The solution to the equilibrium problem for half-plane and stripe weakened by straight transverse cracks and reinforced by thin flexible plates is considered. Boundary conditions of a special form are used as a mathematical model of a thin plate. To establish the limits of the model applicability, a numerical study of these conditions is carried out. On the basis of the equilibrium equations, the problem is converted to the solution of the singular integral equation of the first kind with the Cauchy kernel relating to the function derivative of the crack opening. At this, the generalized integral transform method is used. In various ranges of the geometrical and physical problem parameters, solutions to the described above integral equation are constructed by small parameter and collocation methods. The stress intensity factor values in the neighborhood of the crack periphery are obtained. The multivariate analysis of the plate impact on the critical condition of cracks in the substrate is carried out.
crack, half-plane, stripe, plate, stress intensity factor, factor of influence
Введение
Выполняя защитную или иные функции, тонкие покрытия изменяют механические характеристики изделий. Кроме того, покрытия могут подвергаться постоянно растущей нагрузке. Таким образом, представляется интересной разработка методов оценки напряжённого состояния в упругих телах, ослабленных технологическими и эксплуатационными дефектами и усиленных тонкими покрытиями и накладками. Решение этой актуальной задачи отвечает потребностям современного производства.
Первые исследования по изучению тонких накладок, изгибной жёсткостью которых можно пренебречь, приведены в работах Э. Мелана [1], Э. Рейсснера [2], В.-Т. Койтера [3], а также отечественных учёных [4]. В работе В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [5] собраны результаты многих исследований по контактным задачам для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В [6] решена контактная задача о передаче нагрузки от периодической системы стрингеров к полосе, ослабленной трещиной.
Математическая постановка задачи
Рассмотрим статическую задачу теории упругости для полуплоскости 
, 
, ослабленной внутренней прямолинейной трещиной длиной 2a, перпендикулярной её границе. Центр трещины расположен на расстоянии h от поверхности. К берегам трещины приложены нормальные усилия интенсивности p (y), поддерживающие её в раскрытом состоянии.
При y = 0 действует граничное условие, моделирующее влияние накладки [5]:
1. Melan, E. Zur plastizität des räumlichen kontinuums / E. Melan // Archive of Applied Mechanics. — 1938. — № 9 (2). — P. 116–126.
2. Reyssner, E. Nekotorye problemy teorii obolochek. Uprugie obolochki / E. Reyssner. — Moskva : Izdatel'stvo inostrannoy literatury, 1962. — 263 s.
3. Koiter, W. The nonlinear theory of thin elastic shells / W. Koiter, T. Warner // Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. — 1966. — № 69.1. — P. 1–54.
4. Razvitie teorii kontaktnykh zadach v SSSR / Pod red. L. A. Galina. — Moskva : Nauka, 1976. — S. 493.
5. Aleksandrov, V. M. Kontaktnye zadachi dlya tel s tonkimi pokrytiyami i prosloykami / V. M. Aleksandrov, S. M. Mkhitaryan. — Moskva : Nauka, 1979. — 486 s.
6. Mkhitaryan, S. M. Ob odnoy periodicheskoy kontaktnoy zadache dlya uprugoy polosy, oslablennoy treshchinami i usilennoy uprugimi stringerami / S. M. Mkhitaryan, K. L. Agayan // Izvestiya Akademii nauk Armyanskoy SSR. Mekhanika. — 1978. — T. 31, № 3. — S. 3–17.
7. Backstrom, G. Deformation and Vibration by Finite Element Analysis: Problems in 2D and 3D Solved by the Free Edition of FlexPDE / G. Backstrom. — Stockholm : GB Publishing, 2007. — 240 p.
8. Nikiforov A. F. Spetsial'nye funktsii matematicheskoy fiziki / A. F. Nikiforov, V. B. Uvarov. — Dolgoprudnyy : Intellekt, 2007. — 344 c.
9. Paris, P.-C. Stress Analysis of Cracks, Fracture Toughness Testing and Its Applications / P.-C. Paris, G.-C. Sih // Special Technical Publications. — 1965. — № 381. — P. 30–81.
10. Panasyuk, V. V. Raspredelenie napryazheniy okolo treshchin v plastinakh i obolochkakh / V. V. Panasyuk, M. P. Savruk, A. P. Datsyshin. — Kiev : Naukova dumka, 1976. — 443 c.
11. Aleksandrov, V. M. Effektivnye metody resheniya slozhnykh smeshannykh zadach teorii uprugosti, svyazannykh s voprosami kontsentratsii napryazheniy / V. M. Aleksandrov, B. I. Smetanin, A. S. Solov'ev // Kontsentratsiya napryazheniy. — 1971. — № 3. — S. 5–10.
12. Sobol', B. V. Ob asimptoticheskikh resheniyakh trekhmernykh staticheskikh zadach teorii uprugosti so smeshannymi granichnymi usloviyami / B. V. Sobol' // Vestnik Nizhegorodskogo un-ta im. N. I. Lobachevskogo. — 2011. — T. 4, № 4. — C. 1778–1780.
