Journals Conferences Monographies Textbooks Regulatorys Event GQW
Submit manuscript
Home / Journals / Vestnik of Astrakhan State Technical University. Series: Management, computer science and informatics / Volume 2017 Issue 1 / THE REALIZATION OF THE ITERATIVE METHOD OF THE LEAST SQUARES FOR THE ESTIMATION OF STATIC OBJECT PARAMETERS IN MATLAB ENVIRONMENT
THE REALIZATION OF THE ITERATIVE METHOD OF THE LEAST SQUARES FOR THE ESTIMATION OF STATIC OBJECT PARAMETERS IN MATLAB ENVIRONMENT
Submit manuscript
To cite
Citations:

THE REALIZATION OF THE ITERATIVE METHOD OF THE LEAST SQUARES FOR THE ESTIMATION OF STATIC OBJECT PARAMETERS IN MATLAB ENVIRONMENT
Troshina Galina Vasil’evna 1
Voevoda Alexander Aleksandrovich 2
Authors:
1.  Novosibirsk State Technical University

2.  Novosibirsk State Technical University

Type:
Article
DOI:
https://doi.org/10.24143/2072-9502-2017-1-28-36
Pages:
from 28 to 36
Status:
Published
Received:
05.01.2017
Accepted:
28.02.2020
Published:
25.01.2017
Subject area:
VAC 05.12.2013 Системы, сети и устройства телекоммуникаций
VAC 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
VAC 05.13.06 Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
VAC 05.13.10 Управление в социальных и экономических системах
VAC 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
VAC 05.13.19 Методы и системы защиты информации, информационная безопасность
UDK 519.24
GRNTI 20.01 Общие вопросы информатики
GRNTI 28.01 Общие вопросы кибернетики
GRNTI 49.01 Общие вопросы связи
GRNTI 50.01 Общие вопросы автоматики и вычислительной техники
GRNTI 82.01 Общие вопросы организации и управления
Language:
Russian
Keywords:
the method of the least squares, identification, modeling, input signal, parameter estimation
Abstract and keywords
Abstract (English):
It was suggested to use the system model working in real time for an iterative method of the parameter estimation. It gives the chance to select a suitable input signal, and also to carry out the setup of the object parameters. The object modeling for a case when the system isn't affected by the measurement noises, and also for a case when an object is under the gaussian noise was executed in the MatLab environment. The superposition of two meanders with different periods and single amplitude is used as an input signal. The model represents the three-layer structure in the MatLab environment. On the most upper layer there are units corresponding to the simulation of an input signal, directly the object, the unit of the noise simulation and the unit for the parameter estimation. The second and the third layers correspond to the simulation of the iterative method of the least squares. The diagrams of the input and the output signals in the absence of noise and in the presence of noise are shown. The results of parameter estimation of a static object are given. According to the results of modeling, the algorithm works well even in the presence of significant measurement noise. To verify the correctness of the work of an algorithm the auxiliary computations have been performed and the diagrams of the gain behavior amount which is used in the parameter estimation procedure have been constructed. The entry conditions which are necessary for the work of an iterative method of the least squares are specified. The understanding of this algorithm functioning principles is a basis for its subsequent use for the parameter estimation of the multi-channel dynamic objects.

Keywords:
the method of the least squares, identification, modeling, input signal, parameter estimation
Text
Введение В настоящее время вопросам идентификации и управления системами уделяется много внимания [1-25], но большая часть работ не затрагивает вопросы оценки качества экспериментальных данных. Под идентификацией объекта принято понимать определение структуры и параметров модели, обеспечивающих наилучшее по какому-то критерию совпадение выходных данных модели и объекта при одинаковых входных воздействиях [2, 3, 17]. При этом с помощью полученной модели необходимо уметь управлять системой и рассчитывать её оптимальные параметры [1-5]. Процедура идентификации представляет собой довольно сложную задачу, решение которой требуется для реализации различных прикладных задач. Математическая сложность вычислительного процесса, как правило, не дает возможности эффективно использовать алгоритмы идентификации для практических приложений. Можно выделить пассивные и активные методы идентификации. Методы активной идентификации подразумевают использование тестовых входных воздействий, которые были предварительно выбраны пользователем. Методы пассивной идентификации работают с сигналами, полученными в ходе нормальной эксплуатации системы. Применительно к активной идентификации рассматривают методы идентификации с помощью синусоидальных, ступенчатых и импульсных сигналов. Некоторые методы применимы также и для идентификации динамических объектов в реальном времени [6-17]. Далее рассматривается итерационный метод наименьших квадратов для оценивания параметров статических объектов. В дальнейшем предложенный подход можно распространить на динамические объекты. Постановка задачи Рассматриваем линейный статический объект с векторным входом и зашумленным выходом: , где - векторный входной сигнал; - скалярный выходной сигнал. Для упрощения будем считать, что - вектор размерности два, т. е. . Тогда - вектор оцениваемых параметров объекта; - гауссов шум на выходе объекта с нулевым математическим ожиданием. Вычисления производятся последовательно, по мере поступления данных измерений входного и выходного сигналов. По результатам измерений входного и выходного сигналов , , для метода наименьших квадратов имеем следующую формулу квадратичного отклонения [14]: 2. Символ T в обозначает транспонирование. Обозначим результаты измерений следующим образом: , . Оценка неизвестных параметров вычисляется с помощью метода наименьших квадратов по следующей формуле [14]: . Корректировка оценки параметров по -измерению осуществляется по следующим формулам: , (1) , (2) , (3) где - коэффициент усиления и - оценка дисперсии ошибки оценивания, вычисленные по результатам -измерений. Результаты вычислений существенно зависят от задания начальных значений вектора оцениваемых параметров и коэффициента усиления и матрицы . При задании нулевой матрицы рекуррентная процедура не сходится, и, следовательно, оценка неудовлетворительная. Вычисление оценки параметров объекта в среде MatLab Итерационную процедуру вычисления параметров объекта выполняем по схеме, представленной на рис. 1, где введены следующие блоки: Gen_х1_х2 - генератор входного сигнала; Object - объект; Noise - генератор белого шума; Estimation - блок вычисления оценки параметров. Выходной сигнал объекта, итерационные значения коэффициента усиления и матрицы выведены на индикаторы. Рис. 1. Итерационная процедура вычисления оцениваемых параметров Блок Estimation по уравнениям (1)-(3) в среде MatLab приведен на рис. 2, а блоки вычисления по уравнениям (1)-(3) - на рис. 3-5. Рис. 2. Блок Estimation Рис. 3. Вычисление Рис. 4. Вычисление Рис. 5. Вычисление оценки параметров Итерационное вычисление оцениваемых параметров в среде MatLab По уравнению (1) с двумя входами , двумя параметрами и одним выходом . Моделирование выполнено при следующих базовых значениях: θ1 = 1,0; . На рис. 6-10 приведены результаты моделирования для объекта без шума процесса с начальными условиями . Параметр на рис. 9 изображен со смещением 0,5. Для начального значения оценки дисперсии ошибки оценивания принято следующее значение:. Существенно, что при процесс не сходится. В качестве входного сигнала выбраны сигналы типа меандров по каждому каналу с периодами и с амплитудами, равными единице. Эксперимент проводился для ста измерений. Выходной сигнал , как следует из рис. 8, является суперпозицией двух сигналов типа меандра. Оценка параметров довольно быстро сходится к истинному значению, примерно за 50 шагов. То же самое можно сказать и о матрице оценки дисперсии и коэффициенте усиления . После ста измерений получены следующие оценки параметров: , . На рис. 11-14 приведены результаты моделирования при наличии шума процесса с нулевым средним и дисперсией , что соответствует погрешности измерений в пределах 5-7 %. Параметр на рис. 13 изображен со смещением 0,5. Рис. 6. Оценка параметра без шума () Рис. 7. Входной сигнал Рис. 8. Выход объекта без шума () Рис. 9. Параметр без шума () Рис. 10. Параметр без шума () Рис. 11. Оценка при наличии шума Рис. 12. Выход объекта при наличии шума Рис. 13. Параметр при наличии шума Рис. 14. Параметр при наличии шума Получены следующие значения оцениваемых параметров: , . Как следует из результатов моделирования, алгоритм успешно работает даже при наличии значительных шумов измерений. Заключение Многократное вычисление при различных значениях параметров шумов для объектов с большим числом параметров подтверждает работоспособность алгоритма и его реализацию в пакете MatLab. Следовательно, эти алгоритмы можно реализовывать и в инженерной практике с использованием контроллеров для обработки данных. В дальнейшем предполагается использование рекуррентных методов для оценивания параметров многоканальных динамических объектов.
References

1. Ostrem K. Vvedenie v stohasticheskuyu teoriyu upravleniya. M.: Mir, 1973. 320 s.

2. L'yung L. Identifikaciya sistem. Teoriya dlya pol'zovatelya. M.: Nauka, 1991. 432 s.

3. Eykhoff P. Osnovy identifikacii sistem upravleniya. Ocenivanie parametrov i sostoyaniya. M.: Mir, 1975. 683 s.

4. Medich Dzh. Statisticheski optimal'nye lineynye ocenki i upravlenie. M.: Energiya, 1973. 440 s.

5. Seydzh E. P., Melsa Dzh. Teoriya ocenivaniya i ee primenenie v svyazi i upravlenii. M.: Svyaz', 1976. 495 s.

6. Gupta H. K., Mehra R. K. Computational aspects of maximum likelihood estimation and reduction in sensitivity function calculation // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. Vol. 19, no. 7. P. 774-785.

7. Aström K. J. Maximum Likelihood and Prediction Error Methods // Automatica. 1980. Vol. 16, no. 5. P. 551-574.

8. Mehra R. K. Optimal input signal for parameter estimation in dynamic system - survey and new results // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. Vol. AC-19, no. 6. P. 753-768.

9. Mehra R. K. On the Identification of Variences and Adaptive Kalman Filtering // IEEE Trans. Autom. Control. 1970. Vol. AC-15, no. 2. P. 175-184.

10. Mehra R. K. Optimal Input for Linear System Identification // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. Vol. 19, no. 3. P. 192-200.

11. Goodwin G. C., Payne R. L. Dynamic System Identification: Experiment Design and Data Analysis. New York: Academic Press, 1977. 291 p.

12. Antsaklis P. J., Michel A. N. Linear systems. New York: McGraw-Hill, 1997. 685 p.

13. Brown R. J., Sage A. P. Error Analysis of Modeling and Bias Errorsin Continuous Time State Estimation // Automatica. 1971. Vol. 7. P. 577-590.

14. Goodwin G. C. Optimal Input Signals for Nonlinear-system Identification // Proc. Inst. Elec. Engrs. 1971. Vol. 118, no. 7. P. 922-926.

15. Seydzh E. P., Uayt Ch. S., III. Optimal'noe upravlenie sistemami. M.: Radio i svyaz', 1982. 392 s.

16. Voevoda A. A., Troshina G. V. Ocenivanie parametrov modeley dinamiki i nablyudeniya dlya lineynyh stacionarnyh diskretnyh sistem s ispol'zovaniem informacionnoy matricy Fishera // Nauch. vestn. NGTU. 2006. № 3 (24). S. 199-200.

17. Troshina G. V. Aktivnaya identifikaciya lineynyh dinamicheskih diskretnyh stacionarnyh ob'ektov vo vremennoy oblasti: dis. … kand. tehn. nauk. Novosibirsk, 2007. 171 c.

18. Troshina G. V. Vychislitel'nye aspekty zadachi vosstanovleniya vektora sostoyaniya dlya modeli s netochno zadannymi parametrami // Sb. nauch. tr. NGTU. 2008. Vyp. 3 (53). S. 25-34.

19. Voevoda A. A., Troshina G. V. Active identification of linear stationary dynamic object on base of the Fisher information matrix: the steady state // Proc. of the XII Intern. Conf. "Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2014)" (Novosibirsk, Russia, 2-4 October 2014). Novosibirsk, 2014. P. 745-749. doi: 10.1109/APEIE.2014.7040785.

20. Voevoda A. A., Troshina G. V. Active identification of the inverted pendulum control system // Proc. of the 18th Intern. Conf. on Soft Computing and Measurements (SCM'2015). Saint-Petersburg: LETI Publ., 2015. Vol. 1. P. 153-156.

21. Voevoda A. A., Troshina G. V., Patrin V. M., Simakina M. V The object unknown parameters estimation for the 'inverted pendulum-Cart' system in the steady state // Proc. of the 16th Intern. Conf. of Young Specialists on Micro/Nanotechnologies and Electron Devices (EDM-2015), Altai, Erlagol, 29 June - 3 July 2015. IEEE, 2015. P. 186-188.

22. Voevoda A. A., Troshina G. V. O nekotoryh metodah fil'tracii v zadache identifikacii // Sb. nauch. tr. NGTU. 2014. Vyp. 2 (76). C. 16-25.

23. Voevoda A. A., Troshina G. V. Ob ocenke vektora sostoyaniya i vektora parametrov v zadache identifikacii // Sb. nauch. tr. NGTU. 2014. Vyp. 4 (78). C. 53-68. doi: 10.17212/2307-6879-2014-4-53-68.

24. Troshina G. V. Modelirovanie dinamicheskih ob'ektov v srede Simulink. Ch. 1 // Sb. nauch. tr. NGTU. 2015. Vyp. 3 (81). C. 55-68. doi: 10.17212/2307-6879-2015-3-55-68.

25. Troshina G. V. Modelirovanie dinamicheskih ob'ektov v srede Simulink. Ch. 2 // Sb. nauch. tr. NGTU. 2015. Vyp. 4 (82). C. 31-41. doi: 10.17212/2307-6879-2015-4-31-41.

This work is licensed under Creative Commons Attribution 3.0 Unported

Support Powered by Editorum,  Instructions
Login or Create
* Forgot password?