1. Введение
Определение целесообразного ассортимента и объемов производимой продукции является одной из важнейших задач обоснования товарной стратегии и производственной программы любого предприятия [1−4]. В современных условиях цифровизации управления эффективным инструментом для решения этой задачи является использование соответствующих математических моделей. При этом в системах поддержки принятия решений по формированию товарных стратегий и производственных программ предприятий, как правило, используются различные варианты детерминированных моделей оптимизации параметрических рядов продукции предприятия [24]. Вместе с тем в практике управления предприятиями существует объективная необходимость учета рисков, обусловленных случайным характером рыночного спроса [5−9].
Разработка методического подхода к построению моделей и методов оптимизации параметрических рядов продукции предприятия с учетом случайного характера рыночного спроса является целью данной статьи.
2. Формализация задачи
Рассматриваемую задачу оптимизации параметрических рядов можно представить следующим образом. Задан ряд изделий с параметрами U1<U2<…<Un. Изделие с меньшим значением параметра может быть заменено изделием с большим значением этого параметра. Допустим, что потребности ξj (j= ) в изделиях с параметром Uj (j=
) определяются случайными величинами, распределёнными по закону Пуассона и характеризуются математическими ожиданиями величин спроса bj (j=
). Величины ξj и ξi (i,j=
, i≠j) предполагаются независимыми.
Требуется определить оптимальный параметрический ряд изделий W={j1,j2,…,jm}, при котором минимальна суммарная стоимость
(1)
при выполнении ограничения
, (2)
где j1<j2<…<jm<…<jM – номера изделий, включенных в параметрический ряд;
=
+
− затраты на разработку, производство и эксплуатацию изделий типа jm;
− постоянные затраты, связанные с разработкой изделия типа jm;
− затраты на производство и эксплуатацию единицы изделия типа jm;
− количество изделий типа jm;
P − заданная вероятность обеспечения потребностей в изделиях;
− вероятность обеспечения спроса в изделиях типа
jm+1, jm+2,…, jm-1, jm.
При распределении величины потребностей в изделиях по закону Пуассона
, (3)
где . (4)
Для практических расчетов вместо соотношения (3) удобно использовать табличную функцию вероятности необеспечения потребности в изделиях
.
Тогда при P≥0,9 вместо (2) с достаточной для практических расчетов точностью можно использовать соотношение
,
где Q=1-P.
Для решения задачи (1), (4) может быть использован метод динамического программирования [10−12]. Функциональное уравнение динамического программирования имеет вид
, (5)
i=0,1,...,j-1, j=1,2,...,n,
xj=0,1,2,..., F≡0; Q0≡0
где Qj=Qi+qij≤Q;
;
;
Cij(xj)=Cj0+Cjxj.
3. Пример
Рассмотрим особенности решения функционального уравнения (5) на примере, исходные данные для которого приведены в табл. 1.
Таблица 1
|
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
10 |
16 |
20 |
24 |
30 |
|
|
1 |
2 |
4 |
6 |
10 |
|
|
2 |
4 |
3 |
1 |
2 |
Требуется определить оптимальный параметрический ряд при допустимом значении Q=0, 1.
Определим члены оптимальной последовательности
.
Члены последовательности , рассчитанные по формулам
приведены в табл. 2.
Таблица 2
|
x2 |
|
|
|
9 |
34 |
0,0839 |
|
10 |
36 |
0,0839 |
|
11 |
38 |
0,0201 |
|
12 |
40 |
0,0088 |
|
13 |
42 |
0,0036 |
|
14 |
44 |
0,0014 |
|
15 |
46 |
0,0005 |
|
16 |
48 |
0,0002 |
|
17 |
50 |
0,0002 |
Члены последовательности находятся в результате решения функционального уравнения
.
Значения последовательности , рассчитанные по формулам
,
,
заносим в верхнюю строку табл. 3:
х1 − верхнее число,
F1 − среднее число,
Q1 − нижнее число.
В левый столбец той же таблицы заносим значения
:
х2 − верхнее число,
с1,2 − среднее число,
q1,2 − нижнее число.
Суммируя соответствующие члены этих последовательностей, находим все возможные комбинации и определяем среди них доминирующую последовательность , выделенную в табл. 3 стрелками.
Сравнивая между собой члены последовательностей и
, окончательно находим
.
В данном примере оптимальная последовательность совпадает с последовательностью .
Аналогичным образом определяются последовательности
.
Таблица 3 
Последовательность приведена в табл. 4.
В последовательности находим член с минимальным значением F5=160, которому соответствуют Q5=0,0927<0,1, x5=9, c2,5(x5)=120.
Таблица 4
|
x5 |
F5 |
Q5 |
Ci5 |
i |
|
9 |
160 |
0.0927 |
120 |
2 |
|
9 |
162 |
0.0875 |
120 |
2 |
|
9 |
164 |
0.0853 |
120 |
2 |
|
9 |
166 |
0.0844 |
120 |
2 |
|
10 |
168 |
0.0627 |
130 |
2 |
|
10 |
170 |
0.0514 |
130 |
2 |
|
10 |
172 |
0.0462 |
130 |
2 |
|
10 |
174 |
0.0440 |
130 |
2 |
|
10 |
176 |
0.0431 |
130 |
2 |
|
11 |
178 |
0.0402 |
140 |
2 |
|
11 |
180 |
0.0289 |
140 |
2 |
Определив F2=F5-c2,5(x5)=160-120=40, находим, что данному значению F2 соответствует х2=12, с0,2(х2)=40 (см. табл. 2).
Следовательно, оптимальный параметрический ряд включает изделие второго и пятого типов.
Таким образом, выбор оптимального параметрического ряда при вероятностном спросе может быть сведен к задаче динамического программирования с одним ограничением, для решения которой разработаны эффективные алгоритмы [13−18].
В целом, рассмотренная модель задачи оптимизации параметрических рядов продукции предприятия с учетом случайного характера рыночного спроса может быть достаточно просто интегрирована в конкретные системы поддержки принятия решений по формированию товарных стратегий и производственных программ предприятий [19−23].
