В ранее изданных статьях [1−5] описываются методы квазивращения. В статье [1] приведено конструктивное описание метода в виде графических построений, а в статьях [2, 3, 4, 5] изложено его математическое описание. Метод позволил моделировать поверхности путём вращения образующей линии вокруг осей второго порядка. На основе математического описания построений был создан алгоритм в программе «Maple», который позволил создавать модели поверхностей квазивращения.
В другой статье, связанной с квазивращением [6], упоминается уменьшение количества листов поверхностей квазивращения, которое авторы не могут объяснить аналитически, при прохождении образующей через фокус кривой оси второго порядка.
Подобные случаи без отображения циклид Дюпен показаны на рис. 1. На нём разными тонами показаны проекции листов, а также взаимное расположение образующей и оси вращения. Визуально листы объединяются в один. На каждой поверхности отдельными тонами выделены пары переходных окружностей, одна из которых обозначена буквой k.
Рис. 1. Поверхности квазивращения, образующие которых
проходят через фокусы осей
В данной работе рассматриваются изменения геометрии листов исследуемых поверхностей при приближении образующей к точке фокуса. На рис. 2 показаны 2 листа, для которых центр образующей окружности совпадает с центром эллиптической оси, а её радиус стремится или равен фокусному расстоянию оси. В силу технического ограничения математической среды в графическом редакторе были добавлены более точные детали некоторых листов. На рис. видно, как часть первого листа в момент возможного объединения вырождается и переходит в циклиду Дюпена (3 на рис. 2, в), а потом из циклиды Дюпена становится частью второго листа.
Рис. 2. Проекции двух листов поверхности при приближении радиуса образующей
окружности к значению фокусного расстояния эллиптической оси:
а, б) R<c, в) R=c, г, д) R>c.
Для доказательства объединений двух листов необходимо доказать, что у них совпадают:
• предельные радиусы окружности квазивращения;
• предельные углы наклона плоскостей, в которых лежат окружности квазивращения;
• частные производные в точках предельных окружностей квазивращения (градиенты).
Рис. 3. Радиусы окружностей и углы наклона плоскостей
Рис. 4. Частные производные
С помощью формул, использованных в математической среде, для построения листов были получены их частные варианты для точки образующей, проходящей через фокус оси для образующей окружности и осью-эллипсом, у которых совпадают центры. Данные формулы оказались равны, из чего следует, что R1=R2=R и θ1=θ2=θ (рис. 3). На рис. 4 изображены графики частных производных для точек на получившихся окружностях и наложение этих графиков друг на друга.
Таким образом, получается, что листы одного фокуса действительно объединяются в один, если точка образующей проходит через этот фокус, а выродившийся лист заменяется циклидой Дюпена. Также стоит отметить, что окружности, к которым стремятся листы, не принадлежат ни одному из них, а являются образующими окружностями циклиды Дюпена. Таким образом, математически верным будет рассматривать листы поверхности квазивращения как единый геометрический объект.
