Разработан способ решения задач вычисления собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с произвольной конфигурацией. При разработке способа численного решения задач используется метод точечных источников поля (МТИ). Предлагаемый способ основан на анализе числа обусловленности системы МТИ или погрешности численного решения задачи. Вводится понятие «критерий собственных значений». Результатом работы является разработанный эффективный алгоритм решения задач на нахождение собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца. Показано, что при приближении параметра Гельмгольца к собственному значению задачи число обусловленности системы МТИ и погрешность численного решения резко возрастают. Определив зависимость погрешности численного решения задачи или числа обусловленности системы МТИ от параметра Гельмгольца, можно по располо-жению максимума для полученных зависимостей найти собственные значения уравнения Гельмгольца в заданной области. После нахождения собственного значения можно приступить к нахождению собственных функций. При этом, если собственное значение оказывается вырожденным, то есть ему соответствует несколько собственных функций, то, с учетом симметрии области решения, возможно нахождение всех собственных функций. Приведены результаты решения тестовых двумерных и трехмерных задач, на основании которых делается вывод об эффективности предложенного метода.
метод точечных источников, собственные значения, собственные функции, уравнение Гельмгольца, фундаментальное решение, метод фундаментальных решений.
Важное прикладное значение при разработке электромеханических, оптоэлектронных и радиотехнических устройств имеют задачи математической физики. Ряд таких задач приводит к решению однородного уравнения Гельмгольца с положительным значением параметра Гельмгольца λ>0. Это широкий класс задач, связанных с установившимися колебаниями (механическими, акустическими, тепловыми, электромагнитными и др.). Численное решение задач массой теплопереноса также приводит к уравнению Гельмгольца, уже с отрицательным значением параметра λ<0.
Важность решения уравнения Гельмгольца обусловлена также тем, что любые уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами приводятся к уравнению этого вида.
При решении ряда прикладных задач требуется нахождение собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с различной конфигурацией. Аналитическое решение таких задач, а также численное решение с использованием традиционных численных методов, может вызвать значительные трудности и не всегда целесообразно, особенно если область решения имеет сложную конфигурацию, а граничные условия содержат производную по нормали.
Одним из эффективных методов численного решения граничных задач для ряда уравнений эллиптического типа является метод точечных источников поля (МТИ) [1–7]. Этот метод применяется при моделировании электрических, магнитных, тепловых, концентрационных, упругих напряжений и других физических полей [8–17]. Преимуществом МТИ является его простота и значительно меньший объем вычислений в сравнении с традиционными численными методами решения граничных задач, такими, например, как метод конечных элементов (МКЭ). Применение МТИ может быть оправдано также при решении задач на собственные значения для уравнений эллиптического типа, например, уравнения Гельмгольца [18, 19].
1. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Ad. Vol. Comput. Math. — 1998. — Vol. 9. — P. 69–95.
2. Alves, C. J. S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C. J. S. Alves, C. S. Chen // Advances in Computational Mathematics. — 2005. — Vol. 23. — P. 125–142.
3. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении кра-евых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. — 2010. — № 1. — С. 3–12.
4. Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Енгибарян // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2014. — Т. 14., № 2 (77). — С. 15–20.
5. Князев, С. Ю. Решение трехмерных краевых задач для уравнений Лапласа с помощью метода дискретных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. — 2015. — № 5. — С. 25–30.
6. Бахвалов, Ю. А. Погрешность метода точечных источников при моделировании потенциальных полей в областях с различной конфигурацией / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. — 2012. — № 5. — С. 17–21.
7. Князев, С. Ю. Сравнительный анализ двух вариантов метода коллокаций при численном моделировании потенциальных полей / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Элек-тромеханика. — 2014. — № 1. — С. 17–19.
8. Князев, С. Ю. Решение задач тепло и массопереноса с помощью метода точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е.Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. — 2006. — № 4. — С. 43–47.
9. Князев, С. Ю. Моделирование полей упругих деформаций с применением метода точечных источников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2015. — Т. 15., № 1 (80). — С. 29–38.
10. Князев, С. Ю. Моделирование трехмерных полей упругих деформаций с помощью метода точечных ис-точников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2015. — Т. 15., № 4 (83). — С. 13–23.
11. Князев, С. Ю. Сравнительный анализ различных вариантов использования метода точечных источников поля при моделировании температурных полей / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Физико-математическое моделирование систем : материалы XII междунар. семинара. — Воронеж, 2014. — С. 52–56.
12. Лунин, Л. С. Исследование стабильности термомиграции ансамбля линейных зон с помощью трехмерной компьютерной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / Л. С. Лунин, С. Ю. Князев, Б. М. Середин, А. С. Полухин, Е. Е. Щербакова // Вестник Южного научного центра. — 2015. — Т. 11, № 4. — С. 9–15.
13. Князев, С. Ю. Математическое моделирование полей упругих деформаций методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Математические методы в технике и технологиях. — 2015. — № 5 (75). — С. 21–23.
14. Князев, С. Ю. Компьютерное моделирование потенциальных полей методом точечных источников / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков. — Ростов-на-Дону : Издательский центр ДГТУ, 2012. — 156 с.
15. Князев, С. Ю. Метод точечных источников для компьютерного моделирования физических полей в зада-чах с подвижными границами: дис. …доктора техн. наук / С. Ю. Князев. — Новочеркасск, 2011. — 342 с.
16. Князев, С. Ю. Численное исследование стабильности термомиграции плоских зон / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. — 2007. — № 1. — С. 14–19.
17. Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Известия Российской академии наук. Серия физическая. — 2008. — Т. 72., № 9. — С. 1259–1261.
18. Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных ис-точников / С. Ю. Князев // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. — 2007. — № 2. — С. 77–78.
19. Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для неоднородных уравнений Гельмгольца методом то-чечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. — 2014. — № 4. — С. 14–19.
20. Абрамовиц, А. Справочник по специальным функциям / А. Абрамовиц, И. Стиган. — Москва : Наука, 1979. — 832 с.
21. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. — Москва : Физматлит, 2001. — 576 с.
