Целью работы является описание метода численного решения стационарного уравнения Шредингера, основанного на использовании интегрального уравнения, тождественного уравнению Шредингера. По своей структуре это интегральное уравнение близко к уравнению Фредгольма второго рода и допускает получение численного решения задачи. Рассматриваемый метод позволяет находить собственные значения энергии и собственные решения для квантово-механических задач различной размерности. Приведены результаты тестирования метода при решении задачи для одномерного и двумерного квантового осциллятора. Найденные численным методом значения собственных энергий и собственных функций осциллятора сравнивались с известными аналитическими решениями, затем оценивалась погрешность результата. Наибольшая точность решения получена для первых энергетических уровней. Погрешность численного решения возрастает с номером собственного значения энергии. Для последующего энергетического уровня погрешность увеличивается почти на порядок. Для четвертого энергетического уровня при разбиении области интегрирования на 500 элементов погрешность решения для собственных функций не превосходит 2%. Если энергетический уровень является вырожденным, то существует возможность получения всех собственных функций, соответствующих данному уровню. Для этого используются различные вспомогательные функции, симметрия которых согласуется с симметрией собственной функции.
уравнение Шредингера, собственные значения, собственные функции, численное решение, фундаментальные решения.
Фундаментальное значение при решении квантовых механических задач описывается уравнением Шредингера [1]. Аналитические решения этого уравнения могут быть получены лишь для весьма ограниченного круга задач, преимущественно одномерных. Поэтому разработано множество приближенных методов решения уравнения Шредингера, как аналитических, с использованием теории возмущения [2–4], так и прямых численных методов. Несмотря на широкий спектр имеющихся численных методов решения уравнения Шредингера, таких, например, как метод Нумерова [5], метод диагонализации [6–7], спектральный метод [7], и других численных методов [8–12], проблема эффективных способов нахождения собственных энергий и собственных функций для основного уравнения квантовой механики, особенно при решении многомерных задач, продолжает оставаться актуальной. Ниже предложена методика решения уравнения Шредингера, основанная на приведении его к интегральному уравнению с последующим численным решением.
1. Ландау, Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — Москва : Гос. изд-во физ.-мат. лит., Наука, 1963. — 703 с.
2. Kesarwani, R. N. Eigenvalues of an anharmonic oscillators / R. N. Kesarwani, Y. P. Varshni // J. Math. Phys. —
3. Ульянов, В. В. Интегральные методы в квантовой механике / В. В. Ульянов. — Харьков : Вища школа. Изд-во при Харьк. ун-те, 1982. — 160 с.
4. Bender, С. М. Anharmonic oscillator. II. A study of perturbation theory in large order / С. М. Bender, Т. Т. Wu // Phys. Rev. — 1973. — Vol. 7. — № 6. — P. 1620–1636.
5. Killingbeck, J. P. Microcomputer Quantum Mechanics / J. P. Killingbeck. — Adam Hiller, 1983. — p. 380.
6. Banerjee, К. The anharmonic oscillator / К. Banerjee, S. P. Bhatnagar, V. Choudhry, S. S. Kanwal // Proc. R. Soc. A, 1978. — Vol. 360. — P.575–586.
7. Черкасский, В. А. Численное решение уравнения Шредингера: метод диагонализации и спектральный метод / В. А. Черкасский // Вісник Харківського національного університету. — 2010. — № 926. — С. 204–211.
8. Dineykhan, M. The Schroedinger equation for bound state systems in the oscillator representation / М. Dineykhan, G. V. Efimov // Repots of Math. Phys. — 1995. — V.6. — № 2/3. — P. 287–308.
9. Abrashkevich, A. G. FESSDE, a program for the finite-element solution of the coupled-channel Schroedinger equation using high-order accuracy approximations / A. G. Abrashkevich, D. G. Abrashkevich, M. S. Kaschiev, I. V. Puzynin // Соmр. Phys. Commun. — 1995. — Vol. 85 — P. 6574.
10. Jafarpour, М. Calculation of energy eigenvalues for the quantum anharmonic oscillator with a polynomial potential / М. Jafarpour, D. Afshar // J. Phys. A: Math. Gen. — 2002. — Vol. 35 — P. 87–92.
11. Квитко, Г. В. Численное решение уравнения Шрёдингера с полиномиальными потенциалами / Г. В. Квитко, Э. Л. Кузин, Д. В. Шоть // Вестник Балт. муницип. ин-та им. И. Канта. — 2011. — Вып. 5. — С.115–119.
12. Лукьяненко, А. Н. Символьно-численное решение двумерного уравнения Шрёдингера с двухъямным потенциалом / А. Н. Лукьяненко, Н. А. Чеканов // Университет им. В.И. Вернадского. — 2008. — № 3(13). — Т. 2. — С. 43–49.
13. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — Москва : Физматлит, 2001. — 576 с.
14. Владимиров, B. C. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. — Москва : Физматлит, 2004. — 400 с.
15. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for problems in potential theory / G. Fairweather, R. L. Johnston // Treatment of Integral Equations by Numerical Methods / eds. C. T. H. Baker, G. F. Miller. — London : Academic Press, 1982. — P. 349–359.
16. Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. — 2007. — № 2. — С. 77–78.
17. Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для неоднородных уравнений Гельмгольца методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. — 2014. — № 4. — С. 14–19.
18. Князев, С. Ю. Решение задач тепло- и массопереноса с помощью метода точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. — 2006. — № 4. — С. 43–47.
19. Князев, С. Ю. Моделирование полей упругих деформаций с применением метода точечных источников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2015. — Т. 15. № 1 (80). — С. 29–38.
20. Князев, С. Ю. Моделирование трехмерных полей упругих деформаций с помощью метода точечных источников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2015. — Т. 15. № 4 (83). — С. 13–23. 21 — Vol. 22. — № 9. — P. 1983–1989.
