In normalized Banach space, a zero-degenerating integro-differential equation is considered. For him, many solutions are built with values in some specially introduced space of functions equal to zero in zero.
integral equation, Banach space, operator bundle, spectrum
Введение
В связи с расширяющимся объемом приложений особое развитие получила теория дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Она применяется при решении задач обработки экспериментальных данных, задач численного дифференцирования, различных обратных задач, поэтому решение таких уравнений является актуальным и в настоящее время.
Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение вида
, (1)
где 
, 
.
Оно изучается в пространстве 
. Операторы 
, 
, …, 
являются ограниченными в 
.
Рассмотрим операторный пучок
(2)
Теорема. Дано:
- пучок (2) имеет собственное значение
; - собственному значению
принадлежит цепочка элементов банахова пространства 
.
Тогда рассматриваемое равенство (1) имеет следующее решение
, где 
. (3)
Построение решения
Подставляя (3) в (1) получаем
(4)
Приравнивая коэффициенты при 
нулю, получаем
(5)
Систему уравнений (5) можно переписать в виде
(6)
Из системы уравнений (6) следует, что
.
1. Sato, T. Sur l΄equation integrale / T. Sato // J. Math. Soc. Japan. – 1953. – V. 5. – № 2. – P. 145-153.
2. Takesada, T. On the singular point of integral equations of Volterra type / T. Takesada // J. Math. Soc. Japan. – 1955. – V. 7. – № 2. – P. 123-136.
3. Panov, L. I. Ob integral'nyh uravneniyah s yadrami, imeyuschimi neintegriruemuyu osobennost' proizvol'nogo poryadka / L. I. Panov // DAN Tadzh. SSR. – 1967. – T. 10. – № 6. – C. 3-7.
4. Magnickiy, N. A. O suschestvovanii mnogoparametricheskih semeystv resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra I-go roda / N. A. Magnickiy // DAN SSSR. – 1977. – T. 235. – № 4. – C. 772-774.
5. Magnickiy, N. A. Mnogoparametricheskie semeystva resheniy integral'nyh uravneniy Vol'terra / N. A. Magnickiy // DAN SSSR. – 1978. –T. 240. – № 2. – C. 268-271.
6. Magnickiy, N. A. Lineynye integral'nye uravneniya Vol'terra I i III roda / N. A. Magnickiy // Zhurnal vych. mat. i mat. fiz. – 1979. – T. 19. – № 4. –C. 970-988.
7. Kreyn, S. G. O polnote sistemy resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra s osobennost'yu / S. G. Kreyn, I. V. Sapronov // Dokl. RAN. – 1997. – T. 355. – № 4. – C. 450-452.
8. Kreyn, S. G. Ob integral'nyh uravneniyah Vol'terra s osobennostyami / S. G. Kreyn, I. V. Sapronov // UMN. – 1995. – T. 50. – Vyp. 4. – C. 140.
9. Krein, S. G. Singular integral Volterra equations / S. G. Krein // Abstracts. International Congress of Mathematics. Zurich. 3-11 August 1994. – P. 125.
10. Krein, S. G. One class of solutions of Volterra equation with regular singularity / S. G. Krein, I. V. Sapronov // Ukr. mat. zh. – 1997. – T. 49. – № 3. – S. 424-432.
11. Sapronov, I. V. Mnogoparametricheskoe semeystvo resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra s osobennost'yu v banahovom prostranstve // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika. 2011. – № 1. – S. 59-71.
12. Sapronov, I. V. Uravnenie Vol'terra s osobennost'yu v banahovom prostranstve / I. V. Sapronov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. – Matematika. – 2007. – № 11. – S. 45-55.
13. Sapronov, I. V. Mnogoparametricheskoe semeystvo resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra s osobennost'yu v banahovom prostranstve / I. V. Sapronov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika. – 2005. – № 2. – S. 81-83.
14. Sapronov, I. V. Ob odnom klasse resheniy uravneniya Vol'terra II roda s regulyarnoy osobennost'yu v banahovom prostranstve / I. V. Sapronov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika. – 2004. – № 6. – S. 48-58.
