Целью данной работы является рассмотрение пространственно-трехмерной модели Баклея — Леверетта фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости «нефть — вода» в при-ближении Буссинеска и ее численная реализация усовершен-ствованным вариантом модифицированного попеременно-треугольного метода (МПТМ), учитывающим специфику функций точечных источников, имеющих дельтаобразный характер. Для предложенного усовершенствованного варианта МПТМ выполнено построение набора итерационных пара-метров и получены необходимые оценки спектральных пара-метров метода. Оценка скорости сходимости итерационного процесса асимптотически эквивалентна оценке для базового итерационного МПТМ, предложенного ранее А. А. Самарским и Е. С. Николаевым. Построенный вариант итерационного метода был применен для решения модельной задачи фильтрации — вытеснения нефти методом заводнения в существенно неоднородном пласте, для которого значения коэффициента проницаемости менялись более чем в 104 раза. Что касается вычислительной эффективности такого подхода, то число итераций сократилось в 10–70 раз по сравнению с традиционно используемыми итерационными методами —Зейделя и верхней релаксации с шахматной упорядоченностью узлов.
модели фильтрации Баклея — Леверетта, двухфазная несжимаемая жидкость, разностные схемы, итерационный попеременно-треугольный метод, итерационные параметры.
В современных условиях для решения значимых задач проектирования разработок нефтяных месторождений (РНМ) и совершенствования технологии добычи углеводородного сырья используется методология математического моделирования и комплексы программ, реализующих современные вычислительные методы [1, 2]. Важный класс задач, возникающих при проектировании РНМ, — задачи фильтрации многофазных жидкостей в пористых средах, сформулированные при тех или иных упрощающих предположениях. Данный класс задач после дискретизации приводит к сеточным уравнениям, которые могут иметь размерности 105–109 и должны решаться многократно (многие десятки, сотни тысяч раз) для временных промежутков, составляющих десятки месяцев. В практике вычислительных методов решения задач данного класса широко применяется IMPES-метод (IMplicitonPressureandExplicitonSaturation) — неявный по давлению и явный по насыщенности [3]. Поэтому основной объем вычислительной работы приходится на решение уравнений эллиптического типа в относительно небольшом числе узлов сетки с функциями источников, отличными от нуля и имеющими характер дельта-функций (функций точечных источников) для определения давления. Следует учитывать данную специфику сеточного оператора задачи. В противном случае, а также при недостаточной обусловленности системы разностных уравнений, вызванной высокой размерностью и существенной неоднородностью характеристик пластовой системы, снижается качество вычислений. В первую очередь следует отметить, что замедляются итерационные процессы, а при использовании техники чебышевского ускорения наблюдается потеря сходимости метода, обусловленная ошибкой в определении спектральных характеристик операторов. В данной работе указанная проблема снимается за счет построения оператора-предобусловливателя, содержащего член, обусловленный наличием источников и корректных спектральных двухсторонних оценок для оператора-предобусловливателя.
1. Азиз, Х. Математическое моделирование пластовых систем / Х. Азиз, Э. Сеттари. — Москва ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2004. — 416 с.
2. Коновалов, А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости / А. Н. Коновалов. — Новоси-бирск : Наука, 1988. — 166 с.
3. Вабищевич, П. Н. Явно-неявные вычислительные алгоритмы для задач многофазной фильтрации / П. Н. Вабищевич // Математическое моделирование. — 2010. — Т. 22, № 4. — 118–128.
4. Сухинов, А. И. Модифицированный попеременно-треугольный метод для задач теплопроводности и филь-трации / А. И. Сухинов // Вычислительные системы и алгоритмы. — Ростов-на-Дону : Ростовский государственный университет, 1984. — С. 52–59.
5. Сухинов, А. И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения / А. И. Сухинов // Москва : МАКС Пресс. — 2005. — 408 c.
6. Сухинов, А. И. Модификация метода минимальных поправок для решения сеточных уравнений с несамо-сопряженным оператором // А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, А. В. Шишеня // Известия Юж. федер. ун-та. Техн. науки. —2013. — № 4. — С. 194–202.
7. Сухинов, А. И. Адаптивный попеременно-треугольный метод для решения сеточных уравнений с несамо-сопряженным оператором / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. — 2012. — Т. 24, № 1. — С. 3–20.
8. Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений // А. А. Самарский, Е. С. Николаев. — Москва : Наука, 1978. — 592 с.
9. Two-Phase Porous Media Flow Simulation on Hybrid Cluster / M. Trapeznikova [et al.] // Lecture Notes in Com-puter Science. — 2012. — № 7116. — P. 644–651.
10. Бервено, Е. В. Фильтрация двухфазной жидкости в неоднородной среде на компьютерах с распределенной памятью / Е. В. Бервено, А. А. Калинкин, Ю. М. Лаевский // Вестник Томск. гос. ун-та. Математика и механика. — 2014. — № 4 (30). — С. 57–62.
11. Лаевский, Ю. М. Об одном вычислительном алгоритме решения уравнений Баклея — Леверетта / Ю. М. Лаевский, С. А. Литвиненко // Сибирский журн. индустр. матем. — 2013. — Т. 16. — № 3. — С. 106–115.
12. Mathematical modeling of flows in porous media / V. R. Dushin [et al.] // WSEAS Transactions on Fluid Mechan-ics. — 2014. — Vol. 9. — P. 166–130.
