The Laue diffraction theory of X-ray microbeams in multilayers (MLs) has been developed. The solution for calculating Xray reciprocal space maps has been obtained. The pendulum (Pendellösung) effect for perfect and imperfect MLs has been demonstrated. The numerical simulation of Laue diffraction in Mo/Si multilayers with boundary conditions in the case of geometrical optics and the Fresnel approximation has been carried out. For X-ray microbeams, the scattering at the edges of collimators and slits of the diffractometer should be taken into account.
Laue diffraction, X-ray beams, Pendellösung effect, multilayer structures
Введение
Многослойные структуры (МС) применяются в установ-
ках синхротронного излучения для транспортировки рент-
геновских пучков, фокусирования излучения, при экстре-
мальной ультрафиолетовой литографии (EUVL) и в астро-
номии. Преимущественно МС выполняют функции отража-
телей скользящего рентгеновского излучения. Для фокуси-
ровки жестких рентгеновских лучей предложено создать
многослойные Лауэ линзы [1]. Теоретические основы рент-
геновской дифракции такими линзами описаны в [2]. Из-
готовление многослойных Лауэ линз представляет собой
сложную задачу, и первым шагом в этом направлении яв-
ляется изучение Лауэ-дифракции в МС с постоянным пе-
риодом [3]. Поэтому в данной работе рассмотрена теория
Лауэ-дифракции рентгеновских микропучков в МС с ис-
пользованием формализма для пространственно-ограни-
ченных рентгеновских полей [4, 5].
1. Динамическая Лауэ-дифракция ограничен-
ных рентгеновских пучков в мультислое
Рассмотрим динамическую Лауэ-дифракцию рентге-
новских лучей в секционированном мультислое с постоян-
ным периодом d (рис. 1). Введем декартову систему коорди-
нат: ось z направим вдоль облучаемой поверхности МС, а
ось x — нормально к ней. На пути распространения исход-
ной плоской волны на расстоянии LS1 от поверхности МС
расположен пространственный ограничитель S1 (коллима-
тор, щель), который выделяет микропучок шириной w1, па-
дающий на поверхность МС под углом θ = θB+ω, где ω —
малый угол отклонения. Амплитуду излучения на входной
поверхности обозначим через E(in)
0 ; амплитуду проходя-
щей и дифракционной волн на выходной поверхности МС
обозначим E0 и E1 соответственно. Дифракционная ин-
тенсивность регистрируется позиционно-чувствительным
детектором (PSD), расположенным на расстоянии LPSD от
выходной поверхности МС.
Уравнения дифракции рентгеновских лучей в про-
странственно-периодических структурах [4, 5], с учетом
граничных условий Лауэ-дифракции, дают решение для
амплитуды дифракционного микропучка в обратном про-
странстве
E0(qx, qz) =
exp(iψLx)
2π
F0(qx, qz)
E1(qx, qz) = i
a1f exp(iψLx)
2π
F1(qx, qz),
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 89
F0 =
∞ Z
−∞
cos(
Lxξ
2
) − i
ζ sin(Lxξ
2 )
ξ/2
!
ˆ Yin(κ)dκ
F1 =
∞ Z
−∞
sin(Lxξ
2 )
ξ/2
ˆ Yin(κ) ˆ Yex(κ − qz)dκ,
(1)
где ξ = −
p
ζ2 + 4fa1a−1, ζ = qx − (qz − 2κ) tan θB,
a0 = πχ0/(λ cos θB), a1 = Cπχ1/(λ cos θB), a−1 =
a1, θB — угол Брэгга, λ — длина волны рентгеновского
излучения в вакууме, C — поляризационный фактор, f —
фактор затухания, зависящий от дефектов в МС.
Рисунок 1. Схема Лауэ-дифракции в мультислое глубины Lx и толщи-
ны Lz: w1,2 — поперечная ширина падающего и выходящего пучков;
L(in),(ex)
z — проекции на ось z (направлена вдоль входной грани) по-
перечной ширины пучка для падающего излучения и для вышедшего из
мультислоя соответственно; LS1 — расстояние от щели S1 до входной
грани мультислоя (x = 0); LPSD — расстояние от выходной грани
(x = Lx) до позиционно-чувствительного детектора PSD.
Figure 1. Laue diffraction scheme in a multilayer structure withLx depth and
Lz thickness: w1,2 — cross-section width of incident and output beams;
L(in),(ex)
z — cross-section projections of incident and the output beams
onto the z axis (directed along the input face), respectively; LS1 — a distance
from a S1 slit to the multilayer’s input face (x = 0); LPSD — a
distance between the output face (x = Lx) and the position-sensitive detector
PSD.
Если период МС, как на рис. 1, образован бислоем вида
d = dt+db, то Фурье коэффициенты рентгеновской поля-
ризуемости χ0,1 в направлении прохождения и дифракции
равны
χ0 =
χtdt + χbdb
d
,
χ1 =
χt − χb
π
sin
πdt
d
.
Здесь χt,b и dt,b — Фурье коэффициенты поляризуемостей
и толщины верхнего (t) и нижнего (b) слоев.
Распределение интенсивности рентгеновских волн в
обратном пространстве при трехосевой схеме регистрации
зависит от угловых положений образца ω и анализатора
ε [6, 7]. В симметричной геометрии Лауэ эти углы связа-
ны с проекциями отклонения вектора дифракции от век-
тора обратной решетки в горизонтальном и вертикальном
направлениях соотношениями qx = k sin θB(2ω − ε) и
qz = −k cos θBε. Множитель ˆ Yin(κ) в интеграле (1) выра-
жает граничные условия дифракционной задачи на вход-
ной поверхности МС и имеет вид
ˆ Yin(κ) = P(κ,LS1)
sin(κ
2L(in)
z )
κ
2
, (2)
где L(in)
z = w1/ cos θB — ширина области на входной
поверхности МС, засвечиваемая падающим микропучком;
P(κ,LS1) — пропагатор поля рентгеновской волны в Фу-
рье пространстве [8], который в приближении Френеля ра-
вен
P(κ,LS1) = exp
−iλ
LS1κ2
4π cos2 θB
.
Второй множитель
ˆ Yex(κ−qz) = P(κ−qz,LPSD)
sin
κ−qz
2 L(ex)
z
κ−qz
2
(3)
является коэффициентом пропускания дифракционной
волны в Фурье пространстве. Он зависит от ширины отра-
женного рентгеновского пучка L(ex)
z и выражается через
пропагатор
P(κ − qz,LPSD) = exp
−iλ
LPSD(κ − qz)2
4π cos2 θB
!
,
описывающий распространение рентгеновского излучения
от выходной поверхности МС до PSD. Важно отметить,
что в приближении геометрической оптики пропагаторы
P(κ,LS1) и P(κ − qz,LPSD) равны единице.
Окончательное выражение для дифракционной интен-
сивности в обратном пространстве, регистрируемой PSD
при рассеянии ограниченного фронта рентгеновской вол-
ны в МС, запишется как
I1(qx, qz) = |E1(qx, qz)|2. (4)
Решения (1) с учетом (4) являются основными соотношени-
ями для расчета карт рассеяния в обратном пространстве
(RSM).
2. Численное моделирование
Выполним численное моделирование углового распре-
деления интенсивности рассеяния рентгеновских лучей от
МСMo/Si. Структурные параметры МС и характеристики
падающего синхротронного излучения соответствуют па-
раметрам и условиям работы [3]. Длина волны падающе-
го синхротронного излучения λ = 0.1305 нм, период МС
d = dMo + dSi = 7 нм, dMo = dSi = 3.5 нм, угол Брэг-
га θB = 2.25 мкрад. Оптические константы компонент МС
получены с помощью онлайн сервиса рентгеновского сер-
вера [9].
Динамическая Лауэ-дифракция рентгеновских лучей в
МС сопровождается маятниковым эффектом (Pendellösung
effect), когда интенсивность рентгеновского пучка прохо-
дящей волны перекачивается в дифракционный и далее,
90
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
с увеличением глубины, наоборот, интенсивность дифра-
гированной волны передается в направление проходяще-
го. При выполнении точного условия Брэгга выражения ин-
тенсивности для проходящей и дифракционной рентгенов-
ских волн в МС равны
I0(x) = e
−μ0x
cos2 (far
1x) + sinh2
fai
1x
,
I1(x) = e
−μ0x
sin2 (far
1x) + sinh2
fai
1x
,
ar
1 =
Cπχr
1
λ cos θB
, ai
1 =
Cπχim
1
λ cos θB
,
(5)
где μ0 = 2 Im(a0) — линейный коэффициент по-
глощения, lPen — период маятниковых осцилляций, ко-
торый в симметричной геометрии Лауэ равен lPen =
λ |cos θB| /C/|χ1|. При малых углах Брэгга cos θB ≈ 1,
период маятниковых осцилляций обратно пропорционален
Фурье коэффициенту рентгеновской поляризуемости χ1.
Для рассматриваемого МСMo/Si и длины волны рентге-
новского пучка λ = 0.1305 нм период маятниковых коле-
баний равен lMoSi
P = 38.2 мкм.
На рис. 2 представлены распределения интенсивно-
сти проходящей и дифракционной волн по глубине, иллю-
стрирующие маятниковый эффект при соблюдении точно-
го условия Брэгга: пунктирными линиями показаны резуль-
таты в совершенном МС с фактором затухания f = 1, а
сплошными линиями — в дефектном с f = 0.8. Толщина
МС составляет Lx = 2 lPen = 76.4 мкм, что соответ-
ствует двум полным периодам маятниковых осцилляций.
Рис. 2 (a) показывает, что при распространении рентгенов-
ского пучка в МС интенсивность проходящей волны пере-
качивается в дифракционную. На глубине x = 19.1 мкм,
отвечающей половине маятникового периода, проходящая
волна переходит полностью (с поправкой на фотоэлектри-
ческое поглощение) в дифракционную, которая достигает
здесь локального максимума. С дальнейшим ростом x про-
исходит обратный процесс. Рис. 2 (b) демонстрирует влия-
ние дефектов. И него следует, что наличие дефектов в МС
ведет к увеличению периода маятниковых осцилляций и
смещению взаимного положения максимумов и минимумов
интенсивностей I0(x) и I1(x). Эти изменения объясняют-
ся тем, что дефекты в МС снижают отражательную способ-
ность периодической структуры. Аналогичное влияние де-
фектов на маятниковые осцилляции наблюдается в случае
динамической Лауэ-дифракции в кристалле [10].
Зная глубину залегания максимумов и минимумов ди-
фракционной интенсивности в МС Mo/Si, приступим к
численному моделированию RSM. Расчеты выполним для
МС с секционной толщиной Lx = argmax(I1(x)) =
lMoSi
P /2 = 19.2 мкм Lx, при которой интенсивность ди-
фракционной волны достигает максимума, и с толщиной
Lx = argmin(I1(x)) = lMoSi
P = 38.2 мкм, отвечаю-
щей минимуму (рис. 2).
Результаты моделирования в рамках геометрической
оптики для МС с Lx = lMoSi
P /2 приведены на рис. 3 (a),
для МС с Lx = lMoSi
P — на рис. 3 (b). Сравнивая между со-
бой полученные карты, можно заметить, что для МС с сек-
ционной глубиной, равной полному периоду маятниковых
осцилляций, возникает расщепление главного дифракци-
(a)
(b)
Рисунок 2. Маятниковый эффект (Pendelösung effect) в совершенном (a)
и несовершенном (b) мультислоеMo/Si: кривые I0,f , I1,f — прохо-
дящая и дифракционная интенсивности в несовершенном мультислое c
фактором затухания f = 0.8; кривые I0, I1 — проходящая и дифрак-
ционная интенсивости в совершенном мультислое c фактором затухания
f = 1.
Figure 2. Pendelösung effect within perfect (a) and imperfect (b)Mo/Si
multilayers: curves I0,f , I1,f — transmission and diffraction intensities in
an imperfect multilayer with damping factor f = 0.8; curves I0, I1 —
transmission and diffraction intensities in a perfect multilayer with damping
factor f = 1.
онного пика рис. 3 (b). Данное расщепление объясняется
тем фактом, что в точных условиях Брэгга qx = qz = 0 на
глубине x = Lx = lMoSi
P основная часть дифракционной
интенсивности перекачивается в проходящий пучок, из-за
чего на RSM вблизи точки qx = qz = 0 возникает про-
вал, но поскольку I1(lMoSi
P ) не достигает нуля, то и зна-
чения интенсивности в окрестности данной точки не нуле-
вые. Однако если угол падения будет отклоняться от точ-
ного условия Брэгга, то будет меняться характер распреде-
ления маятниковых осцилляций по глубине МС, в частно-
сти сократятся амплитуда и длина периода. В результате
таких изменений интенсивность дифракционной волны в
точке x = lMoSi
P не будет соответствовать положению ми-
нимума, что повлечет рост регистрируемой интенсивности.
При определенных значениях угла ω может сложиться си-
туация, при которой там, где при точном соблюдении усло-
вия Брэгга наблюдался минимум, расположится локальный
максимум.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 91
(a)
(b)
Рисунок 3. Карты рассеяния в обратном пространстве дифракционной ин-
тенсивности синхротронного излучения с энергией 9.5 кэВ от мультислоя
Mo/Si с граничными условиями в приближении геометрической опти-
ки: (a) — Lx = lMoSi
P /2; (b) — Lx = lMoSi
P .
Figure 3. Calculated RSMs of diffraction intensity from aMo/Si multilayer
with a synchrotron radiation energy of 9.5 keV in the case of the boundary
conditions in the geometrical optics approximation: (a) —Lx = lMoSi
P /2;
(b) — Lx = lMoSi
P .
Аналогичные расчеты выполним для пространственно-
ограниченной рентгеновской волны с граничными услови-
ями в приближении Френеля. Расстояние от щели до по-
верхности МС равно LS1 = 30 мм, расстояние от выход-
ной поверхности до PSD LP = 40 мм, ширина падающего
пучка w1 ≈ Lz = 14 мкм (см. рис. 1). Результаты мо-
делирования представлены на рис. 4. Сравнивая получен-
ные RSM с картами, представленными на рис. 3, легко за-
метить, что угловые распределения интенсивности рассе-
яния рентгеновских лучей в случае геометрической оптики
и в приближении Френеля сильно отличаются. Тем не ме-
нее характерное расщепление центрального пика МС тол-
щиной Lx = lMoSi
P сохранилось.
Заключение
Таким образом, мы теоретически исследовали Лауэ-ди-
фракцию рентгеновских микропучков в секционированных
мультислоях. Как в геометрии Брэгга [4], так и для случая
Лауэ-дифракции микропучков при выполнении расчетов
RSM всегда необходимо правильно выбирать граничные
условия в приближении Френеля. Важно, что решение (1)
справедливо только для мультислоев с постоянным пери-
(a)
(b)
Рисунок 4. Карты рассеяния в обратном пространстве дифракционной
интенсивности синхротронного излучения с энергией 9.5 кэВ от мульти-
слоя Mo/Si с граничными условиями в приближении Френеля: (a) —
Lx = lMoSi
P /2; (b) — Lx = lMoSi
P ; LS1 = 30 мм и LP = 40 мм.
Figure 4. Calculated RSMs of diffraction intensity from aMo/Si multilayer
with a synchrotron radiation energy of 9.5 keV in the case of Fresnel boundary
conditions: (a) —Lx = lMoSi
P /2; (b) —Lx = lMoSi
P ;LS1 = 30 mm,
LPSD = 40 mm.
одом. При исследовании апериодических многослойных
структур необходимо численно интегрировать уравнения
рентгеновской дифракции [2].
1. Maser, J. Multilayer Laue lenses as high-resolution X-ray optics / J. Maser, G.B. Stephenson, S. Vogt, Y. Wenbing, A. Macrander [et al.] // Proceedings of SPIE. – 2004. – Vol. 5539. – P. 185–194.
2. Punegov, V.I. Vliyaniye rassoglasovaniya tolshchin sloyev na fokusirovku rentgenovskikh luchey mnogosloynymi Laue linzami [Effect of the mismatch of layer thicknesses on the focusing of X-rays by multilayer Laue lens] / V.I. Punegov // J. Exp. Theor. Phys. – 2020. – Vol. 111. – № 7. – P. 376–382.
3. Kang, H.C. High-efficiency diffractive x-ray optics from sectioned multilayers / H.C. Kang, G.B. Stephenson, C. Liu, R. Conley, A.T. Macrander [et al.] // Appl. Phys. Lett. – 2005. – Vol. 86. – P. 151109 (1–3).
4. Punegov, V.I. X-ray microbeam diffraction in a crystal / V.I. Punegov, A.V. Karpov // Acta Crystallogr. A. – 2021. – Vol. 77. – P. 117–125.
5. Punegov, V.I. Applications of dynamical theory of X-ray diffraction by perfect crystals to reciprocal space map ping / V.I. Punegov, K.M. Pavlov, A.V. Karpov, N.N. Faleev // J. Appl. Crystallogr. – 2017. – Vol. 50. – P. 1256–1266.
6. Punegov, V.I. Vysokorazreshayushchaya rentgenovskaya difraktsiya v kristallicheskikh strukturakh s kvantovymi tochkami [High-resolution X-ray diffraction in crystalline structures with quantum dots] / V.I. Punegov // Uspekhi fizicheskikh nauk [Advances in Physical Sciences]. – 2015. – Vol. 58. – P. 419–445.
7. Iida, A. Separate measurements of dynamical and kinematical X-ray diffractions from silicon crystals with a triple crystal diffractometer / A. Iida, K. Kohra, A.V. Karpov, N.N. Faleev // Physica Status Solidi (A). – 1979. – Vol. 51. – P. 533–542.
8. Kohn, V.G. Theory of imaging a perfect crystal under the conditions of X-ray spherical wave dynamical diffraction / V.G. Kohn, I. Snigireva, A. Snigirev, N.N. Faleev // Physica Status Solidi (B). – 2000. – Vol. 222. – P. 407–423.
9. Stepanov, S. Fitting dynamical X-ray diffraction data over the World Wide Web / S. Stepanov, R. Forrest // J. Appl. Crystallogr. – 2008. – Vol. 41. – P. 958–962.
10. Punegov, V.I. Vliyaniye defektov struktury na uglovoye raspredeleniye rentgenovskoy Laue-difraktsii v tonkom kristalle [Effect of structural defects on the angular distribution of x-ray Laue diffraction in a thin crystal] / V.I. Punegov, K.M. Pavlov // Pis’ma v ZhTF [Soviet technical physics letters]. – 1992. – Vol. 18. – № 6. – P. 390–391.
