Saint Petersburg, Russian Federation
The article deals with regular, semi-regular and irregular plane partitions, among the latter are partitions into equal polygons and arbitrary partitions with simple knots. It continues the author's supplementary lectures to the university textbook «Crystallography» by G. M. Popov and I. I. Shafranovsky, which was recommended to the students of geology of the St. Petersburg Mining University. The new topic is interesting because the first problem is solved elementary in the form of a Diophantine equation, the second is solved by algorithmic enumeration of variants, the third is related to the 18th Gilbert problem and is not exhausted yet, and the fourth shows the transition to the geometry of quasi-crystalline and amorphous structures. It gives examples of easily formulated but difficult to solve problems and encourages students to be scientifically creative in geometric crystallography and related disciplines (petrography, materials science). The presentation of the theory is illustrated with examples of plane partitions in urban interiors of St. Petersburg.
regular, semi-regular and irregular plane partitions, partitions into equal polygons, Diophantus equation, enumeration algorithm, lattice systems in the plane
Введение
Эта статья продолжает публикации автора [1—3] и, по-видимому, закрывает самые важные вопросы одно- и двумерной кристаллографии, которые весьма желательно донести до студентов перед преподаванием кристаллографии трехмерной. Рассмотрение линейных бордюров, их сочетаний в решетках и сетчатых орнаментов облегчает последующее усвоение трехмерных структур кристаллов. Но если в предыдущих статьях акцент сделан на трансляционном размножении некоторой фигуры в соответствии с группой симметрии полосы или плоскости, то в этой статье сначала определяется правило примыкания полигонов друг к другу в узлах разбиений плоскости, а их трансляционный характер оказывается нетривиальным результатом.
Тема о правильных, полуправильных и неправильных разбиениях плоскости (среди последних — разбиения на равные полигоны и произвольные разбиения с простыми узлами) интересна тем, что первая задача решается элементарно в виде диофантова (в натуральных числах) уравнения, вторая — перебором арифметических решений (алгоритмы могут быть разными) с последующей геометрической верификацией, третья имеет отношение к 18-й проблеме Гильберта и на сегодня решена компьютерным перебором вариантов, что не считается идеальным решением, а четвертая открывает простор для описания геометрии квазикристаллических и аморфных структур. Последняя дает примеры легко формулируемых, но трудных задач и побуждает студентов к научному творчеству в геометрической кристаллографии и смежных областях (петрографии, материаловедении, биологии тканей и др.).
1. Правильные разбиения
Правильным (платоновым) называется разбиение плоскости на правильные полигоны одного вида, примыкающие по целым сторонам. Внутренний угол при вершине правильного n-угольника равен an = 180(n–2)/n. В узлах правильного разбиения должно сходиться целое число полигонов: 360/an = 2n/(n–2) = 2 + 4/(n–2). Но 4 делится нацело лишь на 1, 2 и 4. Поэтому n = 3, 4 и 6. Соответствующие разбиения даны на рис. 1. Их символы (36), (44) и (63) показывают, какие и сколько (нижний индекс) полигоны последовательно встречаются при обходе узла по или против часовой стрелки. Задача решилась простым диофантовым уравнением, для каждого решения нашлась ровно одна геометрическая реализация. Если центры полигонов, смежных по ребрам, соединить отрезками, то обнаружится дуализм разбиений (36) и (63), разбиение (44) автодуально. Это подчеркивает смысл термина «платоновы разбиения», т. к. сходный дуализм имеет место в парах платоновых полиэдров: куб — октаэдр, додекаэдр — икосаэдр, тетраэдр автодуален.
2. Полуправильные разбиения: арифметика
Полуправильным (архимедовым) называется разбиение плоскости на правильные полигоны нескольких видов, примыкающие по целым сторонам и сходящиеся в узлах в том же или обратном порядке. Некоторой группой движений (поворотов, отражений и трансляций) можно совместить любые два узла, при этом все разбиение совмещается с собой. Вместе с правильными разбиениями они называются сетками Шубникова — Лавеса [7, 9]. Современное изложение теории можно найти в работах [5, 6], результаты — в [4]. Мы дадим свой и, по-видимому, самый простой вывод полуправильных разбиений.
Подходя к их перечислению с прежних позиций, получим соотношение S kn an = 360 и далее диофантово уравнение S kn (1 – 2/n) = 2, где kn — числа n-угольников в узле разбиения, n = 3, 4, 5… не определены. Его решение кажется затруднительным, но положение спасает простое наблюдение: a3 + a4 + a5 + a6 = 60 + 90 + 108 + 120 = 378 > 360. Сумма четырех самых малых an, взятых по одному, превышает 360°. Т. е. в узлах разбиения могут сходиться полигоны лишь двух или трех видов (2- и 3-разбиения). Для дальнейшего полезно иметь таблицу углов an (табл. 1).
2.1. 2-разбиения
Назовем «младшим» в разбиении n-угольник с наименьшим n. Гексагон (a6 = 120) таковым быть не может даже в одном экземпляре, т. к. любое добавление другого угла (в двух экземплярах) дает S > 360. Младший пентагон дает решение 2a5 + a10 = 360 — символ (5210), младший квадрат — решение a4 + 2a8 = 360 (482), младший треугольник — 4 решения: 4a3 + a6 = 360 (346), 3a3 + 2a4 = 360 (3342), 2a3 + 2a6 = 360 (3262) и a3 + 2a12 = 360 (3,122).
2.2. 3-разбиения
Аналогично, пентагон (a5 = 108) младшим быть не может, даже в одном экземпляре, т. к. любое добавление двух разных углов в любом числе дает S > 360. (Лишь в случае a5 + a6 + a7 = 356 4/7 < 360, но увеличение любого из углов превысит 360о). Младший квадрат дает 2 решения: a4 + a6 + a12 = 360 (4,6,12) и a4 + a5 + a20 = 360 (4,5,20), младший треугольник — 6 решений: 2a3 + a4 + a12 = 360 (324,12), a3 + 2a4 + a6 = 360 (3426), a3 + a7 + a42 = 360 (3,7,42), a3 + a8 + a24 = 360 (3,8,24), a3 + a9 + a18 = 360 (3,9,18) и a3 + a10 + a15 = 360 (3,10,15).
3. Полуправильные разбиения: геометрия
В отличие от правильных разбиений, здесь не каждое арифметическое решение отвечает геометрической реализации, и наоборот, одно решение может отвечать двум реализациям. Так, невозможно 2-разбиение (5210), а решение (3342) отвечает разбиениям (33344) и (33434), отличающимся чередованием треугольников и квадратов. Для 3-разбиений вообще возможны лишь две реализации: (4,6,12) и (3426), причем в варианте (3464), вариант (3446) невозможен. Итого возможны 8 полуправильных разбиений плоскости (рис. 2).
Примеры противоречий, возникающих при построении геометрических реализаций арифметических решений, даны на рис. 3. Так, при построении разбиения (5210) сначала строим корону 5-угольников вокруг 10-угольника (внизу). Затем строим корону 10-угольников, в которой неизбежно образуются узлы вида (5,102) (показано стрелкой). Это и доказывает невозможность разбиения (5210).
Аналогично, при построении разбиения (3446) начинаем с построения короны вокруг 6-угольника. Заметим, что при обходе его вершин порядок следования полигонов (по и против часовой стрелки) чередуется, что разрешено. Но при этом неизбежно образуются узлы вида (3464) с разделенными квадратами (показано стрелкой), что запрещено. Это и доказывает невозможность разбиения (3446).
4. Разбиения на равные полигоны
Далее речь пойдет о неправильных разбиениях плоскости, т. е. от полигонов более не требуется быть правильными. Но это не значит, что здесь все произвольно — полигоны и сочетания в узлах. Интересна задача о разбиениях плоскости на одинаковые выпуклые полигоны. У нее драматическая история.
Несложно доказать, что у искомого полигона может быть только 3, 4, 5 или 6 сторон. Также легко убедиться, что любой 3- и 4-угольник образует разбиение плоскости [10]. С 6-угольниками математики разобрались быстро. Обозначим (по часовой стрелке) углы A, B, C, D, E, F, стороны a, b, c, d, e, f, причем каждая сторона следует за одноименным углом. Доказано, что искомые 6-угольники принадлежат хотя бы одному из трех пересекающихся классов эквивалентности (так, правильный 6-угольник принадлежит всем): (1) A + B + C = 360, (2) A + B + D = 360, a = d, c = e, (3) A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.
Гораздо сложнее найти разбиения плоскости на 5-угольники. К. Райнхардт (K. Reinhardt) первый описал 5 разбиений в докторской диссертации в 1918 г. Лишь через 50 лет Р. Кершнер [8] нашел еще 3 разбиения и заявил, что задача исчерпана. Но в 1975 г. Р. Джеймс (R. James) нашел новое разбиение. Об этом в Scientific American прочла домохозяйка и математик-любитель М. Райс (M. Rice) и за 10 лет нашла еще 5 разбиений. К. Манн с соавторами (C. Mann, J. McLoud-Mann, D. von Derau) в 2015 г. с помощью компьютера нашли 15-е разбиение. М. Рао (M. Rao) в 2017 г. построил классификацию с 371 вариантом, перебрал их на компьютере, подтвердил найденные разбиения и показал, что других быть не может (рис. 4). Задача вроде бы решена, но перебор с помощью компьютера математики не считают идеальным решением. Поиск такового продолжается.
Почему эта задача так интересует математиков? Во-первых, потому что имеет отношение к 18-й проблеме Гильберта, в числе других провозглашенной на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г. Задача состоит из трех вопросов: конечно ли число кристаллографических групп, существуют ли нерегулярные заполнения пространства равными многогранниками, являются ли гексагональная и кубическая гранецентрированная упаковки шаров самыми плотными? На все уже получены положительные ответы. Очевидно, если понизить размерность пространства, второй вопрос превращается в задачу о разбиениях плоскости на равные полигоны. Во-вторых, она утопает в более общей проблеме оптимальных покрытий не только плоских, но и кривых поверхностей минимальными наборами строительных блоков. Так строят свои капсиды икосаэдрические вирусы, на наших глазах показывающие свою эффективность. И других обоснований важности проблемы не нужно.
5. Разбиения с простыми узлами
Под таковыми будем понимать разбиения плоскости на любые полигоны, сходящиеся по три в каждом узле. Слегка идеализируя, эти разбиения легко найти вокруг. Это кракелюры на старых картинах, трещины на штукатурке или краске в вашей парадной, на глинистом дне высохшей лужи, на асфальте (рис. 5)… Казалось бы, уж здесь-то не может быть никаких закономерностей. Но все не так просто.
Для любого плоского графа имеет место теорема Эйлера: f — e + v = 2, где f — число клеток, e — ребер, v — вершин. Если из каждой вершины выходят ровно три ребра, то 3v = 2e и e = 3f — 6. Тогда средняя координация клетки равна: c = 2e / f = 6 — 12/f ® 6 при f ® ∞. Строгое равенство с = 6 отвечает правильному разбиению 63 (рис. 1). Здесь уместно вспомнить его природную реализацию — пчелиные соты. Статистика для рис. 5: f = 71 (в долях единицы — частоты разных клеток), e = 225, v = 156, Мо = 6, c = 5.74, s = 1.59, As = 0.23, Ex = –0.82. Таким образом, даже в столь неправильных разбиениях сквозь асимптотику f ® ∞ проступает важный инвариант плоскости с = 6, а значит и дуальные разбиения (63) и (36).
6. Разбиения в городских интерьерах
Правильные разбиения легко найти в питерских городских интерьерах, чаще всего в напольных и настенных покрытиях, но не только. На рис. 6 показаны разбиения (36) в рисунке ковра, (44) — в укладке тротуара гранитными кубиками и (63) — в замощении пола керамической плиткой.
Из полуправильных 2-разбиений чаще всего встречается (482), иногда замаскированное дополнительными дизайнерскими элементами или наложениями. На рис. 7 показаны: решетка подземного перехода через пр. Добролюбова у станции метро «Спортивная», настенное покрытие с наложением правильного разбиения (44) (Большой пр. П. С.), витраж в окне (Кронверкский пр.), деревянная дверь (ул. Шевченко) и пол в парадной жилого дома (1 линия В. О., в старых домах кое-где сохранилась метлахская плитка).
Гораздо реже встречается 2-разбиение (3636). На рис. 8 показаны два напольных покрытия в парадных жилых домов (Петроградская сторона) и необычный тротуар (ул. Б. Морская). В первом разбиение узнается легко, во втором — после удаления графики внутри 6-угольников, окруженных темно-серыми треугольниками, в третьем — после соединения отрезками точек касания дисков. 2-разбиение (3,122) встречено нами однажды на персидском ковре (магазин на Малом пр. П. С.). Оно легко узнается, если убрать графику из 12-угольников, окружающих зеленые треугольники.
Полуправильные 3-разбиения совсем редки (рис. 9). Разбиение (3464) в двух вариантах подарил тот же магазин персидских ковров. Разбиение (4,6,12), весьма завуалированное и с деформированными квадратами, можно видеть на двери соборной мечети Санкт-Петербурга.
Разбиение на равные пентагоны встретилось нам однажды в напольном покрытии керамической плиткой (рис. 10). А вот элегантное итальянское стенное покрытие при внимательном рассмотрении оказалось неправильным разбиением с простыми узлами, хотя и похоже на некоторые разбиения с рис. 4.
В чем причина столь малого распространения полуправильных разбиений (5 из 8) и разбиений на равные полигоны (1 из 15) в покрытиях керамической плиткой? Скорее всего, в относительной сложности изготовления и сборки по сравнению с правильными разбиениями. Самое частое 2-разбиение (482) — единственное, не содержащее мелких треугольников, а 8-угольник, образующий каркас разбиения, получается технологически простым обрезанием вершин квадрата. По-видимому, отсутствующие разбиения следует искать в ковровых изделиях и произведениях дизайна.
Заключение
Нетривиальным результатом оказалось то, что все правильные и полуправильные разбиения суть сетчатые орнаменты [3], а именно: (36), (63), (3636), (3,122), (4,6,12) и (3464) — 6mm a/a; (44) и (482) — 4mm a:a; (33344) и (33434) — mm2 a/a; (346) — 2 a/b. Последнее имеет только поворотные оси, следовательно, энантиоморфную пару.
Бытует мнение, что законы кристаллографии очень ограничивают творчество. Это не так. Как показано выше, они лишь четко определяют законы композиции. Ослабление условий увеличивает разнообразие вариантов. Правильных разбиений плоскости — 3, полуправильных — 8 (3-разбиений — 2, 2-разбиений — 6), на равные пентагоны — 15, на равные 3-, 4-, 6-угольники (последние укладываются в 3 класса эквивалентности) и с простыми узлами — бесконечно много. Природе и дизайнерам есть из чего выбирать. А в перспективе — 3D-структуры и вершина кристаллографии — 230 пространственных (федоровских) групп симметрии.
1. Voytekhovsky Yu. L. From teaching experience. VI. Symmetry of borders. Vestnik of Geosciences, 2020, 8, pp. 28—31. DOI: 10.19110/geov.2020.8.4.
2. Voytekhovsky Yu. L. From teaching experience. VII. Subordination of symmetry groups and crystallographic criterion of harmony. Vestnik of Geosciences, 2021, 2, pp. 19—22. DOI: 10.19110/geov.2021.2.4.
3. Voytekhovsky Yu. L. From teaching experience. VIII. Grid ornaments. Vestnik of Geosciences, 2021, 7, pp. 13—18, DOI: 10.19110/geov.2021.7.2.
4. Galiulin R. V. Kristallograficheskaya geometriya (Crystallographic Geometry) Moscow: Librocom Book House, 2009, 136 pp.
5. Delaunay B. N. The theory of planigons. Izvestiya Acad. Sci. USSR, Ser. math., 1959, 23, pp. 365—386.
6. Delaunay B. N., Dolbilin N. P., Shtogrin M. I. Combinatorial and metric theory of planigons. Proc. Math. Inst. Acad. Sci. USSR, 1978, 148, pp. 109—140.
7. Shubnikov A. V. On the crystal structure. Izvestiya Acad. Sci., Ser. 6, 1916, 10, 9, pp. 755—779.
8. Kershner R. B. On paving the plane. Amer. Math. Monthly, 1968, 75, pp. 839—844.
9. Laves F. Ebenteilung und Koordinationszahl. Zeitschr. Kristallogr., 1931, 78, pp. 208—241.
10. Schattschneider D. Tiling the plane with congruent pentagons. Math. Mag., 1978, 51, pp. 29—44.
