Целью работы является рассмотрение проблемы устойчивости стационарных траекторий упругих деформационных смещений инструмента при продольном фрезеровании концевыми фрезами. В подвижной системе координат, перемещение которой определяется движением исполнительных элементов, стационарным установившимся состоянием является не точка равновесия (как при точении), а некоторая замкнутая траектория. Использована синергетическая концепция анализа траекторий, выполняемого в два этапа. На первом этапе по предложенной методике вычисляются установившиеся стационарные траектории. На втором этапе анализируется их устойчивость. В предлагаемой статье исследуется случай, когда в пределах импульсной реакции системы параметры уравнений в вариациях относительно стационарной траектории можно считать постоянными. Рассмотрены особенности формирования стационарных траекторий, получены условия, при которых они сходятся к некоторым установившимся траекториям. Кроме того, получены некоторые общие свойства потери равновесия. Приводится пример анализа и даются рекомендации по обеспечению устойчивости траектории установившихся формообразующих движений.
динамика процесса фрезерования концевыми фрезами, стационарные траектории, устойчивость, синергетика, переменные параметры.
Одной из центральных проблем науки во второй половине ХХ века стало формирование синергетической парадигмы эволюции и самоорганизации [1–4]. В известных работах [5, 6] предложено использовать ее для управления сложными нелинейными объектами, в том числе для анализа и синтеза динамической системы резания [7–9]. Система резания рассматривается как взаимодействие подсистем инструмента и обрабатываемой детали через связь, формируемую процессом обработки [10–16]. Данная связь является нелинейной с периодически изменяющимися параметрами и обладает свойством эволюционной изменчивости [7–9]. В литературе описаны проблемы устойчивости и многообразий, формируемых в окрестностях равновесия. Рассматриваются автоколебания [17, 18], инвариантные торы [19–21] и хаотические аттракторы [19–23]. Показано, что упругие деформационные смещения не могут быть скалярными, если необходимо раскрыть их основные динамические свойства. Они, как минимум, должны анализироваться в плоскости [24–27]. На динамические свойства системы оказывает влияние и тип процесса резания [7, 8, 26–48].
Из рассматриваемых в данном контексте процессов наиболее сложным является фрезерование [26–47]. Это обусловлено его нестационарностью, периодическими изменениями параметров длины и толщины слоя, срезаемого каждым режущим лезвием фрезы. Поэтому в подвижной системе координат, перемещение которой определяется траекториями исполнительных элементов, стационарным установившимся состоянием является не точка равновесия (как при точении), а некоторая замкнутая траектория. В связи с этим уравнение динамики в общем случае имеет периодически изменяющиеся коэффициенты. Кроме того, учитывается влияние запаздывающих аргументов [28–39]. В указанных работах для изучения устойчивости используется теория Флоке для — периодических процессов. Изучается процесс фрезерования на станках, имеющих до пяти координат управления при обработке деталей, матрицы жесткости которых существенно изменяются вдоль траектории движения инструмента [40–47]. В настоящей статье результаты отмеченных выше работ рассматриваются в отношении полных нелинейных математических моделей с учетом периодического изменения параметров. При этом ставится задача исследования устойчивости не точки в подвижной системе координат, а стационарной траектории формообразующих движений. Здесь можно рассматривать два случая. Первый относится к обработке с малыми частотами вращения шпинделя, когда в системе в пределах импульсной реакции параметры можно считать замороженными. Это явление рассматривается в рамках данной работы. Второй случай относится к обработке с большими частотами вращения инструмента, когда параметры нельзя считать замороженными. Соответствующий материал будет рассмотрен в следующей статье.
1. Пригожин, И. Порядок из хаоса / И. Пригожин, И. Стенгерс ; под общ. ред. В. И. Аршинова, Ю. Л. Климонтовича, Ю. В. Сачкова. — Москва : Прогресс, 1986. — 193 с.
2. Пригожин, И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой / И. Пригожин, И. Стенгерс. — Москва : Едиториал УРСС, 2003. — 312 с.
3. Хакен, Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Г. Хакен. — Москва : Мир, 1985. — 424 с.
4. Хакен, Г. Тайны природы. Синергетика: учение о взаимодействии / Г. Хакен. — Москва ; Ижевск : Инсти-тут компьютерных исследований, 2003. — 320 с.
5. Колесников, А. А. Синергетическая теория управления / А. А. Колесников. — Москва : Энергоатомиздат, 1994. — 344 с.
6. Синергетика и проблемы теории управления / под ред. А. А. Колесникова. — Москва : Физматлит, 2004. — 504 с.
7. Заковоротный, В. Л. Динамика процесса резания. Синергетический подход / В. Л. Заковоротный, М. Б. Флек. — Ростов-на-Дону : Терра, 2006. — 880 с.
8. Синергетический системный синтез управляемой динамики металлорежущих станков с учетом эволюции связей / В. Л. Заковоротный [и др.]. — Ростов-на-Дону : Изд-во ДГТУ, 2008. — 324 с.
9. Zakovorotny, V. L. The Problems of Control of the Evolution of the Dynamic System Interacting with the Medi-um / V. L. Zakovorotny, A. D. Lukyanov // International Journal of Mechanical Engineering and Automation. — 2014. — Vol. 1, № 5. — Р. 271–285.
10. Тлустый, И. Автоколебания в металлорежущих станках / И. Тлустый. — Москва : Машгиз, 1956. —395 с.
11. Selbsterregte Schwingungen an Werkzeugmaschinen / I. Tlusty. — Berlin : Veb Verlag Technik Berlin, 1962. — 320 р.
12. Tobias, S.-A. Machine Tool Vibrations / S.-A. Tobias. — London : Blackie, 1965. — 350 р.
13. Кудинов, В. А. Динамика станков / В. А. Кудинов. — Москва : Машиностроение, 1967. — 359 с.
14. Эльясберг, М. Е. Автоколебания металлорежущих станков: теория и практика / М. Е. Эльясберг. — Санкт-Петербург : ОКБС, 1993. — 182 с.
15. Вейц, В. Л. Задачи динамики, моделирования и обеспечения качества при механической обработке мало-жестких заготовок / В. Л. Вейц, Д. В. Васильков // СТИН. — 1999. —№ 6.— С. 9–13.
16. Заковоротный, В. Л. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистемы инструмента и заготовки / В. Л. Заковоротный, Д.-Т. Фам, С.-Т. Нгуен // Известия высших учеб-ных заведений. Северо-Кавказский регион. — 2011. — № 2. — С. 38–46. — (Технические науки).
17. Соколовский, А. П. Вибрации при работе на металлорежущих станках / А. П. Соколовский // Исследование колебаний при резании металлов. — Москва : Машгиз, 1958. — С. 15–18.
18. Мурашкин, Л. С. Прикладная нелинейная механика станков / Л. С. Мурашкин, С. Л. Мурашкин. — Ленин-град : Машиностроение, 1977. — 192 с.
19. Zakovorotny, V. L. Bifurcations in the dynamic system of the mechanic processing in metal-cutting tools / V. L. Zakovorotny // Journal of Transactions on Applied and Theoretical Mechanics. — 2015. —Vol. 10. — P. 102–116.
20. Заковоротный, В. Л. Самоорганизация и бифуркации динамической системы обработки металлов резани-ем / В. Л. Заковоротный, Д.-Т. Фам, В. С. Быкадор // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 2014. —Т. 22, № 3. — С. 26–40.
21. Заковоротный, В. Л. Влияние изгибных деформаций инструмента на самоорганизацию и бифуркации ди-намической системы резания металлов / В. Л. Заковоротный, Д.-Т. Фам, В. С. Быкадор // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 2014. — Т. 22, № 3. — С. 40–53.
22. Stepan, G. Delay-differential equation models for machine tool chatter / G. Stepan ; ed. F. C. Moon. — New York : John Wiley, 1998. — Р. 165–192.
23. Stepan, G. Delay, Parametric excitation, and the nonlinear dynamics of cutting processes / G. Stepan, T. Insperge, R. Szalai // International Journal of Bifurcation and Chaos, 2005. — Vol. 15, № 9. — Р. 2783–2798.
24. Tobias, S.-A. Theory of regenerative machine tool chatter / S. A. Tobias, W. Fishwick // The Engineer. — 1958. — Vol. 205. — P. 199–203.
25. Merritt, H.-E. Theory of self-excited machine tool chatter / H.-E. Merritt // ASME. Journal of Engineering for In-dustry. — 1965. — Vol. 205, № 11. — P. 447–454.
26. Sridhar, R. A stability algorithm for the general milling process. Contribution to machine tool chatter research — 7 / R. Sridhar, R.-E. Hohn, G.-W. Long // ASME. Journal of Engineering for Industry. — 1968. — Vol. 90, № 2. — P. 330–334.
27. Altintas, Y. Analytical prediction of stability lobes in milling / Y. Altintas, E. Budak // CIRP Annals. — 1995. — Vol. 44, № 1. — P. 357–362.
28. Tlusty, J. Special aspects of chatter in milling / J. Tlusty, F. Ismail // ASME. Journal of Vibration, Stress and Reli-ability in Design. — 1983. — Vol. 105, № 1. — P. 24–32.
29. Minis, I. A new theoretical approach for the prediction of machine tool chatter in milling / I. Minis, T. Yanushevsky // ASME. Journal of Engineering for Industry. — 1993. — Vol. 115, № 2. — P. 1–8.
30. Insperger, T. Stability of the milling process / T. Insperger, G. Stepan // Periodical Polytechnic-Mechanical Engi-neering. — 2000. — Vol. 44, № 1. — P. 47–57.
31. Budak, E. Analytical prediction of chatter stability in milling. Part I: General formulation / E. Budak, Y. Altintas // ASME. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. — 1998. — Vol. 120, № 6 (1). — P. 22–30.
32. Budak, E. Analytical prediction of chatter stability conditions for multi-degree of systems in milling. Part II: Ap-plications / E. Budak, Y. Altintas // ASME. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. — 1998. — Vol. 120, № 6 (1). — P. 31–36.
33. Merdol, D. Multi-frequency solution of chatter stability for low immersion milling / D. Merdol, Y. Altintas // ASME. Journal of Manufacturing Science and Engineering. — 2004. — Vol. 126, № 3. — P. 459–466.
34. Stability of up-milling and down-milling. Part 1: Alternative analytical methods / T. Insperger // International Journal of Machine Tools and Manufacture. — 2003. — Vol. 43, № 1. — P. 25–34.
35. Kline, W.-A. The prediction of surface ac¬curacy in end milling / W.-A. Kline, R.-E. Devor, I.-A. Shareef // ASME. Journal of Engineering for Industry. — 1982. — Vol. 104, № 5. — P. 272–278.
36. Elbestawi, M.-A. Dynamic modeling for the prediction of surface errors in milling of thin-walled sections / M.-A. Elbestawi, R. Sagherian // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. — 1991. — Vol. 25, № 2. — P. 215–228.
37. Campomanes, M.-L. An improved time domain simulation for dynamic milling at small radial immersions / M.-L. Campomanes, Y. Altintas // ASME. Journal of Manufacturing Science and Engineering. — 2003. — Vol. 125, № 3. — P. 416–425.
38. Paris, H. Surface shape prediction in high-speed milling / H. Paris, G. Peigne, R. Mayer // International Journal of Machine Tools and Manufacture. — 2004. — Vol. 44, № 15. — P. 1567–1576.
39. Altintas, Y. A general mechanics and dynamics model for helical end mills / Y. Altintas, P. Lee // CIRP Annals. — 1996. — Vol. 45, № 1. — P. 59–64.
40. Ozturk, E. Modeling of 5-axis milling processes / E. Ozturk, E. Budak // Machining Science and Technology. — 2007. — Vol. 11, № 3. — P. 287–311.
41. Budak, E. Modeling and simulation of 5-axis milling processes / E. Budak, E. Ozturk, L.-T. Tunc // CIRP Annals. Manufacturing Technology. — 2009. — Vol. 58, № 1. — P. 347–350.
42. Stability limits of milling considering the flexibility of the workpiece and the machine / U. Bravo [et al.] // Interna-tional Journal of Machine Tools and Manufacture. — 2005. — Vol. 45. — P. 1669–1680.
43. Modeling regenerative workpiece vibrations in five-axis milling / K. Weinert [et al.] // Production Engineering. Research and Development. — 2008. — № 2. — P. 255–260.
44. Biermann, D. A general approach to simulating workpiece vibrations during five-axis milling of turbine blades / D. Biermann, P. Kersting, T. Surmann // CIRP Annals. Manufacturing Technology. — 2010. — Vol. 59, № 1. — P. 125–128.
45. Воронов, С. А. Методика применения численного моделирования динамики многокоординатного фрезеро-вания сложнопрофильных деталей при проектировании технологического процесса / С. А. Воронов, И. А. Киселев, С. В. Аршинов // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Машиностроение. — 2012. — Спецвыпуск, № 6. — С. 50–69.
46. Воронов, С. А. Критерии оценки устойчивости процесса фрезерования нежестких деталей / С. А. Воронов, А. В. Непочатов, И. А. Киселев // Известия вузов. Машиностроение. — 2011. — № 1 (610). — С. 50–62.
47. Voronov, S. Dynamics of flexible detail milling / S. Voronov, I. Kiselev // Proceedings of the Institution of Me-chanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics. — 2011. — Vol. 225, № 3. — P. 1177–1186.
48. Заковоротный, В. Л. Свойства формообразующих движений при сверлении глубоких отверстий малого диаметра / В. Л. Заковоротный, Е. Ю. Панов, П. Н. Потапенко // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2001. — Т. 1, № 2. — С. 81–93.
49. Понтрягин, Л. С. Избранные труды. Т. 2 / Л. С. Понтрягин. — Москва : Наука, 1988. —576 с.
50. Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильев, В. М. Волосов // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. — Киев : Изд-во АН УССР, 1963. — С. 56–61.
51. Заковоротный, В. Л. Моделирование деформационных смещений инструмента относительно заготовки при точении / В. Л. Заковоротный, Д.-Т. Фам, С.-Т. Нгуен // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2010. — Т. 7 (50). — С. 1005–1015.
52. Данжело, Р. Линейные системы с переменными параметрами / Р. Данжело. — Москва : Машиностроение, 1974. — 287 с.
53. Березкин, Е. Н. Лекции по теоретической механике / Е. Н. Березкин. — Москва : Изд-во МГУ, 1968. — 279 с.
54. Заковоротный, В. Л. Построение информационной модели динамической системы металлорежущего стан-ка для диагностики процесса обработки / В. Л. Заковоротный, И. В. Ладник // Проблемы машиностроения и надежно-сти машин. — 1991. — № 4. — С.75–81.
