Введение
Механические и электромагнитные явления и процессы во многих случаях математически изоморфны [1, 2]. Это дает возможность обобщать достижения одной научной специальности на другую. В этом смысле представляет интерес циклотронное движение электрического заряда [3, 4], которое характеризуется фиксированной частотой вращения. Это следует из баланса сил.
Здесь q – величина электрического заряда, v – тангенциальная скорость заряда, B – магнитная индукция, m – масса заряженной частицы, r – радиус циклотронного движения, ω – частота вращения.
Частота действительно не зависит ни от скорости, ни от радиуса.
Ключевым обстоятельством для возможности обобщения циклотронного движения на механику является то, что лагранжиан электрона, движущегося поперек постоянного магнитного поля, вдвое больше его кинетической энергии.
Здесь v – тангенциальная скорость заряда в векторной форме записи.
Векторный потенциал магнитного поля равен
При этом
Второе слагаемое равно
Целью работы является нахождение механического аналога циклотронного движения и определение схемы соответствующего устройства, которое уместно назвать cтабилизированным ротатором.
Тема стабилизации вращения является актуальной [5–7].
Материалы, модели, эксперименты и методы
Неизменность частоты циклотронного движения обусловлена равенством кинетической и потенциальной (в терминах «макромеханики») энергий электрона.
Это обстоятельство является основанием для предположения о том, что обеспечение такого же равенства в механической системе также может привести к неизменности ее частоты вращения.
Перечень необходимых материалов также вытекает из указанного обстоятельства. Для запасания кинетической энергии требуется груз с возможностью движения, а для потенциальной – пружина.
Для решения задач настоящего исследования кроме этого используются методы синтеза и анализа механических систем, включая исследование их кинематики и динамики с применением традиционного математического аппарата.
Результаты
Синтез стабилизированного ротатора. В соответствии с характером циклотронного движения и, соответственно, ротатора, необходимо имеет место радиус вращения (r) и циклическая частота (ω).
Из равенства энергий следует
Здесь
Неизменность циклической частоты обеспечивается очевидным ключевым условием
Установленные необходимые обстоятельства определяют принципиальную схему cтабилизированного ротатора, которая представлена на рисунке.
Собственная частота вращения cтабилизированного ротатора
строго фиксирована (не зависит ни от момента инерции, ни от момента импульса) и замечательным образом совпадает с собственной частотой колебаний маятника с идентичными параметрами [8].
Рисунок. Стабилизированный ротатор
Fig. Stabilized rotator
Кинематика стабилизированного ротатора. Момент импульса стабилизированного ротатора равен
Здесь J – момент инерции,
– волновой реактанс [9].
При изменении момента импульса изменяется радиус и тангенциальная скорость (частота вращения при этом не меняется и равна собственной).
Положению груза, при котором его центр масс совпадает с осью вращения, соответствует состояние неопределенного равновесия. При вращении груз равновероятно может отклониться в любую из двух сторон и, соответственно, может развиваться как сжатие, так и растяжение пружины.
Состояние неопределенного равновесия можно исключить, обеспечив начальное (статическое) смещение груза r0 и равную ему начальную деформацию пружины.
Динамика стабилизированного ротатора. При раскручивании преднапряженного ротатора до частоты ω0 центробежная сила
За время t0 при постоянном вращающем моменте М ротатор достигнет частоты вращения ω0.
При дальнейшем нагружении стабилизированного ротатора вращающим моментом его динамика (нелинейный участок) описывается системой двух дифференциальных уравнений – вращательного и поступательного (радиального)
Трение здесь не учитывается.
Начальные условия:
Из системы уравнений и начальных условий следует
Таким образом, частота вращения cтабилизированного ротатора и радиус представимы в виде:
Вопрос о сходимости рядов здесь не рассматривается.
Смысл последних двух уравнений состоит в иллюстрации нелинейности динамики cтабилизированного ротатора при нагружении его постоянным вращающим (тормозящим) моментом.
Подобно тому как при вынужденных колебаниях маятника частота не совпадает с собственной частотой, частота вращения cтабилизированного ротатора при нагружении не совпадает с собственной частотой вращения.
Из (27) следует, что чем меньше момент М и больше m и r0, тем меньше отклонение частоты вращения ω от собственной ω0.
Второе замечательное свойство стабилизированного ротатора. (Первым является фиксированная собственная частота вращения (9) и ее совпадение с собственной частотой колебаний маятника).
При вынужденном вращении cтабилизированного ротатора с постоянной частотой
(a – безразмерный коэффициент) его радиальная динамика определяется уравнением
В зависимости от значения а возможны три варианта.
1. При
Таким образом, стабилизированный ротатор доставляет возможность управлять собственной частотой колебаний радиального осциллятора.
2. При
Колебания не происходят.
3. При
Колебания не происходят.
Затухание колебаний в стабилизированном ротаторе принципиально не отличается от затухания в обычном маятнике [10].
Выбег ротатора в стабилизированном режиме. Минимальная полная энергия стабилизированного ротатора в стабилизированном режиме соответствует статическому смещению груза r0.
Максимальная полная энергия теоретически не ограничена, а практически определяется конструктивно установленным максимальным радиусом rm.
Пусть средняя за выбег мощность диссипативных потерь равна Р.
Тогда время выбега составит
Очевидно, что чем меньше Р, тем меньше отклонение частоты вращения ω от собственной ω0.
Обсуждение/Заключение
Заявленная цель работы достигнута. Механический аналог циклотронного движения определен. Им является cтабилизированный ротатор, обладающий фиксированной частотой вращения, не зависящей от момента импульса и момента инерции.
Аналогия между циклотронным движением и вращением cтабилизированного ротатора заключается в том, что в стационарных режимах они оба характеризуются фиксированной частотой вращения.
Другими особенностями cтабилизированного ротатора являются идентичность формулы частоты вращения формуле частоты пружинного маятника, равенство кинетической и потенциальной энергий и вытекающее из этого равенство радиуса вращения груза величине деформации пружины.
Стабилизированный ротатор может использоваться для управления собственной частотой колебаний радиального осциллятора, хотя в этом качестве он может иметь сильную конкуренцию со стороны мехатронных систем.
Напротив, в качестве стабилизатора вращений его конкурентные возможности неоспоримы и определяются предельной простотой конструкции.
