UDK 51 Математика
GRNTI 27.35 Математические модели естественных наук и технических наук. Уравнения математической физики
OKSO 01.04.04 Прикладная математика
BBK 221 Математика
TBK 5718 Прочие издания
TBK 6457 Прочие издания
BISAC MAT018000 Logic
In the formal model of the binary sufficient cause theory based on the theory of finite Boolean algebras a dependence of integer invariant from a number of joined acting factors is studied. A constructive description of such a minimal k for which attains a maximal value is given.
sufficient cause theory, Boolean algebra, Boolean functions, Boolean cube, outcome, causality in epidemiology, integer invariant
Введение. Одним из важных подходов в анализе причинности действия факторов в эпидемиологии, медицине, токсикологии является так называемая теория достаточных причин (sufficient cause models) [1-5]. В этом подходе интересующий нас исход, например, заболевание, представляется в виде логической композиции (как правило, в виде дизъюнкции конъюнкций) действующих бинарных (двухуровневых) факторов или их отрицаний, которые, будучи собраны вместе, с необходимостью приводят к появлению этого исхода. Однако даже в этом, наиболее простом, случае бинарных факторов такой анализ сводится к достаточно непростой трактовке содержательного смысла возможных логических конструкций.
В последнее время были предложены более формализованные модели такой теории (в бинарном варианте), которые позволяют проводить такой анализ как своего рода вычислительную процедуру [6-12]. Прежде всего это относится к задаче определения характера так называемого совместного действия факторов. Заметим, что для этой формализации даже в бинарном случае оказывается необходимым использовать далеко неэлементарные факты и конструкции теории булевых алгебр и булевых функций [13,14]. В частности, для формулировки основного результата (Теорема 1 ниже) нам потребуется ряд понятий и обозначений, часть из которых приведены в работах [10-12], к которым мы отсылаем читателя. Одно из этих понятий даёт строгое определение термину «взаимодействие факторов в отклике» на языке булевых функций [10, 12]. Следующее понятие обобщает его и позволяет говорить о взаимодействии меньшего числа факторов в отклике, зависящем от большего числа факторов.
Определение 1 [10, 12]. Будем говорить, что в отклике f, зависящем от n бинарных факторов, имеется взаимодействие k факторов, если существует k-элементное подмножество 
множества {1,2,…,n} и набор 
такие, что в отклике 
есть взаимодействие k факторов 
. Если это взаимодействие достигается при 
для некоторого 
, то будем говорить, что имеет место взаимодействие k факторов для 
при 
Здесь - функция от переменных 
равная значению функции 
при
Это понятие (1) обобщает понятие взаимодействия n факторов в отклике, зависящем от n факторов; (2) вводит естественную упорядоченность по «силе» взаимодействия в следующем смысле: если в данном отклике имеется взаимодействие k факторов, то также имеет место и взаимодействие любого меньшего числа этих факторов; (3) само это понятие корректно определено на классах эквивалентных откликов относительно действия группы симметрий n-мерного гиперкуба, которая является естественной группой симметрий в эпидемиологии [6-10].
Для численного описания взаимодействия k факторов в работах [10,12] было предложено понятие степени взаимодействия k факторов 
, для которого доказаны следующие свойства: (1) инвариантна относительно группы симметрий гиперкуба; (2) выполняются неравенства 
и 
где 
- степень взаимодействия n факторов в отклике, зависящем от n факторов; (3) в отклике f имеется взаимодействие k факторов тогда и только тогда, когда 
При этом можно считать, что 
для любого 
для любого отклика f; 
для любого отклика 
и 
Постановка задачи. Пусть отклик f, зависящий от n бинарных факторов фиксирован. Так как принимает значения от 0 до n, то среди них существует максимальное. Требуется найти, при каком минимальном k значение максимально и описать его свойства.
Основной результат.
Теорема 1. Для любого отклика f существует единственное число 
такое, что выполняются неравенства
-
для любого 
для любого 
При этом подразумевается, что при 
неравенство (2) выполняется автоматически, так как в этом случае множество 
пусто.
Таким образом, геометрически распределение значений можно представить следующим образом (см. Рис. 1)
Рис. 1. Пример распределения значений .
Из Теоремы 1 следует, что добавление любого фактора к любым 
факторам увеличивает степень взаимодействия факторов в данном отклике на единицу, а добавление любого фактора к любому числу 
факторов не изменяет или уменьшает степень взаимодействия факторов в отклике.
Из Теоремы 1 следует, что набор значений 
представляет полную информацию о силе взаимодействия данного набора факторов в данном отклике.
Пример. Рассмотрим для n = 3 классы эквивалентных откликов, набор Mf, значение 
и графическое представление набора Mf .
|
Классы откликов |
Mf |
mf |
Графическое представление |
|
|
(1, 2, 3) |
3 |
|
|
|
(1, 2, 2) |
2 |
|
|
|
(1, 2, 1) |
2 |
|
|
|
(1, 2, 0) |
2 |
|
|
|
(1, 1, 1) |
1 |
|
|
|
(1, 1, 0) |
1 |
|
|
|
(1, 0, 0) |
1 |
|
|
|
(0, 0, 0) |
0 |
|
1. MacMahon B., Pugh T.F. Causes and entities of disease // Preventive Medicine. Boston: Little Brown, 1967. P. 11–18.
2. Rothman K. Causes // Am. J. Epidemiology. 1976. V. 104(6). P. 587–592.
3. Miettinen O. S. Causal and preventive interdependence: Elementary principles // Scand. J. Work. Environ. Health. 1982. V. 8. P. 159–168.
4. VanderWeele T.J., Robins J.M. The identification of synergism in the sufficient-component-cause framework // Epidemiology. 2007. V. 18(3). P. 329–339.
5. VanderWeele T. J., Richardson T. S. General theory for interactions in sufficient cause models with dichotomous exposures // Ann. Statistics. 2012. V. 40. P. 2128–2161.
6. Panov V. G., Nagrebeckaya Yu. V. Algebraicheskaya traktovka dvuhfaktornoy teorii dostatochnyh prichin // Trudy SPIIRAN. 2013. T. 3(26). S. 277–296.
7. Panov V. G., Nagrebeckaya Yu. V. Algebraicheskaya klassifikaciya sovmestnogo deystviya n binarnyh faktorov // Materialy IX mezhdunar. konf. «Sistemnyy analiz v medicine». Blagoveschensk. 2015. S. 31–34.
8. Panov V.G. and Nagrebetskaya J.V. Boolean algebras and classification of interactions in sufficient-component cause model // Int. J. Pure Appl. Math. 2015. V. 98(2). P. 239–259.
9. Panov V. G. and Nagrebetskaya J. V. Classification of combined action of binary factors and Coxeter groups // J. Discr. Math. Sci. & Cryptography. 2018. V. 21(3). P. 661–677.
10. Nagrebeckaya Yu.V., Panov V.G. Stepen' vzaimodeystviya binarnyh faktorov v teorii dostatochnyh prichin // Materialy XIII mezhdunar. konf. "Sistemnyy analiz v medicine". Blagoveschensk, 2019. C. 31–34.
11. Nagrebeckaya Yu.V., Panov V.G. Obobschenie ponyatiya vzaimodeystviya n faktorov v teorii dostatochnyh prichin i ego svoystva // Materialy XIII mezhdunar. konf. "Sistemnyy analiz v medicine». Blagoveschensk, 2019. C. 35–38.
12. Nagrebetskaya J.V., Panov V.G. Joint action of binary factors in the sufficient causes theory and its classification // Int. J Innov. Tech.&Exploring Eng. V.9(1), 2019. P.: 2146–2153.
13. Yablonskiy S. V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku. M.: Nauka, 1986.
14. Lidl R., Pil'c G. Prikladnaya abstraktnaya algebra. Ekaterinburg, Izd-vo Ural'skogo un-ta, 1996.
