Челябинск, Челябинская область, Россия
В плоскости П даны кривые линии, находящиеся в двухточечном соприкосновении (первого порядка гладкости). Показано, что при произвольном аффинном отображении плоскости П на плоскость П′ отношение q радиусов кривизны соприкасающихся кривых в точке касания не изменяется. В соответствии с теоремой Тиссо нелинейное отображение можно заменить аффинным в малой окрестности неособой точки. Показано, что при рассмотрении соприкосновения кривых с гладкостью второго и более высоких порядков такая замена может приводить к ошибочным выводам. В статье рассмотрен частный случай, когда в соприкосновении участвуют не произвольные кривые, а конические сечения. Доказано, что отношение радиусов кривизны соприкасающихся конических сечений в точке касания не меняется при произвольном проективном преобразовании. Для доказательства инвариантности отношения q используются проективные соответствия между пучками конических сечений, пучками прямых и точечными рядами первого и второго порядков. Рассмотрены пять свойств пучков конических сечений, из которых следуют три леммы: о проективности пучка коник и точечного ряда, о проективности двух пучков коник, о перспективном соответствии двух точечных рядов на прямых, пересекающих проективные пучки коник. Леммы позволяют доказать теорему о постоянстве отношения радиусов кривизны в точке прикосновения конических сечений при произвольном проективном преобразовании. Даны примеры практического применения доказанной теоремы в задачах начертательной геометрии. Показано, что для определения отношения радиусов кривизны двух конических сечений в точке их соприкосновения не требуется находить окружности кривизны данных коник, а достаточно вычислить сложное отношение четырех точек на произвольной секущей прямой, проходящей через точку касания кривых.
проективное преобразование, пучок конических сечений, окружность кривизны, инволюция на коническом сечении, теорема Тиссо.
Введение. На плоскости Π начерчены соприкасающиеся кривые a, b (рис. 1). В точке касания T обе кривые дважды дифференцируемы, радиусы их кривизны Ra и Rb отличны от нуля и не равны между собой. Кривые a, b находятся в двухточечном соприкосновении (первого порядка гладкости), поскольку имеют две общие бесконечно близкие точки A и B, в пределе совпадающие с точкой T, через которые проходит их общая касательная t [2; 3].
Пусть дано произвольное (нелинейное, непрерывное) взаимно однозначное отображение y = ϕ(x) точек xi плоскости П в точки yi плоскости П′. Образы a′, b′ кривых a, b в этом отображении сохраняют двухточечное соприкосновение. Радиусы кривизны Ra, Rb образов в точке их соприкосновения отличаются от радиусов кривизны Ra, Rb прообразов a, b. Как при таком отображении изменяется отношение q = Ra/Rb? Можно предположить, что q = q′, где q′= Ra, /Rb. Например, если кривые a, b имеют в точке соприкосновения равную кривизну (q = 1), то они находятся в трехточечном соприкосновении (второго порядка гладкости) [4].
1. Акопян А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка: монография [Текст] / А.В. Акопян, А.А. Заславский. — М.: Изд-во МЦНМО, 2007. — 136 с.
2. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия: учеб. пособие [Текст] / С.С. Бюшгенс. — М.: Изд-во ЛКИ, 2008. — 304 с.
3. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия: учеб. пособие [Текст] / М.Я. Выгодский. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. — 511 с.
4. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов: монография [Текст] / Я.Л. Геронимус. — М.: Физматлит, 1962. — 399 с.
5. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — С. 3–14. — DOI: 10.12737/5583.
6. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия: монография [Текст] / А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2008. — 216 с.
7. Глаголев Н.А. Проективная геометрия: учеб. пособие [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 343 с.
8. Грязнов Я.А. Отсек каналовой поверхности как образ цилиндра в расслояемом преобразовании [Текст] / Я.А. Грязнов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 17–19. — DOI: 10.12737/463.
9. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: учеб. пособие [Текст] / Н.В. Ефимов. — М.: Физматлит, 2003. — 584 с.
10. Иванов В.А. Математические основы теории автоматического регулирования: учеб. пособие [Текст] / В.А. Иванов, Б.К. Чемоданов, В.С. Медведев. — М.: Высшая школа, 1971. — 808 с.
11. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии: учеб. пособие [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1998. — 157 с.
12. Клейн Ф. Высшая геометрия: монография [Текст] / Ф. Клейн. — М.: УРСС, 2004. — 400 с.
13. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: монография: в 2 т. — Т. 2. Геометрия [Текст] / Ф. Клейн. — М.: Наука, 1987. — 416 с.
14. Короткий В.А. Двойное прикосновение в пучке поверхностей второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 1. — С. 9–14. — DOI: 10.12737/3843.
15. Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений [Текст] / В.А. Короткий // Омский научный вестник. — 2013. — № 1. — С. 9–14.
16. Короткий В.А. Об одном особом случае пересечения квадрик [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 2. — С. 49–51. — DOI: 10.12737/788.
17. Короткий В.А. Проективное построение коники: учеб. пособие [Текст] / В.А. Короткий. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2010. — 94 с.
18. Короткий В.А. Проективное построение коники, заданной пятью действительными элементами [Текст] / В.А. Короткий. — М., 2010. — 44 с.
19. Короткий В.А. Синтетические алгоритмы построения кривой второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2014. — № 11. — С. 20–24.
20. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия: учебное пособие [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: Изд-во АСВ, 2007. — 104 с.
21. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» [Текст] / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.
22. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики геометрии [Текст] / В.И. Серегин [и др.] // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3/4. — С. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.
23. Смогоржевский А.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка: справочник [Текст] / А.С. Смогоржевский, Е.С. Столова. — М.: Физматлит, 1961. — 263 с.
24. Умбетов Н.С. Конструирование эквипотенциальной поверхности [Текст] / Н.С. Умбетов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 11–14. — DOI: 10.12737/461.
