Хабаровск, Хабаровский край, Россия
Хабаровск, Хабаровский край, Россия
Рассматриваются известные проективные преобразования, а именно частные их виды, такие как гармонизм и инволюция. Известно, что проективные преобразования являются коллинеарными, при их выполнении сохраняется порядок, сложное отношение четверок элементов (на прямой линии — сложное отношение четырех точек, в пучке прямых — сложное отношение четырех прямых этого пучка, аналогично сохраняется это свойство (инвариант) и для пучка плоскостей, т.е. при рассмотрении форм первой ступени). При конструктивном подходе к таким преобразованиям имеется несколько способов определения положения соответственных элементов, которыми пользуются студенты при изучении дисциплины «Аффинная и проективная геометрия» по профилям подготовки 09.03.01 «Системы автоматизированного проектирования» и 09.03.03 «Прикладная информатика в дизайне». Полученные построения проверяются аналитическими вычислениями исходя из известных зависимостей для гармонизма и инволюций. При этом аналитически сравниваются результаты как для ряда точек, так и для пучка прямых, которые проходят через эти точки. Предусмотренная расчетно-графическая работа содержит три раздела: «Перспективность», «Гармонизм» и «Инволюция» и выполняется студентами по индивидуальным вариантам с применением по желанию графического редактора Microsoft Visio или графического пакета КОМПАС. В настоящей статье рассматриваются некоторые построения в определении соответственных точек в эллиптической и гиперболической инволюции, часть из них публикуется впервые. Кроме того, сформулировано положение: в прямоугольной системе координат произведение координат двух точек пересечения окружности с одной осью координат равно произведению координат двух других точек пересечения этой окружности с другой координатной осью. Это положение справедливо и для мнимых точек пересечения окружности с осями координат.
проективные преобразования, гармонизм, гиперболическая и эллиптическая инволюция, сложное от- ношение четырех точек, квадратичное отображение.
Известно, что инволюция (рассматриваются, например, два совмещенных проективных ряда соответственных точек на прямой линии — инволюционный ряд точек) бывает трех типов [2; 3; 9–11; 21]:
• гиперболическая, когда две двойные точки являются действительными;
• эллиптическая, здесь две двойные точки являются мнимыми;
• параболическая, в этом случае имеем две совпавшие двойные точки.
1. Варушкин В.П. Использование САПР для курсового проектирования [Текст] / В.П. Варушкин // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 3. — C. 41–45. — DOI: 10.12737/5591.
2. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — С. 3–8. — DOI: 10.12737/5583.
3. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 344 с.
4. Графский О.А. Введение мнимых элементов в начертательную геометрию [Текст]: монография / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. — 168 с.
5. Графский О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости [Текст]: монография / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. — 162 c.
6. Графский О.А. Основы аффинной и проективной геометрии [Текст]: учеб. пособие / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2013. — 135 c.
7. Графский О.А. Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях [Текст]: автореф. дис. ... д-ра техн. наук / О.А. Графский. — М., 2004. — 406 с.
8. Гузненков В.Н. Информационные технологии в графических дисциплинах технического университета [Текст] / В.Н. Гузненков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3/4. — C. 26–28. — DOI: 10.12737/2128.
9. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — С. 3–8. — DOI: 10.12737/12163.
10. Иванов Г.С. Теоретические и конструктивно-прикладные вопросы квадратичных кремоновых инволюций [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / Г.С. Иванов. — М., 1968. — 149 с.
11. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст]: учеб. пособие / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1998. — 157 с.
12. Инновации при изучении студентами проективной геометрии/ Инновации в теории геометрического моделирования при изучении студентами технических вузов фундаментальных и специальных дисциплин [Текст]: отчет о НИР. № ГР 02201361138, ИНВ. № 01201364859 (промежуточный). Часть 2 / ВНТИЦентр; рук. О.А. Графский. — Хабаровск, 2012. — 106 с.
13. Логиновский А.Н. Формирование и развитие профессиональных навыков студентов в курсе начертательной геометрии / А.Н. Логиновский, Е.А. Усманова, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 46–51. — DOI: 10.12737/12168.
14. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 22–23. — DOI: 10.12737/465.
15. Савельев Ю.А. К определению числа корней уравнений [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 24–25. — DOI: 10.12737/466.
16. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1. — C. 44–54. — DOI: 10.12737/18057.
17. Серегин В.И. Геометрические преобразования в начертательной геометрии и инженерной графике [Текст] / В.И. Серегин [и др.] // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 23–28. — DOI: 10.12737/12165.
18. Соколова Л.С. Многомерное пространство и наглядная геометрия в учебной программе по геометрической подготовке для бакалавриата [Текст] / Л.С. Соколова // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 1. — C. 40–46. — DOI: 10.12737/10457.
19. Столбова И.Д. Об обеспечении качества предметного обучения студентов технического университета / И.Д. Столбова // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 3. — № 4. — C. 27–37. — DOI: 10.12737/17348.
20. Усанова Е.В. Формирование базового уровня геометрографической компетентности в электронном обучении / Е.В. Усанова // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1.– C. 64–72. — DOI: 10.12737/18059.
21. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст]: учебник для пед. ин-тов / Н.Ф. Четверухин. — М.: Просвещение, 1969. — 368 с.
22. Staudt K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürnberg: Verlag der Fr. Korn`schen Buchhandlung, 1856. Heft 1. 129 s.
23. Staudt K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürnberg: Verlag der Fr. Korn`schen Buchhandlung, 1856. Heft 2. S. 131–283.
24. Staudt K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage. Nürnberg: Verlag der Fr. Korn`schen Buchhandlung, 1860. Heft 3. S. 285–396.
25. Staudt K.G.Ch. Geometrie der Lage. Nürnberg: Verlag von Bauer und Raspe, 1847. 216 s.
