The technique of the discrete control of a continuous object is considered by the example of a DC motor. The proposed method can simplify the procedure of selecting the desired properties of the synthesized control system, and reduce the control identification to a standard problem on the linear equation system solution with regard to the inequality constraints at each sample spacing. The desired properties of the synthesized system are specified through the reference transient. The quadratic performance criterion that characterizes the deviation of the transition process from the reference at the equally separated moments of time is applied. This approach allows a real-time control of the object with account to the restrictions of both to the controlling action, and to the phase control system coordinates. Thus, it is possible to achieve absence of overshoot and oscillability.
control action, control system, state vector, DC motor.
Введение. Электродвигатели постоянного тока являются непрерывными объектами. В то же время для реализации управления всё большее применение находят средства, использующие представление информации в дискретной форме. Причём управление должно строиться с учётом нелинейных свойств объектов управления и реальных ограничений на фазовые координаты и управляющее воздействие.
Для решения задач оптимального управления большое распространение получили методы, опирающиеся на использовании минимизируемых функционалов. Существующие методы синтеза можно разделить на две группы: методы, использующие косвенные критерии качества, и методы, использующие прямые критерии качества.
К методам синтеза оптимальных систем управления с использованием косвенных критериев качества относятся принцип максимума Понтрягина [1] и принцип оптимальности Беллмана [2]. Эти принципы являются мощными математически обоснованными способами решения оптимизационных задач в отношении минимизации выбранного критерия качества. Синтез систем управления с помощью принципа максимума Понтрягина сводится к решению двухточечной краевой задачи для дифференциальных уравнений [1]. Получение аналитического выражения для оптимального управления в замкнутой форме связано с большими трудностями и представляет собой самостоятельную задачу для каждого класса объектов [3]. Трудности решения двухточечных краевых задач стимулировали поиск разного рода прямых методов [4–6].
В данной статье предлагается методика сведения задачи нахождения управляющего воздействия для нелинейной системы управления к решению системы линейных алгебраических уравнений на каждом шаге квантования по времени. При этом требуется обеспечить отсутствие перерегулирования, колебательности и учесть ограничения на фазовые координаты и управляющее воздействие.
Для задания желаемых свойств переходного процесса предлагается использовать квадратичный критерий качества, характеризующий отклонение переходного процесса от эталонного в равноотстоящие моменты времени.
1. Pontryagin, L. S., et al. Matematicheskaja teorija optimal’nyh processov. [The mathematical theory of optimal processes.] Moscow : Nauka, 1983, 393 p. (in Russian).
2. Bellman, R. Dinamicheskoe programmirovanie. [Dynamic programming.] Moscow : Inostran-naya literatura, 1960, 400 p. (in Russian).
3. Letov, A. M. Analiticheskoe konstruirovanie reguljatorov. [Analytical design of controllers.] Avtomatika i telemehanika, 1960, vol. 21, no. 4, pp. 436–442 (in Russian).
4. Krutko, P. D. Obratnye zadachi dinamiki upravljaemyh sistem: Linejnye modeli. [The inverse problems of control systems dynamics: Linear models.] Moscow: Nauka, 1987, 304 p. (in Russian).
5. Neydorf, R. A., Chan, N. N. Kompozitsionnjy sintez kvantioptomal’nyh po bystrodejstviju sistem upravlenija vysokogo porjadka. [Compositional synthesis of time-suboptimal control of high-order systems.] Vestnik of DSTU, 2007, vol. 7, no. 4 (35), pp. 353–359 (in Russian).
6. Amin, I. I. Optimal discrete systems with prescribed eigenvalues. Int J. Control, 1984, vol. 40, no. 4, pp. 783–794.
7. Timothy, L., Bona, B. State Space Analysis. N. Y., McGraw-Hill, 1968, 406 p.
8. Yurchenko, D. V. Sravnenie ogranichennogo i neogranichennogo upravlenij s obratnoj svjaz’u dlja stohasticheskoj linejno-kvadraticheskoj zadachi. [Comparison of the bounded and unbounded feed-back controls for the stochastic linear-quadratic problem.] Avtomatika i telemehanika, 2006, № 7, pp. 88–94 (in Russian).
9. Streyts, V. Metod prostranstva sostojanij v teorii diskretnyh lineynyh system upravlenija. [State space theory of discrete linear control.] Moscow : Nauka. Glavnaja redakcija fiziko-matematicheskoj literaturj, 1985, 296 p. (in Russian).
10. Lawson, Ch., Henson, R. Solving Least Squares Problems. New Jersey, Prentice-Hall, 1974, 340 p.
11. Bragina, A. A. Obratnaya zadacha v upravlenii dinamicheskoj sistemoj. [Inverse problem in the control of dynamic system.] Vestnik Uzhno-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya : Ma-tematicheskoe modelirovanie i programmirovanie, 2012, no. 40, pp. 162–166 (in Russian).
