities has been proved for the particular case of distributions with rational characteristic functions. The obtained formulas for distribution functions, which include additionally constant terms equal to 0.5, were not previously known. Functions of positively distributed random variables and quantities distributed over the entire axis have been considered separately. To test the hypothesis of fairness of the obtained treatment formula, including a previously unknown term equal to 0.5, in the general case there have been given examples of calculating distribution functions, whose characteristic functions are not considered as rational functions: for constant and uniform laws. The verification confirmed the objectiveness of the formulated hypothesis about the obtained validity of the inversion form for arbitrary distribution functions. It has also been shown that any distribution function and any density can be represented as a limit of a mixture of gamma distributions (distribution functions and densities), having shifts along the abscissa axis and, possibly, with altered signs of the arguments. The obtained result proves that the set of gamma distributions with shifted arguments is uniformly dense in the set of all distributions.
The paper deals with the problem of clarifying the well-known inversion formulas for distribution functions, usually describing the increment of these functions. The validity of the corresponding inversion formulas for the distribution function π and their densities has been proved for the particular case of distributions with rational characteristic functions. The obtained formulas for distribution functions, which include additionally constant terms equal to 0.5, were not previously known. Functions of positively distributed random variables and quantities distributed over the entire axis have been considered separately. To test the hypothesis of fairness of the obtained treatment formula, including a previously unknown term equal to 0.5, in the general case there have been given examples of calculating distribution functions, whose characteristic functions are not considered as rational functions: for constant and uniform laws. The verification confirmed the objectiveness of the formulated hypothesis about the obtained validity of the inversion form for arbitrary distribution functions. It has also been shown that any distribution function and any density can be represented as a limit of a mixture of gamma distributions (distribution functions and densities), having shifts along the abscissa axis and, possibly, with altered signs of the arguments. The obtained result proves that the set of gamma distributions with shifted arguments is uniformly dense in the set of all distributions.
Keywords:
formulas of inversion, characteristic functions, rational functions, gamma distribution with shifted arguments, random values
formulas of inversion, characteristic functions, rational functions, gamma distribution with shifted arguments, random values
Введение Формула обращения для характеристических функций (ХФ) вероятностных распределений относится к классическим вопросам теории вероятностей. Имеется целый ряд результатов в этой области [1, 2]. Однако существует и ряд открытых вопросов по этой тематике. В частности, классическая формула обращения для плотностей вероятностных распределений доказывается для абсолютно интегрируемых ХФ. Но некоторые очень важные распределения не удовлетворяют этому свойству, например показательное распределение, имеющее самое широкое и даже доминирующее распространение в различных практических приложениях - её ХФ имеет на бесконечности обратную линейную зависимость. Ещё одна проблема связана с формулой обращения для функций распределения (ФР). В классических результатах по этому вопросу приводится формула обращения для разности значений ФР в двух точках её непрерывности - непосредственно для ФР формул обращения в общем случае нет. В данной работе указанные две задачи рассматриваются для некоторого подкласса ФР, который всюду плотен во множестве всех ФР - для класса ФР, у которых ХФ являются рациональными функциями (назовём его классом рациональных ХФ). В литературе результатов по данной тематике найти не удалось. Некоторые вспомогательные утверждения Класс рациональных ХФ всюду плотен: как в классе неотрицательных распределений, так и в классе всех ФР [3]. Именно справедливы следующие результаты. Теорема 1. 1) Пусть B(x) является функцией распределения неотрицательной случайной величины, B(+0) = 0 и β(λ) - её преобразование Лапласа-Стильтьеса (ПЛС). Тогда существует последовательность {Сk,n ˃ 0, bk,n ˃ 0, mk,n ≥ 1 - натуральные числа; } () (n → ∞) такие, что для любого λ, Reλ ˃ 0, и любого x существуют пределы (1) где (2) Г(m) есть гамма-функция Эйлера, и для всех k и n коэффициенты Сk,n ˃ 0. 2) Пусть ФР B(x) абсолютно непрерывна и b(x) - её плотность распределения. Тогда, если в точке x функция b(x) непрерывна в некоторой окрестности слева и справа от x и существуют пределы , то справедливы соотношения где (3) В частности, если x - точка непрерывности b(x), то (4) Доказательство (1), приведённое в [3], проводится по следующей схеме: 1. Любая функция распределения может быть равномерно приближена ступенчатыми распределениями (с конечным числом ступенек) с заданной степенью точности - строим указанное приближение Bε(x) для B(x) с заданной точностью ε равномерно по x, где ε > 0 - любое заданное число и Bε(x) - ступенчатая функция распределения. 2. Ступенчатая функция представляет собой конечную смесь одноступенчатых распределений, где коэффициенты смеси положительны и их сумма равна 1. Записываем Bε(x) как конечную сумму одноступенчатых распределений вида Bε(x, ck), где ck - точка скачка распределения. Можно считать, что ck > 0, поскольку B(+0) = 0. 3. Каждое одноступенчатое распределение есть ФР случайной величины, равной константе - точке скачка ФР (т. е. в точке ck > 0 в приводимых обозначениях). Поэтому по закону больших чисел последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметром ck, сходится по распределению к Bε(x, ck). Тогда сумма случайных величин имеет гамма-распределение с параметром ck. Получили, что Bε(x, ck) может быть с заданной точностью приближено гамма-распределением. 4. Слабая сходимость ФР влечёт сходимость соответствующих ПЛС и ХФ, что завершает доказательство пункта 1. При доказательстве пункта 2 рассматриваем только случай, когда точка x является точкой непрерывности функции b(x). Случаи пределов слева и справа рассматриваются аналогично. Для доказательства п. 2 теоремы 1 (т. е. соотношений (3) и (4)), прежде всего, заметим, что если x - точка непрерывности b(x), то для любых достаточно малых Δ ˃ 0. при Δ→0, (5) где . То есть для любого ε > 0 существует такое, что для всех выполнено (6) Далее, ввиду (1) и (2), следует Следовательно, ввиду (5), для любого ε > 0 существует число такое, что для всех n > n0 (7) Из (2) имеем (8) В последнем интеграле после замены переменных получаем: Поскольку для то при z > 0 и Δ < х (9) Ввиду неравенства 1 - е-z < z (z > 0), при Δ < х из (8) выводим: (10) при достаточно малых значениях Δ, т. е. существует такое, что выполнено (10) при . Из (6), (7), (9), (10) с учётом равенства при что доказывает справедливость (2). Формулы обращения для неотрицательных случайных величин Рассмотрим случай, когда ФР соответствует неотрицательной случайной величине. В этом случае существует ПЛС ФР, и ХФ получается из ПЛС путём подстановки вместо аргумента значения i t, где i - мнимая единица, а t - переменная самой ХФ. Теорема 2. Пусть β(λ) есть ПЛС неотрицательной случайной величины с функцией распределения B(x) и β(λ) является рациональной функцией. Тогда распределение B(x) имеет плотность распределения b(x) и справедливы следующие формулы обращения: (11) (12) где интеграл в соотношении (11) берётся в смысле главного значения. Замечание. Формула (12) представляет собой классическую формулу обращения для ХФ вероятностных распределений [2, с. 570] для случая, когда интегрируема на промежутке от -∞ до +∞. В рассматриваемом случае условие интегрируемости может не выполняться, например для показательного распределения, для которого ПЛС имеет вид Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда B(+0) = 0. Разложим рациональную функцию β(λ) на простейшие дроби. Так как β(λ) при λ → +∞ ограничена, то в разложении отсутствует многочленная часть. Далее, ввиду равенства выводим: откуда заключаем, что в разложении β(λ) отсутствует константа. Следовательно, разложение состоит из конечного числа слагаемых вида , где b > 0 и m ≥ 1 - натуральные числа. Тогда ХФ представляется в виде конечной суммы слагаемых вида константы, поскольку на бесконечности при функция ограничена (точнее, не превосходит единицы). То есть справедливо представление (13) где для всех k, Рассмотрим в комплексной плоскости интеграл где ΛR - контур, изображённый на рис. 1. Рис. 1. Контур интегрирования ΛR При m > 1 и R > b подынтегральная функция имеет в области, ограниченной контуром ΛR, единственную особую точку - полюс порядка m при . На основе теоремы о вычетах и формулы для вычисления вычетов в полюсах m-го порядка [4] выводим: (14) где f(ξ) есть подынтегральная функция, т. е. , и в правой части записан знак «-», поскольку направление обхода контура ΛR отрицательное (по часовой стрелке). Вычислим выражение в правой части (14). Поскольку , то и соотношение (15) можно переписать в виде Отсюда следует справедливость равенства при любом m ≥ 0: (15) для всех x > 0 и всех R > b. Пусть x > 0. В (15) перейдем к пределу при R→+∞. Так как при m > 1 функция при является то аналогично в [4] показывается, что (16) где γR - круговая часть контура ΛR. Ввиду соотношения при также выводится, что в (15) интеграл по горизонтальной части контура ΛR сходится к своему предельному значению, т. е. (17) Из (16) и (17) заключаем: На основе последнего соотношения из (15) выводим при x > 0 и m > 1 (18) Пусть теперь m = 1. Необходимо доказать равенство (x > 0): (19) Рассмотрим интеграл . Так как контур γR представляет собой полуокружность с отрицательным направлением обхода, перейдём к следующей параметризации этой дуги с помощью полярной системы координат: , где φ изменяется от 0 до -π. Тогда, ввиду равенства имеем: Заметим, что Так как при справедливо неравенство , то последние оценки можно продолжить следующим образом: В последнем интеграле подынтегральная функция ограничена ввиду неравенства . Поэтому в следующем соотношении знаки предела и интеграла можно переставить местами: (20) Из соотношения (5), справедливого при m = 1, ввиду (10), получаем (полагаем m = 1): Таким образом, справедливость соотношения (19) и сходимость интеграла в её левой части доказаны. Из (13) на основе (15) выводим равенство (x > 0): что означает справедливость (12) с выполнением равенства: (21) Перейдём к доказательству соотношения (11). Аналогично доказательству формулы (12), ввиду (13), рассмотрим интеграл , где при обходе контура ΛR,ε точка обходится снизу по дуге окружности радиуса ε > 0 достаточно малой величины, т. е. особая точка находится вне области, ограниченной контуром ΛR. Имеем равенство Ввиду (15), отсюда выводим следующее рекуррентное по m соотношение (m ≥ 1, x > 0): Применив последнее соотношение рекуррентно m раз, получим: (22) где . Так как внутри контура ΛR,ε подынтегральная функция не имеет особых точек, то . Аналогично (20) доказывается равенство (23) Исследуем значение интеграла при ε→0. Воспользовавшись полярной заменой координат, где φ изменяется от π до 2π, получим: (24) Из (22)-(24) выводим: существует предел где во второй строке интеграл берётся в смысле главного значения как по R, так и по ε, т. к. верхний и нижний пределы по R и по ε согласованно (симметрично) стремятся к бесконечности и нулю соответственно. Разделив обе части последнего соотношения на (-2πi), получаем: Соотношение (11) доказано для случая B(+0) = 0. Пусть B(+0) ˃ 0. Тогда справедливо представление (25) где ПЛС ФР является рациональной функцией и . Из (26) следует: (26) Так как , то, ввиду (11), для ФР справедливо соотношение Подставив последнее соотношение в (25), ввиду (26), получаем: Так как в смысле главного (виде нечётности подынтегральной функции) и при x > 0 , то , из последнего соотношения получаем: или Таким образом, соотношение (11) справедливо и в случае B(+0) ˃ 0. Теорема 2 доказана. Как видно из выражений (11) и (12), соотношение (12) может быть получено формальным дифференцированием по x, т. е. по существу в теореме 2 доказана также возможность переставлять в рассматриваемом случае знаки интеграла и производной в (11). Полученные формулы (11) и (12) порождают ряд вопросов. Во-первых, можно ли распространить (12) на произвольные ФР с рациональными ХФ. Во-вторых, неожиданное слагаемое 1/2 в формуле (11) - сохраняется ли оно для произвольных (не рациональных) ФР. Формула обращения для произвольных рациональных распределений На основе формул (11) и (12) получим аналогичные соотношения для произвольных ФР, у которых ХФ является рациональной функцией. Теорема 3. Пусть f(t) является ХФ некоторого вероятностного распределения и f(t) является рациональной функцией. Тогда справедливы соотношения: (27) (28) где интеграл в (27) берётся в смысле главного значения. Доказательство. Пусть F(x) является ФР, имеющей ХФ f(t), причём F(x) положительна на некоторых промежутках как в отрицательной части числовой оси Ox, так и в положительной части этой оси. Аналитически данное условие означает, что 0 < F(-0) < 1. Данное условие позволяет ввести следующие две ФР, соответствующие неотрицательным распределениям: (29) где для любого условия A выражение , если условие A выполняется, и в противном случае. Покажем, что тогда справедливо соотношение: (30) Из (29) получаем: Отсюда выводим: Из второго соотношения (29) имеем: и, следовательно, т. е. (30) доказано. Пусть f1(t) и f2(t) есть ХФ функций распределения F1(x) и F2(x) соответственно. Тогда после замены x на -x имеем: Из последнего соотношения и (30) следует: т. е. (31) где мы воспользовались соотношениями: (скачок функции в точке x = 0 равен -1) и . Поскольку f(t) является рациональной функцией, ограниченной на бесконечности при действительных значениях t, то так же, как и в теореме 2, доказывается, что f(t) представима в виде (32) где bk действительные числа, причём , т. к. f(0) = 1 - конечно. Тогда равенство (31) можно переписать в виде (33) Поскольку функция f2(t) аналитична в верхней полуплоскости комплексной плоскости (т. е. при Im t > 0), а f1(-t) аналитична в нижней полуплоскости (т. е. при Im t < 0), то левая часть последнего соотношения аналитична в нижней полуплоскости, а правая - в верхней полуплоскости. При этом значения и левой, и правой частей ограничены при t→∞, т. к. , при Im t ≥ 0 как ХФ вероятностного распределения и аналогично при Im t ≤ 0. Таким образом, соотношение (33) задаёт функцию, ограниченную на бесконечности и аналитическую во всей комплексной плоскости. Известно, что такой функцией является только константа. Таким образом, приходим к заключению, что и левая, и правая части в (33) равны некоторой константе d, откуда: Константа d находится из условия f1(0) = 1 либо f2(0) = 1. В силу теоремы 3 заключаем, что ФР F1(x) и F2(x) имеют плотности распределения φ1(x) и φ2(x) соответственно и справедливы соотношения (k = 1, 2): (34) (35) Тогда, ввиду (30), имеем: После алгебраических преобразований и замены ξ на -ξ в первом интеграле получаем: откуда на основе (31) выводим справедливость соотношения (27). Для доказательства (28) продифференцируем обе части (30) по x для х ≠ 0: Ввиду (35), отсюда выводим: После замены ξ на -ξ в первом интеграле получаем: которое, ввиду (31), влечёт (28). Теорема 3 доказана. Встаёт естественный вопрос: можно распространить формулы (11), (12) и (27), (28) на произвольные распределения. В следующем разделе проводится проверка данного предположения для ряда конкретных распределений. Анализ формул обращения для частных распределений В формулах (11) и (27) достаточно неожиданным является наличие слагаемого 1/2. Поэтому выявим возможное наличие этого слагаемого для непрерывных распределений неотрицательных и произвольных случайных величин, ХФ которых не являются рациональными функциями. Ниже будут рассмотрены примеры подобных распределений: константа, равномерное распределение, распределение Рэлея и параметрическое распределение, имеющее сильную осцилляцию - оно описано при рассмотрении. Отметим, что справедливость формулы (12) во всех рассматриваемых случаях вытекает из классической формулы обращения [1, с. 51]. 1) Пусть B(x) есть ФР постоянной случайной величины, равной c, где c > 0 - константа. Тогда Вычислим интеграл в формуле обращения (11). Имеем: Так как функция - нечётная, то . Далее, известно [5] С учётом последних соотношений получаем: (36) Подставив полученное выражение для интеграла в правую часть (11), выводим: что совпадает с ФР B(x) во всех точках её непрерывности. Таким образом, формула (11) справедлива для распределения постоянной случайной величины, ХФ которого не является рациональной функцией. 2) Пусть B(x) есть функция равномерного на промежутке (a, b) распределения (a ≥ 0), т. е. Тогда его ПЛС и интеграл в правой части формулы (11), ввиду (36), запишется в виде: Заметим, что в точке ξ = 0 подынтегральная функция аналитична (и конечна), поэтому при вычислении интеграла в комплексной плоскости вдоль действительной прямой не имеет значения, обходить ли точку ξ = 0 снизу или сверху. Примем для определённости, что ξ = 0 обходится снизу. Обозначим через Lε контур интегрирования (рис. 2), состоящий из части действительной оси , которая проходится от -∞ в направлении +∞, с обходом точки ξ = 0 снизу и полуокружности радиуса ε с центром в начале координат и с положительным направлением обхода. Рис. 2. Контур интегрирования Lε Рассмотрим интеграл . В качестве области интегрирования берём верхнюю полуплоскость, которая при движении по контуру обходится в положительном направлении. Подынтегральная функция на бесконечности в области при c - x > 0 имеет порядок ξ-2 (т. к. функция ограничена в рассматриваемом случае), и в верхней полуплоскости имеет полюс второго порядка в точке ξ = 0. Поэтому при c - x > 0, т. е. x < c (37) Далее, при c - x > 0 после замены имеем: или (38) при ε→0. В случае c - x ≤ 0 после замены переменных η = - ξ аналогичным образом приходим к равенствам (39) (40) На основе соотношений (37)-(40) получаем равенство: т. е. Отсюда находим выражение в правой части (11): что совпадает с функцией равномерного на промежутке (a; b) распределения. Следовательно, формула (11) справедлива. Таким образом, приведённые примеры делают правдоподобным предположение, что формула (11) справедлива и для распределений, ПЛС которых не являются рациональными функциями. Для проверки аналогичной гипотезы применительно к формуле (27) ниже в качестве примеров рассматриваются два важных распределения, принимающие любые действительные значения: нормальное распределение как одно из наиболее важных распределений в теории вероятностей и в её практических приложениях и распределение Коши, имеющее «плохие» характеристики; в частности, распределение Коши не имеет математического ожидания. Заключение В работе для частного случая распределений с рациональными ХФ доказана справедливость соответствующих формул обращения ХФ для ФР и их плотностей. Полученные формулы для ФР, включающие дополнительное постоянное слагаемое, ранее не были известны. Отдельно рассмотрены случаи положительно распределённых случайных величин и величин, распределённых на всей оси. Для проверки гипотезы о справедливости полученной формулы обращения, включающей ранее неизвестное слагаемое 0,5, приведены примеры вычислений ФР постоянного и равномерного законов на основе полученной формулы обращения, ХФ которых не являются рациональными функциями, подтвердившими гипотезу о справедливости полученной формулы обращения для произвольных ФР.
1. Lukach E. Harakteristicheskie funkcii. M.: Nauka, 1979. 424 s.
2. Feller V. Vvedenie v teoriyu veroyatnostey i ee prilozheniya: v 2-h t. M., Mir, 1984. T. 2. 738 s.
3. Popov G. A. Asimptoticheskoe priblizhenie // Vestn. Astrahan. gos. tehn. un-ta. 2005. № 1. S. 62-74.
4. Bugrov Ya. S., Nikol'skiy S. M. Vysshaya matematika. Differencial'nye uravneniya. Kratnye integraly. Ryady. Funkcii kompleksnogo peremennogo: ucheb. dlya vuzov. M.: Nauka, 1989. 464 s.
5. Fihtengol'c G. M. Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischisleniya. M.: Fizmatlit, 2001. T. 1. 616 s.
