Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Издревле людей интересует изучение окружающего их мира, в том числе форм. От чего появилась геометрия – метрическое описание Земли. Так как человек, по сути своей, является «решателем», то особый интерес людей всегда вызывают задачи трудно решаемые или не решаемые вовсе. Над такими задачами человечество может размышлять тысячелетиями. К задачам такого рода можно отнести «квадратуру круга», сформированную еще древнегреческим философом Платоном. К геометрическим построениям, предназначенным для отыскания решения, он предъявлял следующие требования: они должны выполняться лишь с помощью циркуля и линейки без делений.
квадратура круга, геометрические построения, циркуль и линейка, площадь круга, площадь эллипса.
При решении задач начертательной геометрии, как правило, прибегают к переходу в геометрию на плоскости (планиметрию). Это реализуется, например, при определении натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольных треугольников или одним из способов преобразования чертежа (введение вспомогательных плоскостей проекций, вращение вокруг проецирующей оси и пр.). В журнале «Геометрия и графика» уделяется большое внимание решению задач начертательной геометрии и развитию науки в целом [4-10]. При этом для решения ряда задач может оказаться необходимой оценка площадей различных плоских фигур. Под методами определения площади в данной статье подразумевается графические построения, позволяющие с той или иной точностью, достижимой на данный момент, определить величины сторон квадрата или прямоугольника с площадью, равной описываемой какой-либо заданной замкнутой линией. В данном случае в качестве таких линий рассмотрены замкнутые коники - окружность и эллипс. Известно, что ряд подобных задач не имеют точного решения, но при этом, как оказывается, на практике можно добиться точного результата, вполне удовлетворяющего требованиям к выполнению, например, графических, землемерных, строительных и других работ.
К задачам такого рода можно отнести «квадратуру круга», сформированную еще древнегреческим философом Платоном. К геометрическим построениям, предназначенным для отыскания решения, он предъявлял следующие требования: они должны выполняться лишь с помощью циркуля и линейки без делений. Как стало очевидно значительно позже, в XIX в., такие ограничения к способам решения делают задачу неразрешимой. Это утверждение основывается на доказательстве немецкого математика Линдермана того факта, что число π, определяющее отношение длины окружности к диаметру, трансцендентное, т.е. такое, которое не может служить корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами [2, 3]. При построениях, необходимых для получения величины стороны квадрата, равновеликого по площади заданному кругу, необходимо иметь возможность оперировать величиной , которая с точностью, необходимой для построений, равна 0,886. Следовательно, точность метода решения задачи зависит от того, насколько близкой к этой величине будет сомножитель, заменяющий ее в формуле
, (1)
где a - сторона искомого квадрата; S - площадь заданного круга.
Нам удалось найти решение задачи о «квадратуре круга», сформулированной Платоном с установленными им требованиями, которое дает результат с погрешностью, не превышающей 0,5%, что вполне удовлетворяет общепринятым требованиям к точности выполнения графических работ [1]. Оно состоит в следующем (см. рисунок 1).
С центрами в точках O и C, расположенными на одной оси, строятся, соответственно, заданный круг и касательная к нему дуга окружности того же радиуса. Из наиболее удаленной от центра C точки A круга проводят две касательные к дуге, которые пересекают периметр круга в точках E и F.
На основании продолжения хорды EF и длины отсекаемой ею большей части AG диаметра круга с помощью циркуля находят недостающие вершины L и H искомого квадрата AGLH.
Расчет величины отрезка AG, определяющего сторону искомого квадрата, сводится к использованию подобия пар треугольников ACD и AEB, откуда 
и ACD и AEG, откуда AG = 0,(8)d (сравните с 
), что и дает возможность решить задачу с указанной выше весьма незначительной погрешностью.
Формула площади эллипса S = πRr может быть представлена в виде
. (2)
Корень квадратный из площади (см. каждый из сомножителей последней формулы) - это не что иное, как сторона квадрата, равновеликого по площади кругу, образованному окружностью соответствующего диаметра. Значит, площадь эллипса с полуосями R и r равновелика площади прямоугольника, сторонами a и b которого являются стороны квадратов, равновеликих по площадям круга с радиусом R и r.
Построения, необходимые для определения величин a и b, производятся способом, аналогичным приведенным на рисунке 1, и показаны на рисунке 2. При этом погрешности определений, как указывалось выше, крайне незначительны.
Поскольку окружность представляет собой частный случай проекции эллипса, вращающегося вокруг своей меньшей оси (при ее параллельности плоскости проекций, что видно из рисунка 2), то построения с целью получения величин a и b можно было производить и на эллипсах, что, все же, нецелесообразно.
1. Волошин-Челпан Э.К. Приближенные методы решения задач о квадратуре круга и трисекции угла [Текст]/ Э.К. Волошин-Челпан, Н.С. Кадыкова, Г.Ф. Кудрявцев // Сб. «Современные проблемы геометрического моделирования», материалы Второй украинско-российской научно-практической конференции. – Харьков, 2007. – С. 260–202.
2. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. – 2013. – Т. 1. –№ 1. –С. 35–37.
3. Бермант А.Ф. Графический справочник по математике атлас кривых [Текст] / А.Ф. Бермант. – Москва, Ленинград: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1937. – 211 с.
4. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 2. – С. 3–8. – DOI: 10.12737/12163.
5. Иванов Г.С. К выбору посредника при решении первой позиционной задачи [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 1. – С. 26–30. – DOI: 10.12737/10455.
6. Волков В.Я. Элементы математизации теоретических основ начертательной геометрии [Текст] / В.Я. Волков [и др.] // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 1. – С. 3–15. – DOI: 10.12737/10453.
7. Иванов Г.С. Компетентностный подход к содержанию курса начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. – 2013. – Т. 1. – № 2. – С. 3–5. – DOI: 10.12737/775.
8. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение [Текст] Ч. 1./ Н.А. Сальков // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 1. – С. 16–25. – DOI: 10.12737/10454.
9. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение [Текст] Ч. 2 / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 2. – С. 9–22. – DOI: 10.12737/12164.
10. Сальков Н.А. Свойства циклид Дюпена и их применение [Текст] Ч. 3: сопряжения / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. – 2015. – Т 3. – № 4. – С. 3–14. –DOI: 10.12737/17345.
