The aim of the article is to study the relationship between maximum entropy methods and the concept of economic utility in the distribution of trips in a transport system
entropy, maximization methods, economic model
В последние годы все большую актуальность приобретает решение транспортных задач относительно моделирования в городской среде. Общий подход основан на концепции энтропия и принципах ее оценки [1-7]. Альтернативный вариант решения задачи лежит через концепцию экономической модели полезности (взаимосвязь между максимальной энтропией и максимальной производительностью). Целью исследования является изучение эквивалентности и взаимосвязи между этими двумя принципами в контексте распределения поездок.
Энтропийный подход распределения поездок (информационная энтропия)
Рассмотрим модель города с центральным деловым районом и набор производственных площадок {i, i = 1, 2, ..., n} и набор рабочих мест или секторов {j, j = 1, 2, ..., m} в центральном районе [8-10].
Пусть 
– количество поездок, исходящих из i-го места расположения (пункт отправления) до j-го рабочего места (пункт назначения). Тогда энтропия распределения поездок задается:
(1)
Предположим, что общее количество поездок, исходящих из объекта i, и общее число лиц, занятых на j-м рабочем месте:
(2)
Общая стоимость перевозки фиксированная:
(3)
где 
– расстояние j-го сектора в центральном районе города от i-го места расположения; 
– функция затрат.
Ограничения (2) и (3) недостаточны для определения значения
Однако этот показатель возможно оценить по максимальной энтропии. В соответствии с этим принципом, наименее смещенным будет то распределение, которое максимизирует энтропию S, заданную (1), с учетом ограничений (2) и (3). Максимальная доходность является:
(4)
где параметры
и
определяются уравнениями:
(5)
а также
(6)
Выше распределение определялось как задача теории информации. Поскольку доступная информация (или ограничения) недостаточны для однозначного определения точного распределения, возможно использование принципа максимальной энтропии. Рассмотрим построение экономической модели поведения, связанной с выбором пути поездки. Разделяют поездки в зависимости от цели. Считается, что распределение поездок является результатом некоторых решений. Так как человек старается связывать место жительства с местом приложения труда по кратчайшему маршруту, насколько это возможно при ограничениях из доступных ресурсов.
Человек, рассматривающий различные потенциальные места жительства, ассоциирует рейтинг или индекс полезности. Пусть функция плотности вероятности полезности x для конкретного места i равна
. Тогда вероятность того, что что-то в таком месте имеет полезность, равную u или больше, чем u, определяется как:
(7)
Индекс полезности включает в себя размер арендной платы (стоимости жилья), доступности учебных и медицинских учреждений, наличие газификации, электричества, отопления, водоснабжения, торговых комплексов, за исключением расстояния от центрального района. Таким образом, чистая полезность равна полезности за вычетом транспортных расходов (
), где
– расстояние i-го сектора от j-го рабочего места в центральном районе города, а 
– коэффициент преобразования расстояния в полезность.
Человек всегда пытается максимизировать чистую полезность. Поскольку финансовые возможности населения различны, то выбор может быть сделан в пользу жилья с удовлетворительным уровнем полезности s, так что:
или
(8)
Если
– общее количество предложений жилья в i-м секторе на расстоянии от j-го рабочего места, то вероятность проживания человека на этом уровне равна:
(9)
Если общее количество лиц, занятых на j-м рабочем месте в центральном районе города, равно
, то:
(10)
Сравнивая (4) и (10), замечаем, что:
или
(11)
Таким образом, всегда можно найти такую стоимость, при которой максимизация энтропии и полезности становятся эквивалентными. Проиллюстрируем эквивалентность конкретными примерами, найдя соответствующие функции стоимости.
Сначала предположим, что распределение полезности является отрицательной экспонентой:
(12)
Тогда из (10):
Два метода приводят к одному и тому же типу распределения, если стоимость проезда 
имеет вид:
(13)
Если 
(14)
Затем
что приводит к распределению мультиплексирования энтропии, если берется:
(15)
Если
, (16)
то получаем обобщенную гравитационную модель:
Заметим, что, если взять функцию стоимости распределения максимальной энтропии это приведет к распределению полезности:
(17)
Распределение поездок: энтропийный подход (распределение Бозе-Эйнштейна и распределение Ферми-Дирака)
Рассмотрим вариант энтропии поездок на основе распределений Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака и исследуем роль функции полезности.
Пусть будет числом поездок из i-го сектора на j-е рабочее место, а имеющиеся ограничения или информация будут такими же, как (2) и (3).
Задача состоит в оценке на основе информации о стоимости и оценках (2) и (3). Применяем принцип максимальной энтропии с квантовой мерой энтропии.
(18)
где а = +1 для энтропии Бозе-Эйнштейна;
а = –1 для энтропии Ферми-Дирака.
Максимизация энтропии распределения с учетом ограничений (2) и (3) приводит к:
(19)
Значение a = 1 в (19) соответствует распределению Ферми-Дирака (разрешено не более одного пункта поездки для одного пункта назначения). Значение a = –1 в (19) соответствует распределению поездок по Бозе-Эйнштейну (неограниченному количеству конечных точек для каждого пункта назначения).
Распределение поездок: утилитарный подход
Выше приведено, что:
, (20)
а также
где
– некоторая функция полезности для i-го местоположения. Это может быть потенциальная функция j-го рабочего места или функция, которая зависит от полезности i-го происхождения (сектора-жилого помещения) и привлекательности i-го места работы. 
и 
– некоторые заданные значения, относящиеся к пункту отправления (месту проживания) и месту назначения j (место работы). Рассмотрим математическую запись (10) и (19):
или же
или же
(21)
Таким образом, можно найти затраты, которые могут сделать максимизацию энтропии и полезность эквивалентными. Эквивалентность будет проиллюстрирована некоторыми конкретными примерами.
Рассмотрим функцию полезности:
(22)
Тогда:
(23)
Заметим, что при a = +1, полученное таким образом распределение (23) напоминает квантовое распределение поездок с .
Распределение полезности следует отрицательной экспоненте, поскольку
. Получается, что имеет вид:
(24)
что приводит к квантовому распределению поездок, если:
(25)
В статье рассматриваются два подхода к задаче принятия решений в транспортной системе. Оба подхода основаны на понятиях энтропии полезности и математических подходах в случае распределения поездок. Статья носит теоретический характер, но не является чисто гипотетической, поскольку некоторые функции применялись в других моделях. Экспоненциальная функция полезности использовалась в задаче о распределении рисков. Выбор функции полезности (x) носит случайный характер. Он будет зависеть от различных экономических ситуаций, и его успех будет также основываться на правильном выборе функции полезности. Ряд функций полезности (x) показал, как можно использовать метод максимальной полезности. Информационная энтропия имеет широкий диапазон применимости, энтропии Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака успешно применяются в случае распределения ездок и распределения товаров соответственно. В этом исследовании демонстрируется эквивалентность между принципом максимальной полезности и максимальной энтропии, основанном на энтропиях Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.
1. Antonov, D. V. Osnovnye principy razvitiya transportnyh sistem gorodov / D.V. Antonov, O.A. Lebedeva // Vestnik Angarskoy gosudarstvennoy tehnicheskoy akademii. 2014. № 8. S. 149-155.
2. Kripak, M. N. Ocenka sostoyaniya ulichno-dorozhnoy seti krupnogo goroda / M.N. Kripak, O.A. Lebedeva //Sovremennye tehnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie. 2016. № 3 (51). S. 171-174.
3. Lebedeva, O. A. Transportnaya infrastruktura kak osnovopolagayuschiy faktor effektivnogo funkcionirovaniya ekonomiki strany / O.A. Lebedeva, Yu.O. Poltavskaya, Z.N. Gammaeva, T.V. Kondratenko // Sbornik nauchnyh trudov Angarskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. 2018. T. 1. № 15. S. 125-130.
4. Sharov, M. I. Vliyanie transportnogo zonirovaniya na funkcionirovanie marshrutnoy seti goroda / M.I. Sharov, O.A. Lebedeva // Sovremennye tehnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie. 2019. № 2 (62). S. 196-202.
5. Poltavskaya, Yu. O. Metody sbora dannyh o prodolzhitel'nosti dvizheniya na marshrute i trebovaniya k ob'emu vyborki / Yu.O. Poltavskaya //Vestnik Angarskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. 2018. № 12. S. 192-195.
6. Lebedeva, O. A. Sravnitel'nyy analiz metodov resheniya transportnyh zadach pri optimal'nom planirovanii perevozochnogo processa / O.A. Lebedeva., V.E. Gozbenko, A.A. Pyhalov, Yu.F. Muhopad // Sovremennye tehnologii. Sistemnyy analiz. Modelirovanie. 2020. № 3 (67). S. 134-139.
7. Poltavskaya, Yu. O. Modelirova-nie prodolzhitel'nosti dvizheniya po mar-shrutu s uchetom harakteristik ulichno-dorozhnoy seti / Yu.O. Poltavskaya, O.A. Lebedeva // V knige: Novye informacionnye tehnologii v issledovanii slozhnyh struktur. materialy Trinadcatoy Mezhdunarodnoy konferencii. Tomskiy gosudarstvennyy universitet. Tomsk, 2020. S. 101-102.
8. Mazumder, S. K. Um entropy and utility in a transportation system / S. K. Mazumder // Yugoslav Journal of Operations Research 9, 1999, Number 1, rr. 27-34.
9. Niedercorn, J. H. An Economic Derivation of the ‘Gravity Law’ of Spatial Interaction: Reply / J.H. Niedercorn, B.V. Bechdolt // Journal of Regional Science 10, 1970, rr. 407–410.
10. Beckmann, M. The soft science of predicting travellor behavior / M. Beckmann // Transportation Planning and Technology 1, 1973, rr. 175–181.
