employee
Kurgan, Kurgan, Russian Federation
UDK 62-118 Машины с кривошипным механизмом
BBK 344 Общее машиностроение. Машиноведение
In a monoreactive harmonic oscillator, inert elements can make free sinusoidal oscillations, which are accompanied by the transformation of one inert element kinetic energy into the kinetic energy of another inert element. In this condition the energy of the first inert element is zero. At the same time, the energy of the second element has the maximum value. At the next moment of time, the first element acquires acceleration due to the kinetic energy of the second element, the speed of which begins to decrease. In a classical oscillator, free sinusoidal oscillations are accompanied by an exchange of energy between its elements having the opposite reactivity character. In a spring pendulum, the potential energy of an elastic element is transformed into the kinetic energy of an inert element and vice versa. These elements have the opposite character of reactivity. In an electric oscillatory circuit, the energy of the coil magnetic field is transformed into the energy of the condenser electric field and vice versa. These elements also have the opposite character of reactivity. There are also oscillators in which free sinusoidal oscillations are accompanied by the transformation of the kinetic energy of an inert element or the potential energy of an elastic element into the energy of the coil magnetic field or the energy of the capacitor electric field and vice versa. Free sinusoidal oscillations can occur during the mutual transformation of any physical types of energy.This circumstance is the motive to make an oscillator, in which free sinusoidal oscillations are accompanied by the transformation of the kinetic energy of an inert element into the kinetic energy of another inert element. There are no elements with a different reactivity character in such an oscillator. This type of an oscillator is essentially monoreactive.
pendulum, oscillations, energy exchange, monoreactive, phase, displacement, speed, acceleration
Введение
В классических осцилляторах свободные синусоидальные колебания сопровождаются обменом энергии между его элементами, имеющими противоположный характер реактивности [1, 2].
В пружинном маятнике потенциальная энергия упругого элемента трансформируется в кинетическую энергию инертного элемента и обратно. Эти элементы имеют противоположный характер реактивности.
В электрическом колебательном контуре энергия магнитного поля катушки трансформируется в энергию электрического поля конденсатора и обратно. Эти элементы тоже имеют противоположный характер реактивности.
Известны осцилляторы, в которых свободные синусоидальные колебания сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента или потенциальной энергии упругого элемента в энергию магнитного поля катушки или энергию электрического поля конденсатора и обратно [3].
Все указанные колебательные системы по существу являются биреактивными, а именно: m-k, L-C, m-L, m-C, k-L, k-C.
Свободные синусоидальные колебания могут возникать при взаимной трансформации каких угодно физических видов энергии [4].
Это обстоятельство является побудительным мотивом создания осциллятора, в котором свободные синусоидальные колебания сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента в кинетическую же энергию другого инертного элемента. Элементы с другим характером реактивности в таком осцилляторе отсутствуют.
Такой осциллятор по существу является монореактивным, а именно: m-m.
Актуальность работы обусловлена тем, что механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [5–9].
Материалы, модели, эксперименты и методы
Синтез осциллятора производится на основе трех предпосылок [10].
Первое. Осциллятор состоит из двух одинаковых по массе грузов.
Второе. Грузы совершают синусоидальные перемещения
,
.
Здесь – перемещения инертных элементов,
– амплитуда,
– изменяющаяся фаза колебаний,
– начальные фазы колебаний.
Третье. Суммарная энергия осциллятора со временем не изменяется
.
Из второй и третьей предпосылок следует
,
.
Из второго выражения следует, что
.
Эта формула дает возможность определить конфигурацию монореактивного гармонического осциллятора, которая представлена на рисунке.
Допущения. К инертным элементам внешние силы не приложены. Масса соединительного элемента равна нулю. Потери на трение отсутствуют.
Рисунок. Монореактивный гармонический осциллятор
Fig. Monoreactive harmonic oscillator
Результаты
В соответствии с рисунком перемещения инертных элементов имеют вид:
, (1)
. (2)
Текущая фаза наилучшим образом подходит на роль обобщенной координаты.
Рассматриваемая механическая система обладает одной степенью свободы, поэтому, соответственно, уравнение Лагранжа второго рода принимает следующую форму:
.
Так как активные силы равны нулю, то обобщенная сила тоже равна нулю
.
Суммарная кинетическая энергия системы равна
.
Отсюда следует
,
,
.
Это дифференциальное уравнение имеет элементарное решение
,
.
Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся с учетом начальных условий
,
.
Отсюда следует
,
.
С учетом установленных величин перемещения инертных элементов (1) и (2) приобретают вид:
,
.
Если исходное положение первого инертного элемента равно
,
то
,
.
Если исходная скорость второго инертного элемента равна
,
то
,
.
С учетом полученных выражений перемещения инертных элементов и их скорости можно записать в виде:
,
,
,
.
Обсуждение/Заключение
В монореактивном (m-m) гармоническом осцилляторе инертные элементы могут совершать свободные синусоидальные колебания, которые сопровождаются трансформацией кинетической энергии инертного элемента в кинетическую же энергию другого инертного элемента.
В положении, при котором энергия первого инертного элемента равна нулю. При этом энергия второго элемента имеет максимальное значение. В следующий момент времени первый элемент приобретает ускорение за счет кинетической энергии второго элемента, скорость которого начинает уменьшаться.
1. Popov IP. Reactances and susceptance of mechanical systems. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2021;70: 64–75. doi 10.17223/19988621/70/6.
2. Popov IP. Symbolic representation of forced oscillations of branched mechanical systems. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 2021;72:118–130. doi 10.17223/19988621/72/10
3. Popov IP, Paryshev DN, Iltyakov AV, Moiseev OYu, Mosin AA, Kharin VV. Spontaneous capacitive-inert oscillations in systems of railway automation and telemechanics. Transport of the Urals. 2019;2(61):45-48. doi: 10.20291/1815-9400-2019-2-45-48.
4. Popov IP. Flywheel for machines with weight restrictions. Transport Engineering. 2022;7(7):19–23.doi: 10.30987/2782-5957-2022-7-19-23.
5. Evseev DG, Sarychev YuN, Bespalko SV. Mathematical model of the car shock absorber based on viscous friction. Transport Engineering. 2022;1-2(1-2):89-95.doi: 10.30987/2782-5957-2022-01-02-89-95.
6. Evseev DG, Sarychev YuN, Bespalko SV. Study of vibrations of a passenger car equipped with elastomeric dampers. Transport Engineering. 2022;6(6):30-41. doi: 10.30987/2782-5957-2022-6-30-41.
7. Shchetinin VS, Sablin PA. Interaction of spatial oscillations with roughness of surface worked by example of turning. Bulletin of Bryansk State Technical University. 2021;1(98):4-9. doi: 10.30987/1999-8775-2021-1-4-9.
8. Gasparov ES, Gasparova LB, Markosyan GA. Vibratory activity investigation of grinding machine electric spindles. Bulletin of Bryansk State Technical University. 2021;6(103):23–29. doi: 10.30987/1999-8775-2021-6-23-29.
9. Skachkov AN, Vasilevskiy VV, Yukhnevsky AA. Calculation-experimental method for definition of lowest frequency in bending vibrations of coach car body in vertical plane based on identification of its bending stiffness. Bulletin of Bryansk State Technical University. 2020;9(94):35-46. doi: 10.30987/1999-8775-2020-9-35-46.
10. Malinkovich MD. Synthesis of some transfer mechanisms. Bulletin of Bryansk State Technical University. 2005;2(6):69–73.
