При изучении многомерных пространств и множеств подпространств обычно пользуются синтетическими и аналитическими методами. Недостатки синтетического метода — обращение к пространственному воображению и интуиции исследователя, невозможность формализации, необходимость построения больших и сложных логических конструкций — не позволяют, за редкими исключениями, выйти за пределы четырехмерного пространства. Теория исчислительной геометрии, представляемая как геометрия условий с основным элементом – условием инцидентности многомерных флагов позволяет решать многие задачи, которые до сих пор считались неразрешимыми. Самой простой из таких задач является классическая задача подсчета конечного числа подпространств данного пространства, удовлетворяющих множеству заданных условий (нормальная проблема алгебраической геометрии). Более серьезная задача – подсчет числа и значения алгебраических характеристик данного многообразия в данном пространстве. Для их решения была необходима разработка формализованного метода и алгоритмизация методики. Эта проблема была решена проф. В.Я. Волковым в его докторской диссертации при помощи разработанного им так называемого е-исчисления. Для понимания основ е-исчисления, или исчисления условий Шуберта, необходима достаточно хорошая математическая подготовка и популяризация метода. Последнее требует рассмотрения различных подходов к проблеме исчисления условий. В настоящей статье рассматриваются простейшие случаи табличного метода подсчета условий применительно к условиям инцидентности, которая понимается в общем смысле. Рассматривается исчисление единичных условий, условий размерности два, условий размерности (k + 1)(n – k) – 1. Объясняется формализация исчисления условий и редукция условий инцидентности. В качестве примера рассматривается задача о конечном числе прямых, пересекающих в n-мерном пространстве заданное число k-плоскостей. В частности, задача о числе прямых, пересекающих некоторое число заданных прямых, может быть корректна только в трехмерном и четырехмерном пространствах. Условия минимальной кратности, равной трем, существуют только в пространствах размерности 3k + 1. Условия кратности, равной четырем, существуют только в пространствах нечетной размерности. И так далее. Конкретное число прямых во всех случаях можно подсчитать редукцией соответствующих условий.
размерность, флаг, k-плоскость, условие инцидентности, редукция условий
При изучении многомерных пространств обычно используют следующие фундаментальные результаты [12; 15; 23; 24]. Во-первых, формулу Грассмана размерности множества k-плоскостей в n-мерном пространстве
dim G(n, k) = (k + 1)(n – k).
Во многих монографиях и учебниках эта формула легко доказывается аналитически или при помощи исчисления параметров. Во-вторых, формулу размерности k пространства пересечения m-плоскости и p-плоскости общего положения
k = m + p – n. (2)
Если значение k оказывается отрицательным, то считают, что данные подпространства не пересекаются или скрещиваются. Из формулы Грассмана можно сделать вывод, что различные множества k-плоскостей в n-мерном пространстве могут иметь размерность
0 # dim G(n, k) # (k + 1)(n – k).
Если множество k-плоскостей подчинено какому-либо условию, то размерность множества уменьшается. Минимальное значение соответствует конечному числу k-плоскостей, максимальное – грассманову многообразию k-плоскостей, на которое не накладывается никаких условий.
1. Волков В.Я. Алгоритмы разложения сложных условий в исчислительной геометрии [Текст] / В.Я. Волков // Автоматизация анализа и синтеза структур ЭВМ и вычислительных алгоритмов. — Новосибирск, 1977. — С. 108–110.
2. Волков В.Я. Исчисление Шуберта и проблема многозначных соответствий [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ96). Новосибирск, 1996. — С. 70.
3. Волков В.Я. Конструирование шубертовых многообразий и их применение [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // Геометрическое моделирование и компьютерная графика. — СПб., 1992. — С. 45–50.
4. Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. — Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. — 253 с.
5. Волков В.Я. Многомерная исчислительная геометрия: основные задачи [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // Вестник Сибирской автомобильнодорожной академии (СибАДИ). — 2005. — Вып. 3. — С. 54–59.
6. Волков В.Я. Многомерная исчислительная геометрия [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков. — Омск: Изд-во ОмГПУ, 2008. — 244 с.
7. Волков В.Я. Некоторые вопросы теории и приложения исчислительной геометрии [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // Геометрические модели и алгоритмы. — 1988. — С. 31–36.
8. Волков В.Я. Редуцируемые произведения многомерных циклов Шуберта [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков //Математика и информатика: наука и образование. — 2002. — Вып. 2. — С. 8–13.
9. Волков В.Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространств и еt приложения [Текст]: автореф. дис. … д-ра техн. наук / В.Я. Волков. — М., 1983. — 28 с.
10. Волков В.Я. Шубертовы многообразия, их свойства и применение [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1990. — Вып. 50. — С. 23–25.
11. Глаголев А.А. Числовая геометрия [Текст] / А.А. Глаголев, А.А. Глаголева. — М.: ВПАЛИ, 1936. — 72 с.
12. Гриффитс Ф. Принципы алгебраической геометрии [Текст] / Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. — М.: Мир, 1982. —Т. 1. — 496 с. — Т. 2. — 366 с.
13. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии [Текст] / Ф. Клейн. — М.: Наука, 1989. — Т. 1. — 456 с.
14. Попов И.А. Принцип сохранения числа [Текст] / И.А. Попов // Сборник статей по алгебраической геометрии. Труды научно-технической конференции Военно-транспортной академии. — 1938. — № 2. — С. 73–77.
15. Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс [Текст] / Дж. Харрис; пер. с англ. Ф.Л. Зака. — М.: МЦНМО, 2005. — 400 с.
16. Юрков В.Ю. Исчисление Шуберта и многозначные соответствия [Текст] / В.Ю. Юрков // Омский научный вестник. — 1998. — Вып. 2. — С. 57–59.
17. Юрков В.Ю. Исчислительные задачи для многообразий комбинаторной структуры [Текст] / В.Ю. Юрков // Омский научный вестник. — 2009. — № 3. — С. 44–48.
18. Юрков В.Ю. Исчислительный метод геометрии [Текст] / В.Ю. Юрков // Альманах современной науки и образования. — 2009. — № 6. — С. 232–236.
19. Юрков В.Ю. Конечные множества линейных объектов и условия инцидентности. — Деп. в ВИНИТИ 28.02.95. № 553 — В95. — 8 с.
20. Юрков В.Ю. О произведении неоднотипных условий Шуберта. — Деп. в ВИНИТИ 17.02.97, № 507 — В97. —7 с.
21. Юрков В.Ю. Основные уравнения связи неоднотипных условий в многомерных пространствах. — Деп. в ВИНИТИ 20.07.98, № 2258 — В98. — 9 с.
22. Юрков В.Ю. Цепи и циклы условий Шуберта [Текст] / В.Ю. Юрков // Альманах современной науки и образования. — 2009. — № 12. — С. 141–143.
23. Baker H.F. Principles of Geometry. — New York: Frederick Ungar Publishing Co., 1960. — Vol. IV–VI.
24. Kleiman S.L. Schubert calculus [Текст] / S.L. Kleiman, D. Laskov // Amer. Math. Monthly. — 1972. — 79. — P. 1061–1082.
