, Russian Federation
student
The article discusses the construction of non-planar fractal images, which can be used in product design. To do this, it is proposed to dissect hyperfractals with non-planar surfaces and build their flat projections or 3-dimensional models. As an example, the construction of spherical sections of the Julia-Mandelbrot hyperfractal is considered, the necessary geometric models and algorithms are given, examples of the constructed fractal images are shown.
hyper-fractal, algebraic fractal, multidimensional geometry, Julia set, Mandelbrot set, object design
1. Фрактальные алгоритмы широко применяются при решении научных и практических задач [1–4]. В последнее время фрактальные изображения все чаще находят применение в искусстве и дизайне [5–8], даже отмечается появление особого направления – «фрактальный дизайн» [5]. При более внимательном рассмотрении становится заметно, что наибольшее применение в области искусства и дизайна находят геометрические фракталы (см. [5–6]). Применение алгебраических фракталов, самыми известными из которых являются множество Мандельброта, множество Жулиа и бассейны Ньютона, встречается значительно реже.
В настоящей работе рассматриваются вопросы построения неплоских алгебраических фракталов, которые могут найти применение в предметном дизайне.
2. Алгебраические фракталы порождаются в результате итерационного вычисления некоторой функции комплексного переменного f(f(…(f(z))…)) и рассматриваются, как правило, на комплексной плоскости, образованной действительной и мнимой компонентами z. Изображение, полученное в результате, оказывается плоским (рис. 1). Оно может быть использовано в качестве текстуры неплоской поверхности, но, если такая поверхность замкнута, неизбежно появление «швов» (рис. 1,а), «бесшовные» случаи ограничиваются изображениями с изолированными фрактальными фигурами (рис. 1,б). Решением данной проблемы могли бы стать аналоги алгебраических фракталов, построенные на поверхности изначально неплоской, в том числе замкнутой.
В работах [8–10] алгебраические фракталы рассматриваются с позиций многомерной геометрии, в частности в [8] вводится понятие гиперфрактала, обобщающее понятие алгебраического фрактала на случай множества независимых параметров. Известные фракталы, такие как множества Жулиа или Мандельброта оказываются его частными плоскими сечениями. Возможность построения множества плоских сечений гиперфрактала [8–10], в частности, пучком плоскостей общего положения [8] показывает его непрерывность в многомерном пространстве параметров. Из этого следует, что, рассекая гиперфрактал некоторой кривой поверхностью, в том числе замкнутой, в пространстве параметров гиперфрактала мы получим неплоский аналог алгебраического фрактала.
Гиперфактал размерности n в (n+1)-мерном пространстве с координатами (Цвет, x0, …xn) задается уравнением вида [8]:
Цвет = Iterate (x0, …xn) (1)
– и представляет собой гиперповерхность размерности n, т.е. множество ∞n точек.
В пересечении с другими n-гиперпространствами, которые задаются уравнениями вида:
g (Цвет, x0, …xn) = 0, (2)
в том числе n-гиперцилиндрическими поверхностями вида:
g’ (x0, …xn) = 0, (3)
в том числе n-гиперплоскостями уровня:
xi = const (4)
– образуются сечения – (n–1)-гиперповерхности.
В пересечении k n-гиперповерхностей образуется (n–k+1)-гиперповерхность.
Обыкновенное фрактальное изображение представляет собой 3-мерное сечение n-гиперфрактала, одной из координат которого остается Цвет, т.е. требуется k=n–2 секущих n-гиперповерхностей.
Далее удобно (n+1)-мерное пространство с координатами (Цвет, x0, …xn) однозначно отобразить на двойки вида <Цвет, (x0, …xn)>, т.е. перейти к n-мерному пространству разноцветных точек [8], заполняющему n-гиперфрактал изнутри.
Теперь если взять n–2 секущих гиперпространств мы получим 2-мерную поверхность разноцветных точек – сечение исходного гиперфрактала. Если все секущие гиперповерхности линейны и задаются уравнениями вида (4), сечение окажется эквивалентным одному из обычных алгебраических фракталов. Если одна или несколько секущих гиперповерхностей нелинейны, сечение, о общем случае, окажется неплоским.
Далее будем рассматривать неплоские сечения гиперфрактала Жулиа-Мандельброта. Он задается следующим уравнением [8]:
Цвет = Iterate (Cre, Cim, zre, zim), (5)
– является 4-мерным в 5-мерном пространстве (Цвет, Cre, Cim, zre, zim) или в 4-мерном пространстве разноцветных точек (Cre, Cim, zre, zim). Для получения сечений можно использовать две секущие гиперповерхности вида:
g’ (Cre, Cim, zre, zim) = 0 (6).
Таким образом, неплоский алгебраический фрактал будем задавать следующей системой уравнений:
g1 (Cre, Cim, zre, zim) = 0,
g2 (Cre, Cim, zre, zim) = 0,
Цвет = Iterate (Cre, Cim, zre, zim).
Порядок уравнений несущественен (операция пересечения коммутативна и ассоциативна [11]), поэтому можно вначале пересечь гиперповерхности g1 и g2, в результате получится некоторая поверхность (∞2) σ, которую затем пересечь с гиперфракталом. Таким образом, форму сечения можно задавать, выбирая подходящие гиперповерхности g1 и g2.
3. Будем строить сферические сечения гиперфрактала: сферу легко задать и построить, при этом она является замкнутой поверхностью, и ее точки при помощи центрального проецирования могут быть перенесены на многие другие замкнутые поверхности с сохранением непрерывности фрактального узора.
Сфера (∞2) в 4-мерном пространстве может быть задана:
- пересечением гиперсферы с некоторой гиперплоскостью;
- пересечением гиперцилиндра или гиперконуса со сферическим основанием подходящей гиперплоскостью;
- пересечением двух гиперсфер и др.
Последний случай особенно удобен, поскольку каждую исходную гиперсферу можно задать координатами центра (C0re, C0im, z0re, z0im) и радиусом (R0). Их уравнения имеют вид:
(Cre– C0re)2 + (Cim– C0im)2 + (zre– z0re)2 +(zim– z0im)2 = R02 (7).
Таким образом, секущая сфера задается системой уравнений:
(Cre– C0re)2 + (Cim– C0im)2 + (zre– z0re)2 +(zim– z0im)2 = R02 (8).
(Cre– C1re)2 + (Cim– C1im)2 + (zre– z1re)2 +(zim– z1im)2 = R12
Произведем параметрический анализ [12].
В 4-мерном пространстве – ∞4 точек. Сфера задается 4-мя точками, всего имеется ∞4·4=∞16 четверок точек. На сфере – ∞2 точек и ∞2·4=∞8 четверок точек. Таким образом, в 4-мерном пространстве ∞16/∞8=∞8 сфер, т.е. сфера задается 8 параметрами. Из них формы – один (радиус), остальные 7 – положения. Причем, 4 – положение центра сферы. Оставшиеся 3 – углы поворота сферы относительно координатных плоскостей (всего в 4-мерном пространстве возможно 6 различных углов поворота, но при вращении по трем другим сфера скользит сама по себе и не изменяется).
В 4-мерном пространстве ∞5 гиперсфер (∞4 центров и ∞1 радиусов), ∞5·2= ∞10 – пар гиперсфер. Причем, подобно окружности в пространстве, которая задает ∞1 (пучок) инцидентных сфер, сфера задает ∞1 (пучок) инцидентных гиперсфер. Инцидентность сферы и гиперсферы, таким образом, связывает 4 параметра. Что подтверждает следующий расчет: на гиперсфере ∞3 точек, ∞3·4=∞12 четверок точек, – ∞12/∞8=∞4 сфер. То есть принадлежность некоторой гиперсфере связывает 8–4=4 параметра сферы.
Параметрический анализ показывает, что, меняя значения параметров исходных гиперсфер, можно задать любую из ∞8 сфер 4-мерного пространства (Cre, Cim, zre, zim). Отметим, что даже если радиусы гиперсфер выбирать равными, таких пар имеется ∞5·∞4=∞9, что также позволяет задать любую секущую сферу.
Общий алгоритм построения фрактального изображения выглядит следующим образом:
Алгоритм 1.
Для Cire из [Cminre.. Cmaxre]
Для Cjim из [Cminim.. Cmaxim]
Подставляем значения Cire; Cjim в систему (8), выражаем и находим:
(zre– z0re)2 +(zim– z0im)2 = R02– const0 (9)
(zre– z1re)2 +(zim– z1im)2 = R12– const1
Система (9) приводится к квадратному уравнению.
Находим его дискриминант Δ.
Если Δ≤0, точка лежит вне секущей сферы.
Если Δ≥0, имеется два различных или совпавших решения для двух полушарий секущей сферы.
Находим zre;zim для первого полушария. Подставляем Cire;Cjim;zre;zim в (5).
Находим Цвет и выполняем отрисовку.
Находим zre;zim для второго полушария. Подставляем Cire;Cjim;zre;zim в (5).
Находим Цвет и выполняем отрисовку.
На рис. 2 показана серия сечений гиперфрактала сферами (разные полушария сверху и снизу в каждой строке) при изменении радиуса исходных гиперсфер от 0,5 до 1,7. Расположение центров гиперсфер сохраняется. Центр первой гиперсферы находится в начале координат, центр второй гиперсферы имеет координаты (0; 0; 1; 1). Центр секущей сферы остается неизменным.
В общем случае положение центра и радиус секущей сферы можно найти, как показано на рис. 3,а (показана проекция на плоскость, проходящая через центры гиперсфер). По т. Пифагора 
и 
. Откуда:
(10)
– радиус равен:
(11)
Если радиусы гиперсфер равны R0=R1=R, тогда 
(центр неподвижен) и 
.
Таким образом, приведенный способ позволяет получить изображение сечения гиперфрактала любой сферой в 4-мерном пространстве (Cre, Cim, zre, zim).
4. В рассмотренном в п. 3 случае секущая сфера занимала положение уровня, поэтому сечения гиперфрактала на рис. 2 спроецированы в виде кругов. Вообще очертаниями сферы на плоскостях проекций при ортогональном проецировании могут быть отрезок, длина которого равна диаметру сферы, окружность с диаметром, равным диаметру сферы, или эллипс с большой осью, равной диаметру сферы, поскольку сфера имеет ∞3 диаметров и по крайней мере один проецируется в натуральную величину (вопросы проецирования кривых гиперповерхностей ранее рассматривались в [13–15]).
В общем случае сфера будет проецироваться с искажением и, как показано в п. 2, требуется максимум три поворота вокруг проецирующих плоскостей, чтобы привести ее в положение уровня. Будем использовать следующий геометрический подход. Для удобства переименуем координатные оси (Cre, Cim, zre, zim) в (x, y, z, t).
- Перенесем центр первой гиперсферы в начало координат.
- Выполним поворот вокруг проецирующей плоскости zt на угол φzt в положение А.
- Выполним поворот вокруг проецирующей плоскости yt на угол φyt в положение Б.
- Выполним поворот вокруг проецирующей плоскости yz на угол φyz в положение В.
В результате секущая сфера займет положение уровня, при котором на плоскости xy и xz ее очертания спроецируются в виде окружностей.
Таким образом, приведенный выше алгоритм позволяет получать изображения сферических сечений гиперфарктала общего вида с наименьшим искажением, поскольку секущая сфера без искажения оказывается вложена в одно из 3-мерных подпространств уровня. Изображения в виде двух полушарий более удобны для анализа и понимания, поскольку более привычны и используются, к примеру, для представления земной поверхности. Отметим, что предлагаемый подход может использоваться без проецирования. Он позволяет получать значения цвета для точек преобразованной 4-мерной модели, из которой, отбрасыванием координаты t может быть сформировано 3-мерное фрактальное изображение, как множество разноцветных точек в 3-мерном пространстве.
5. Изображение в виде полушарий и 3-мерная модель сферического фрактала, которые могут быть построены при помощи алгоритмов 1 и 2, обладают следующим общим недостатком: в центре полушарий плотность точек выше, а ближе к очерковой линии и соответствующему контуру в пространстве – значительно ниже. Кроме того, изображение в виде полушарий не очень удобно использовать при создании текстур для 3D-моделей. На практике обычно используют прямоугольные изображения (рис. 1), которые представляют собой развертку равнопромежуточной цилиндрической проекции поверхности шара. Рассмотрим построение такой развертки.
После преобразования, рассмотренного в п. 4, секущая сфера располагается таким образом, что в 3-мерное пространство (x, y, z) она вкладывается без искажения, и все ее точки имеют общую t-координату, значение которой можно рассчитать по формуле (10).
Введем угловые (сферические) координаты –π≤φ≤π (азимут или долгота) и –π/2≤θ≤π/2 (зенит или широта), как показано на рис. 5.
6. Основные результаты.
Предложен новый (ранее не встречавшийся авторам) способ построения фрактальных изображений, как неплоских сечений гиперфрактала. Он позволяет получать как плоские (проекции и развертки), так и объемные фрактальные изображения.
Описаны геометрические модели, разработаны и опробованы алгоритмы построения сферических сечений гиперфрактала на примере Жулиа-Мандельброта: построение простой проекции сферического сечения гиперфрактала, построение 3D-модели и проекции сферического сечения с преобразованием сферы в положение уровня и построение развертки цилиндрической равнопромежуточной проекции секущей сферы. Приведенные алгоритмы могут применяться и к другим итерационным формулам.
Фрактальные изображения и 3D-модели, получаемые предлагаемым способом, могут применяться в предметном дизайне (производство бижутерии и предметов декора), а также при разработке компьютерных программ для генерации фрактальных карт.
1. Brylkin Yu.V. Modelirovanie mikro- i nanostruktury poverhnosti dlya resheniya zadach gazovoy dinamiki i teplomassoobmena // Geometriya i grafika. – 2018. – №2. – S. 94–99. – DOI: 10.12737/article_5b55a695093294.45142608
2. Zhiharev L.A. Fraktal'nye razmernosti // Geometriya i grafika. – 2018. – №3. – S. 33–48. – DOI: 10.12737/article_5bc45918192362.77856682
3. Brylkin Yu.V. Racionalizaciya algoritma modelirovaniya poverhnosti metodom brounovskogo dvizheniya po kriteriyu minimizacii kolichestva iteraciy // Geometriya i grafika. – 2017. – №1. – S. 43–50. – DOI: 10.12737/25123
4. Loktev A.A. Ispol'zovanie fraktalov v zadachah obespecheniya informacionnoy bezopasnosti / A.A. Loktev, A.V. Zaletdinov. – Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya «Estestvennye i tehnicheskie nauki». – 2010. – T. 15, № 2. – C. 599–604.
5. Fraktaly v dizayne [Elektronnyy resurs]. – URL: https://www.sni-project.ru/blog/196-fraktaly-v-dizajne . – Zagl. s ekrana (Data obrascheniya: 11.09.2020)
6. Trubeckov D.I., Trubeckova E.G. Fraktal'noe iskusstvo // Izvestiya vuzov. PND. – 2016. – T. 24, vyp. 6. – S. 84-102. DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-6-84-102
7. Trubochkina N.K. Novyy promyshlennyy dizayn i tehnologii, kak rezul'tat matematichesko-komp'yuternyh fraktal'nyh issledovaniy // Kachestvo. Innovacii. Obrazovanie. – 2012. – T. 84. № 5. – S. 76–82.
8. Boykov A.A. O sozdanii fraktal'nyh obrazov dlya dizayna i poligrafii i nekotoryh geometricheskih obobscheniyah, svyazannyh s nimi / A.A. Boykov [i dr.] // Problemy kachestva graficheskoy podgotovki studentov v tehnicheskom vuze: tradicii i innovacii. Materialy VIII Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy internet-konferencii, fevral' – mart 2019 g. – Perm': PNIPU, 2019. – S. 325–339.
9. Labut' A. Fraktal'nye mnozhestva na kompleksnoy ploskosti [Elektronnyy resurs]. – URL: http://digitalphysics.ru/htm/Fraqtalnye_mnozhestva_na_qompleqsnoi_plosqosti.htm . – Zagl. s ekrana (Data obrascheniya: 11.09.2020)
10. Labut' A. Snova o mnogomernosti mnozhestva Mandel'brota–Zhyulia [Elektronnyy resurs]. – URL: http://www.sciteclibrary.ru/texsts/rus/stat/st2526.htm . – Zagl. s ekrana (Data obrascheniya: 11.09.2020)
11. Peklich V.A. Vysshaya nachertatel'naya geometriya. – Moskva: ASV, 2000. – 344 s.
12. Ryzhov N.N. Parametricheskaya geometriya. – Moskva: MADI, 1988. – 56 s.
13. Pervikova V.N. Chertezhi poverhnostey n-mernogo prostranstva i ih inzhenernye prilozheniya / V. N. Pervikova, D. M. Korobova, A. A. Reshetnikova // Geometricheskie preobrazovaniya i prikladnaya mnogomernaya geometriya. Trudy MAI. – Moskva, 1973. – Vyp. 271. – S. 68–86.
14. Filippov P.V. Nachertatel'naya geometriya mnogomernogo prostranstva i ee prilozheniya. – L.: Izd-vo Leningr. un-ta, 1979. – 280 s.
15. Boykov A.A. O postroenii modeley ob'ektov prostranstva chetyreh i bolee izmereniy v uchebnom processe // Geometriya i grafika. – 2018. – T. 6, № 4. – S. 54–71. – DOI: 10.12737/article_5c21f96dce5de8.36096061
