Moskva, Moscow, Russian Federation
student
This study is devoted to further development of the method of reflection of points from curves described in [6]. Reflections of points from a circle are closed contours whose asymmetry is determined by the offset of the reflected object relative to the center. The circle has a constant curvature, that is, the second derivative of such a curve is unchanged. When reflected from an ellipse, and even more so from a parabola and lemniscuses, the asymmetry of the reflection is more pronounced. The second derivative of such curves is not constant and even changes its sign at certain points, which is very evident in reflections. This can also allow you to use reflections to analyze curves that work as a mirror. The lemniscuses, unlike all the previous ones, is a fourth-order curve. The article considers the features of reflections of points and one-dimensional objects from an ellipse, parabola, and lemniscuses on a plane.
ellipse, parabola, lemniscuses, the order of the curves, point of inflection
Метод отражения от кривой основан на приближении, в соответствии с которым в некоторых точках кривой по касательной к ней располагаются прямые зеркала (рис. 1). Отражения в этих точках от кривого зеркала и от соответствующего прямого зеркала полностью идентичны. Чтобы отразить точку от кривого зеркала необходимо отразить её от всех возможных касательных прямых зеркал. На практике строится несколько отражённых точек, которые за тем интерполируются гладкой кривой для получения приближённого отражения [8, 10].
Данный метод воплощался с использованием частичной автоматизации построения отражений от кривых зеркал в программе КОМПАС 3D [3]. Отражение точки строится от фиксированных касательных к зеркалу отрезков. При помощи привязки «симметрия» создаётся набор точек, соответствующих точке А. На рис. 2 это соответствие показано отрезками. Отражённые точки соединены сплайном. При перемещении точки А сплайн отражения автоматически перестраивается.
При переходе через зеркало привязки сбиваются, так что модель, представленная на рис. 2, работает только при перемещении А внутри эллипса.
Можно выделить 4 типа отражений в зависимости от расположения точки и кривой – точка находится в фокусе зеркала, внутри кривой, на границе и за ее пределами.
Так, наиболее простым построением является отражение точки, расположенной внутри замкнутого зеркала. Устанавливая исходную точку в центре зеркала, получаем изображение, симметричное по осям исходной кривой. Эта симметрия сохраняется при перемещении точки вдоль осей симметрии зеркала. Это видно на примере отражения точки от эллипса: точка в центре (рис. 2, а) смещена по главной оси эллипса, симметрия отражения вдоль которой сохраняется (рис. 2, b) и смещена в произвольном направлении, в этом случае симметрия нарушена (рис. 2, c) [9].
Когда точка занимает положение на зеркале и вне его пределов, появляется такая касательная, при отражении от которой оригинал и изображение совпадают. При переходе через эту точку кривизна отражения изменяет знак, и мы наблюдаем точку перегиба.
Рассмотрим в качестве зеркала параболу. Для незамкнутого симметричного зеркала при отражении точки, расположенной на оси симметрии, справедливо сказанное выше о симметрии отражений относительно этой оси (рис. 4, а).
Вне зависимости от положения точки, мы имеем участок кривой, где угол наклона касательной к это кривой будет приближаться к 90°. Отражение от такой касательной будет асимптотически стремиться к горизонтальной прямой, проходящей через отражаемую точку (рис. 4, б).
Обратимся к более сложной замкнутой кривой – лемнискате. В раннее рассмотренных кривых наблюдалось полное отражение. Лемниската является двухконтурным зеркалом и помимо отражения от внешнего контура, возникает отражение от внутреннего контура. В данном случае также имеется такая касательная, при отражении от которой оригинал и изображение совпадают, а при переходе через эту точку меняется кривизна отражения (рис. 6).
Отражения, полученные с использованием эллипса, являются кривыми четвёртого порядка, отражения от параболы – третьего, а от лемнискаты – шестого. Геометрически порядок кривой определяется максимальным количеством точек её пересечения с прямой, однако частные случаи характеризуются наличием мнимых точек, что следует учитывать в конечном ответе [2, 4, 5, 7]. Учитывая, что эллипс и парабола задаются уравнением второго порядка, а лемниската – четвёртого, порядок отражённых кривых не может быть определён простым правилом и требует более детального исследования при помощи приёмов аналитической геометрии [1].
Отражение отрезков можно представить через совокупность отражений каждой точки отрезка от кривого зеркала. В таком случае результатом отражения отрезка от кривого зеркала будет двумерный объект. Можно заметить, что отражение заполняет пространство неравномерно, хотя точки отрезка распределены с одинаковой плотностью (рис. 7, 8).
Двумерный объект, полученный при отражении отрезка от параболы, также как и в случае отражения точки будет бесконечно простираться вдоль прямой, перпендикулярной оси параболы (рис. 4, б).
Отражение отрезка от лемнискаты представляет собой конечную область причудливой формы (рис. 9).
Особенностью отражения объектов от кривых является повышение размерности отражения относительно отражаемого объекта. Это можно использовать для задания параметров сложных объектров простым набором данных: геометрическими параметрами кривой, координатами и параметрами отражаемого объекта, но для этого требуется решить обратную задачу построения зеркала и отражаемого объектра по данному отражению. Решение этой задачи требует всестороннего исследования отражений от различных кривых.
Рассмотренные случаи отражения от эллипса, параболы и лемнискаты позволили определить порядок отраженных кривых. Полученные результаты определяют преоритетные направления дальнейших исследований.
1. Antonova I.V., Beglov I.A., Solomonova E.V. Matematicheskoe opisanie vrascheniya tochki vokrug ellipticheskoy osi v nekotoryh chastnyh sluchayah // Geometriya i grafika. – 2019. – №. 3. – S. 36–50. DOI: 10.12737/article_5dce66dd9fb966.59423840
2. Voloshinov D.V. Algoritmicheskiy kompleks dlya resheniya zadach s kvadrikami s primeneniem mnimyh geometricheskih obrazov // Geometriya i grafika. – 2020. – №. 2. – S. 3–32. – DOI: 10.12737/2308-4898-2020-3-32
3. Gerasimov A.A. Avtomatizaciya raboty v KOMPAS-Grafik. – BHV-Peterburg, 2010. – C. 585.
4. Girsh A.G. O pol'ze mnimostey v geometrii // Geometriya i grafika. – 2020. – №. 2. – S. 33–40. – DOI: 10.12737/2308-4898-2020-33-40
5. Girsh A.G., Korotkiy V.A. Mnimye tochki v dekartovoy sisteme koordinat // Geometriya i grafika. – 2019. – №. 3. – S. 28–35. – DOI: 10.12737/article_5dce651d80b827.498 30821
6. Zhiharev L.A. Otrazhenie ot krivolineynyh zerkal v ploskosti // Geometriya i grafika. – 2019. – №. 1. – S. 46–54. – DOI: 10.12737/article_5c9203adb22641.01479568
7. Korotkiy V.A. Mnimye pryamye v dekartovoy sisteme koordinat // Geometriya i grafika. – 2019. – №. 4. – S. 5–17. – DOI: 10.12737/2308-4898-2020-5-17
8. Lysov V.A., Shevchenko O.V., Schegolev A.V. Approksimaciya ploskih krivolineynyh konturov gladkimi krivymi na diskretnom mnozhestve opornyh tochek // Nauchno-tehnicheskiy vestnik Povolzh'ya. – 2011. – № 3. – S. 146–150.
9. Seliverstov A.V. O simmetrii proektivnyh krivyh //Vestnik Tverskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Prikladnaya matematika. – 2016. – №. 3. – S. 59–66.
10. Yurkov V.Yu. Approksimaciya mnozhestv pryamyh na ploskosti // Geometriya i grafika. – 2019. – № 3. – S. 60–69. – DOI: 10.12737/article_5dce6cf7ae1d70.85408915
