В данной работе предлагается новая геометрическая модель для построения кинематических линейчатых поверхностей, основанная на согласованных движениях в триадах, контактирующих аксоидов, состоящих из одного неподвижного (1) и двух подвижных (2, 3) аксоидов. Методическая основа предлагаемой геометрической модели состоит в том, что движение аксоида 2 относительно неподвижного аксоида 1 задает согласованное с этим движением обратное движение аксоида 3 относительно аксоида 2, причем взаимное расположение аксоидов триады в процессе всего движения сохраняется неизменным. В результате этих согласованных движений одна из прямолинейных образующих подвижного аксоида 3 генерирует в неподвижной системе координат, связанной с аксоидом 1, новую кинематическую линейчатую поверхность. Показано, что переход от известных моделей контактирующих пар линейчатых поверхностей, таких как «плоскость – цилиндр», «плоскость – конус», «цилиндр – цилиндр» или «конус – конус» к моделям согласованных движений в триадах контактирующих аксоидов открывает дополнительные возможности для построения новых кинематических линейчатых поверхностей. Для предложенной геометрической модели разработано соответствующее аналитическое описание и выполнена компьютерная графика генерируемых кинематических линейчатых поверхностей на основе следующих триад аксоидов: «плоскость – круговой цилиндр – круговой цилиндр», «плоскость – круговой конус – круговой конус», «круговой цилиндр – круговой цилиндр – круговой цилиндр», «круговой конус – круговой конус – круговой конус». Параметрическая зависимость генерируемых поверхностей от исходных линейчатых поверхностей триады контактирующих аксоидов обеспечивает широкое разнообразие результирующих линейчатых поверхностей, что с учетом графических возможностей разработанного ранее приложения ArtMathGraph позволяет использовать предложенную модель в качестве эффективного инструмента компьютерного моделирования технологически востребованных линейчатых поверхностей.
геометрическое моделирование, аналитическая геометрия, кинематическая линейчатая поверхность, компьютерная графика.
Современные достижения геометрического моделирования аналитических поверхностей систематизированы в «Энциклопедии аналитических поверхностей» [12], включившей в себя, в частности, класс технологически востребованных линейчатых поверхностей [15; 16; 19]. Разработка новых геометрических моделей построения оригинальных аналитических поверхностей в сочетании с использованием современных технологий компьютерной графики [3; 7; 13] моделируемых поверхностей относится к одному из актуальных направлений аналитической геометрии линейчатых поверхностей [14; 17; 30], включая прикладные аспекты в строительстве и архитектуре [9; 10; 18].
1. Короткий В.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей [Текст] / В.А. Короткий, Е.А. Усманова, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 3. — № 4. — C. 19–26. — DOI: 10.12737/17347.
2. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.М. Халаби. — М.: Наука, 2006. — 536 с.
3. Михайленко В.Е. Инженерная и компьютерная графика [Текст] / В.Е. Михайленко, В.В. Ванин, С.Н. Ковалев. — К.: Каравелла, 2013. — 328 с.
4. Рачковская Г.С. Геометрическое и компьютерное моделирование кинематических линейчатых поверхностей (однополостный гиперболоид вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов) [Текст] / Г.С. Рачковская, Ю.Н. Харабаев // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 2011. — Вып. 87. — С. 319–323.
5. Рачковская Г.С. Кинематические линейчатые поверхности на основе комплексного движения одного аксоида по другому (однополостный гиперболоид вращения в качестве неподвижного и подвижного аксоидов) [Текст] / Г.С. Рачковская, Ю.Н. Харабаев // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. — 2014. — № 3. — С. 23–31.
6. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании [Текст] / Н. А. Сальков // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 3. — C. 7–13. — DOI: 10.12737/6519.
7. Хейфец А.Л. Инженерная 3D-компьютерная графика [Текст] / А.Л. Хейфец [и др.]. — М.: Юрайт, 2013. — 464 с.
8. Barton M. Circular arc snakes and kinematic surface generation / M. Barton, L. Shi, M. Kilian, J. Wallner, H. Pottmann // Computer Graphics Forum. 2013. V. 32. DOI: 10.1111/cgf.12020.
9. Fallavollita F. The ruled surfaces in stone architecture / F. Fallavollita, M. Salvatore // Proceedings of the 10th International Forum of Studies (Architecture Design Landscape (the ways of the merchants)). 2012. P. 261–269.
10. Flöry S. Ruled Surfaces for Rationalization and Design in Architecture / S. Flöry, H. Pottmann // Advances in Architectural Geometry. 2010. P. 103–109.
11. Korn G. Mathematical handbook for scientists and engineers / G. Korn, T. Korn. NY, USA: McGraw-Hill, 1961. 720 p.
12. Krivoshapko S.N. Encyclopedia of Analytical Surfaces / S.N. Krivoshapko, V.N. Ivanov. — Switzerland: Springer, 2015. 752 p. DOI: 10.1007/978-3-319-11773-7.
13. Marschner S., Shirley P. Fundamentals of Computer Graphics / S. Marschner, P. Shirley. USA: Taylor & Francis Group, 2016. 723 p.
14. Odehnal B. Computing with discrete models of ruled surfaces and line congruences / B. Odehnal, H. Pottmann // Electron. J. Comput. Kinematics. 2002. V. 1/1. § 20 // Proceedings of the workshop “Computational Kinematics”. Seoul, Republic of Korea, 2001.
15. Odehnal B. Subdivision Algorithms for Ruled Surfaces / B. Odehnal // Journal for Geometry and Graphics. 2008. V. 12. No. 1. P. 1–18.
16. Peternell M. On the computational geometry of ruled surfaces / M. Peternell, H. Pottmann, B. Ravani // Computer-Aided Design. 1999. V. 31. P. 17–32.
17. Peternell M. Conchoid surfaces of rational ruled surfaces / M. Peternell, D. Gruber, J. Sendra // Computer Aided Geometric Design. 2011. V. 28. No. 7. P. 395–446.
18. Pottmann H. Architectural Geometry / H. Pottmann, M. Eigensatz, A. Vaxman, J. Wallner // Computers & Graphics. 2015. V. 47. P. 145–164. DOI: 10.1016/j.cag.2014.11.002
19. Prousalidou E. A parametric representation of ruled surfaces / E. Prousalidou, S. Hanna // Proceedings of the 12th International CAAD Futures Conference. Netherlands. Springer, 2007. P. 265–278. DOI: 10.1007/978-1-4020-6528-6_20.
20. Rachkovskaya G.S. Mathematical modelling of kinematics of ruled surfaces based on conical transformations of torses / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev // Proceedings of the 10th International Conference on Geometry and Graphics. Kiev, Ukraine. 2002. V. 1. P. 283–286.
21. Rachkovskaya G.S. Computer graphics of kinematic surfaces / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 12th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. Plzen, Czech Republic. 2004. P. 141–144.
22. Rachkovskaya G.S. The computer modelling of kinematic linear surfaces (based on the complex moving a cone along a torse) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the International Conference on Computing, Communications and Control Technologies (CCCT), Austin (Texas), USA, 2004. V. 1. P. 107–111.
23. Rachkovskaya G.S. Computer composition of the transformed classical surfaces as the ways and means of the construction of visual models of realistic objects (The new software application “ArtMathGraph”) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 15th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. Plzen, Czech Republic. 2007. P. 29–32.
24. Rachkovskaya G.S. Kinematic ruled surfaces (one-sheet hyperboloid of revolution as fixed and moving axoids) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 13th International Conference on Geometry and Graphics. Dresden, Germany, 2008. P. 190–191.
25. Rachkovskaya G.S. Geometric modeling and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of complex moving one axoid along another (one-sheet hyperboloid of revolution as fixed and moving axoids) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev // Proceedings of the 17th International Conference in Central Europe on Computer Graphics, Visualization and Computer Vision. Plzen, Czech Republic, 2009. P. 31–34.
26. Rachkovskaya G.S. Complex moving one axoid along another as the base of the new kinematic ruled surfaces (geometrical model & computer graphics) / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev // Proceedings of the International Workshop on Line Geometry & Kinematics. Paphos, Cyprus. IWLGK-11. 2011. P. 81–86.
27. Rachkovskaya G.S. Geometrical model and computer graphics of kinematic ruled surfaces on the base of pairs axoids: torse-cone and cone-torse / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 15th International Conference on Geometry and Graphics. Montreal, Canada. 2012. P. 151–152.
28. Rachkovskaya G.S. Two possible variants of geometrical model of constructing kinematic surfaces on the base of interior revolving one axoid by the another one / G.S. Rachkovskaya, Yu.N. Kharabayev, N.S. Rachkovskaya // Proceedings of the 16th International Conference on Geometry and Graphics. Innsbruck, Austria, 2014. P. 276–279.
29. Sprott K. Kinematic generation of ruled surfaces / K. Sprott, B. Ravani // Advanced in Computational Mathematics. 2002. V. 17. P. 115–133. DOI: 10.1023/A:1015211729988.
30. Sprott K. Cylindrical milling of ruled surfaces / K. Sprott, B. Ravani // Advanced in Manufacturing Technology. 2008. V. 38. P. 649–656.
