employee
The research was carried out with the aim of mathematical modeling of the process of filtering finely dispersed non-Newtonian suspensions in intermittent pre-wash filters. The power-law fluid model is used to describe the rheological state of the medium. At the beginning of the filtration cycle, a layer of auxiliary material is washed, which is used as a filtering partition. A finely dispersed suspension during the filtration process forms a second layer, as it grows, the resistance to the flow of the liquid phase increases. The filtration cycle ends after reaching the critical values of pressure or productivity, depending on the operating mode of the device. Filtration equations are written in a cylindrical coordinate system separately for each layer. At the interface between the layers, pressure and velocity jumps arising due to the difference in porosity are taken into account. To calculate the thickness of the formed sediment layer, a differential equation was built. It is shown that the constructed mathematical model can be used to calculate the filtration of suspensions with a linear model of the rheological state, if the passage to the limit is performed. It is also shown that after passing to the limit, the results of the work allow modeling the process of filtering non-Newtonian media in plate-type filters. Numerical calculations are carried out for the filtration mode with a constant speed. The regularities of the effect of equivalent viscosity, the degree of medium nonlinearity, as well as the initial concentration of the dispersed phase on the filtration process were studied. It is shown that with an increase in these parameters, the pressure limit in the apparatus reaches earlier, which will lead to a reduction in the filter cycle time.
priming filter, power model liquid, suspension filtering, sediment layer
Введение. Фильтрование жидкостей с тонкодисперсными примесями встречается во многих отраслях народного хозяйства [1, 2, 3]. В качестве примера можно назвать проблему восстановления технических масел, подготовку технической воды промышленности, очистку масел растительного происхождения и сгущения фруктовых соков в пищевой промышленности. Одним из методов фильтрования тонкодисперсных суспензий является использование вспомогательных фильтрующих материалов. Вспомогательный фильтрующий материал может быть добавлен в исходную суспензию с целью повышения проницаемости слоя образуемого осадка. Тогда рассматривается процесс фильтрования трехфазной гетерогенной среды. Вспомогательный фильтрующий материал может быть использован в качестве фильтрующей перегородки. В этом случае он намывается отдельно в виде нижнего слоя в начале цикла фильтрования. Тонкодисперсная суспензия фильтруется через нижний слой, образуя слой тонкодисперсных частиц. При этом возникает задача расчета фильтрации среды через двойной слой осадка, когда толщины верхнего слоя является переменной величиной. В настоящее время изучение процесса фильтрования неньютоновских сред с тонкодисперсными частицами на многослойных проницаемых подложках остается актуальной задачей [4, 5, 6].
Цель исследований - математическое моделирование и численный расчет процесса фильтрования тонкодисперсных неньютоновских суспензий, подчиняющихся степенной модели реологического состояния среды, в намывных фильтрах периодического действия.
Условия, материалы и методы. Многие аномально вязкие среды хорошо описываются моделью степенной жидкости. При этом обобщенное уравнение фильтрации имеет вид [7, 8, 9]
(1)
В данном уравнении параметр n указывает на степень нелинейности среды. При значении n=1 получаем классическое уравнение фильтрации Дарси. Через коэффициенты Ki – обозначены проницаемости слоев пористого осадка. Величина Ψ называется эквивалентной вязкостью. Она зависит не только от реологических параметров жидкости, но и от пористости и проницаемости соответствующих слоев осадка. Для вычисления эквивалентной вязкости известны разные формулы, которые справедливы при определенных диапазонах изменения скорости и конкретных моделей пористой среды [9].
Существуют разные конструкции намывных фильтров периодического действия – пластинчатые, трубчатые [10, 11, 12]. Возможны разные режимы их работы: фильтрование при постоянной разности давлений, фильтрование при постоянной скорости, а также фильтрование при переменных разности давлений и скорости. В этих аппаратах предварительно намывается нижний фильтрующий слой с достаточно высокой проницаемостью, через которого фильтруется тонкодисперсная суспензия. По мере увеличения толщины второго слоя возрастает сопротивление, оказываемое
потоку жидкой фазы. В режиме фильтрования при постоянной разности давлений уменьшается производительность, в режиме фильтрования при постоянной скорости увеличивается разность давлений. После достижения их предельных значений цикл работы аппарата прекращается. Далее выполняется промывка фильтрующего элемента, и далее цикл повторяется заново.
Результаты и обсуждение. Пусть на поверхности трубчатого фильтра образован слой вспомогательного материала толщины δ = const. В процессе фильтрования тонкодисперсной суспензии происходит накопление второго слоя осадка h(t). Уравнения фильтрации (1) для соответствующих слоев в цилиндрической системе координат имеют вид
(2)
(3)
Запишем уравнения сохранения массы
(4)
(5)
Для решения уравнений фильтрации и сохранения массы необходимо задавать граничные условия. В рабочей зоне фильтра создается давление P, которое определяется с учетом режима работы аппарата. В математической модели это давление задается на поверхности верхнего слоя осадка
(6)
На границе раздела двух слоев задаются условия сшивания для давления и скорости. Поскольку пористости разных слоев осадка различаются, на границе раздела произойдет скачкообразное изменение давления и скорости фильтрации. Эти условия могут быть записаны в виде [13]
(7)
где εδ, εh- пористости нижнего и верхнего слоев осадка.
На поверхности фильтрующего трубчатого элемента задается выходное давление
(8)
Решение системы уравнений (2), (3), (4) и (5) при заданных граничных условиях (6), (7), (8) не представляют труда. После интегрирования уравнения (4) имеем
(9)
После подстановки зависимости (9) можно проинтегрировать уравнения фильтрации (2)
Постоянного интегрирования С2 определим из условия (8). Тогда последнее соотношение примет вид
Отсюда найдем
(10)
Аналогично проинтегрируем уравнения (3) и (5). Если интеграл уравнения (5) представим в виде
то решения уравнения (3) ,с учетом граничного условия (6), запишется так
(11)
Условие сшивания скоростей εhVh=εδVδ на границе r=R+δ дает зависимость εhC3=εδC1. При этом постоянная интегрирования C3 выражается через константу C1 в виде:
Тогда зависимость (11) можно представить следующим образом
(12)
Полученные соотношения для давлений (10) и (12) должны выполнять граничное условие (7), с помощью которого определяется постоянное интегрирования С1. После определения С1, в результате несложных преобразований, для расчета скоростей фильтрации окончательно получим
(13)
(14)
Уравнения (13), (14) позволяют вычислять скорость фильтрации сплошной фазы суспензии в аппаратах трубчатого типа. Полученные уравнения могут быть преобразованы для расчета фильтровальных аппаратов пластинчатого типа. Для этого необходимо выполнить предельный переход R→∞. Предварительно проведем необходимые преобразования.
Несложно показать, что
Выполним предельный переход R→∞, используя замечательный предел
после замены переменных 1/R=x или 1/(R+δ)=x. С учетом того, что при условии R→∞ имеет место предел r/R→1, получим
Тогда, уравнение (13) для фильтровальных аппаратов пластинчатого типа примет вид
(15)
а уравнение(14) остается в силе.
Если фильтруемая среда подчиняется линейному реологическому закону состояния, то уравнения (13) также необходимо преобразовывать, используя предельный переход n→1. С помощью замечательного предела
можно показать, что имеет место равенства
Тогда уравнение (13) преобразуется к виду
(16)
Построим уравнение для расчета толщины слоя осадка. При заданной концентрации дисперсных частиц άT, их приток на элементарную площадку ∆S=(R+δ+h)∆l составляет
Продифференцируем данное соотношение с учетом условия (1-άT)V=εhVh на границе осадок-суспензия
(17)
С другой стороны за время ∆t объем слоя осадка на единичной площадке ∆S изменится на величину ∆q=(1—εh)∆S∆h
Разделим обе части данного равенства на ∆t и выполним предельный переход ∆t→0:
(18)
Приравнивая правых частей соотношений (17) и (18), для расчета изменения толщины верхнего слоя осадка получим дифференциальное уравнение
(19)
Построенное уравнение решается с начальным условием h=0 при t=0.
Численные расчеты по построенным математическим моделям были проведены в безразмерных переменных
где V* - характерная скорость, которая вычисляется через число Рейнольдса. В частности, после перехода к безразмерным переменным, уравнение (13) примет следующий вид (знаки тильда ~ опущены)
,
где
При этом вид уравнения (19) не изменится.
Некоторые результаты расчетов, для режима фильтрования с постоянной скоростью, приведены на рисунках 1-3. В режиме фильтрования с постоянной скоростью, по мере увеличения толщины осадка, происходит возрастание давления в аппарате.
На процесс фильтрации сильно влияют реологические параметры суспензии Ψi и n. Эквивалентная вязкость среды обратно пропорциональна числу Рейнольдса Re. На рис. 1 показано влияние параметра Re на интенсивность возрастания давления. Как видим, более интенсивный рост давления наблюдается при малых значениях числа Re. Следовательно, при увеличении эквивалентной вязкости среды, предельное значение давления в аппарате достигает раньше, что приведет к сокращению времени фильтровального цикла. Влияние степени нелинейности среды n показано на рис. 2. При увеличении этого параметра давление в аппарате растет быстрее, следовательно, сокращается время достижения критического давления.
При фильтровании суспензий с повышенной концентрации нарастание слоя осадка происходит более интенсивно. В результате этого быстрее растет давление в аппарате и сокращается длительность фильтровального цикла (рис.3).
Выводы. Построена математическая модель фильтрования тонкодисперсных суспензий, подчиняющихся степенной модели реологического состояния среды, в намывных фильтрах периодического типа. Для режима фильтрования с постоянной скоростью приведены результаты численных расчетов. Установлены закономерности влияния эквивалентной вязкости, степени нелинейности среды, а также исходной концентрации дисперсной фазы, на длительность фильтровального цикла.
.
1. Akhmadiev FG, Farakhov MI, Bekbulatov IG, Isyanov ChKh. [Mathematical modeling of filtering process of two-phase suspensions in tubular filters under non-isothermal conditions]. Teoreticheskie osno-vy khimicheskoi tekhnologii. 2016; Vol.50. 1. 44 p.
2. Ibyatov, R. I. On modeling random processes in the agro-industrial complex / R. I. Ibyatov, B. G. Ziganshin // Bulletin of the Kazan State Agrarian University. – 2022. – T. 17. – № 1(65). – Pp. 50-55.
3. Bagaiskov YuS. [Development of the composition of the composite material of tubular filters for the purification of technical liquids]. Tekhnologiya mashinostroeniya. 2013; 6. 41-43 p.
4. Bulyshev EM, Khudobin LV. [High-performance pre-wash filters]. Vodoochistka. 2019; 6. 51-62 p.
5. Ibyatov RI, Kholpanov LP, Akhmadiev FG. [The flow of a multiphase medium over a permeable surface with the formation of sediment]. Inzhenerno-fizicheskii zhurnal. 2005; 2. 65-72 p.
6. Ibyatov RI, Kholpanov LP, Akhmadiev FG, Bekbulatov IG. [Mathematical modeling of the flow of a multiphase heterogeneous fed through a permeable pipe]. Teoreticheskie osnovy khimicheskoi tekhnologii. 2005; 5. 533-541 p.
7. Yu. F. Lachuga, R. I. Ibyatov, B. G. Ziganshin. Modeling of the grain movement trajectory by the working body of a pneumomechanical husker // Russian agricultural science. – 2020. – No. 4. – pp. 73-76.
8. Zhukov VG, Chesnokov VM, Lukin ND. [Obtaining the cumulative function of the specific surface area of porous media from a given histogram of the frequency distribution of pore sizes]. Dostizheniya nauki i tekhniki APK. 2019; Vol. 33. 11. 82-87 p.
9. Bernadiner MG, Entov VM. . Gidrodinamicheskaya teoriya fil'tratsii anomal'nykh zhidkostei. [Hydrodynamic theory of filtration of anomalous liquids]. Moscow: Nauka. 1975; 200 p.
10. Balashov VA, Tyabin NV. Teoreticheskie os-novy khimicheskoi tekhnologii. [Filtration of non-Newtonian liquids subject to a power rheological law]. 1989; 6. 844-846 p.
11. Sevins Dzh. Nen'yutonovskoe techenie v poristoi srede. [Non-Newtonian flow in a porous medium]. Mekhanika: Sbornik perevodov. Moscow: Mir. 1974; Issue 2. 59-115 p.
12. Gol'dshtik M.A. Protsessy perenosa v zernistom sloe. [Transfer processes in a granular layer]. Novosibirsk. 1984; 164 p.
13. Yu. F. Lachuga, R. I. Ibyatov, Yu. Kh. Shogenov // Method of calculating the trajectory of grain movement in a pneumomechanical husker // Russian Agricultural Science. – 2021. – No. 6. – pp. 64-67.
