Ростов-на-Дону, Россия
В статье предложен кинематический подход к конструированию поверхностей с эквиаффинным инвариантом объема отсека, ограниченного поверхностью, и площади сечений, параллельных плоскости параллелизма, на основе эквиаффинных преобразований плоскости. В частности, в статье рассмотрены параметрические уравнения каналовых поверхностей с плоскостью параллелизма xOy, сечения которых преобразованы путем эллиптического, параболического и гиперболического поворотов. В сечении z = 0 лежит кривая-прообраз, а в сечении z = h — кривая-образ после преобразования с заданными параметрами поворотов. Параметрические уравнения получены в общем виде с произвольностью выбора как кривой-прообраза для формирования каналовой поверхности, так и функций, задающих скорость изменения параметров поворотов. Рассмотрены некоторые общие свойства полученных поверхностей. Также рассмотрены некоторые частные случаи, определены для них траектории образующих линий. В случае линейного изменения параметра вдоль оси z поверхности эллиптического поворота представляют собой спиралеобразные и прямые винтообразные поверхности с постоянным и переменным шагом, однако траектория образующей огибает эллиптические конус и цилиндр. Во всех случаях образующие поверхностей эллиптического поворота являются пространственными кривыми. В случае линейного изменения всех параметров поверхности параболического поворота представляют собой линейчатую поверхность. Одним из частных случаев поверхностей параболического поворота является поверхность с двумя плоскостями параллелизма: xOy для эквиаффинно изменяющейся кривой-сечения и xOz для образующей. В случаях нелинейного изменения только одного из параметров образующие линии для поверхностей параболического и гиперболического поворотов представляют собой плоские кривые. Рассмотренные поверхности требуют дальнейшего изучения с целью возможности их использования в механизмах и сооружениях.
каналовая поверхность, эквиаффинные преобразования, равновеликие фигуры, эллиптический по- ворот, параболический поворот, гиперболический поворот, аффинно подобные кривые, параметрические уравнения, плоскость параллелизма.
Новые технологии, новые материалы, новые подходы к конструированию в настоящее время позволяют осуществлять такие замыслы инженеров, которые раньше были невозможны. В связи с этим становятся актуальными вопросы компьютерного моделирования изделий (деталей, строительных конструкций), первым этапом которого является построение геометрической модели. При этом аналитические модели используемых в проекте поверхностей дают дополнительное преимущество при построениях и прочностных расчетах.
1. Бездітний А.О. Моделювання каналової поверхні з криволінійною напрямною [Текст] / А.О. Бездітний [и др.] // Праці Таврійського державного агротехнологічного університету. — 2012. — Вип. 4. — Т. 54. — С. 9–14.
2. Беляева З.В. Геометрическое моделирование пространственных конструкций [Текст]: автореф. дис. ... канд. техн. наук / З.В. Беляева. — Пермь, 2015. — 16 с.
3. Грязнов Я.А. Математическая модель отсека каналовой поверхности, заданной дискретным каркасом образующих [Текст] / Я.А. Грязнов // Вестник Московского государственного университета леса — Лесной вестник. — 2013. — № 3. — С. 193–195.
4. Грязнов Я.А. Отсек каналовой поверхности как образ цилиндра в расслояемом образовании [Текст] / Я.А. Грязнов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 17–19. — DOI: 10.12737/463.
5. Гудаев О.А. Комбинаторика эквиаффинных слов для проектирования лексикографических кодов расширенной реальности [Текст] / О.А. Гудаев // Искусственный интеллект. — 2014. — № 2. — С. 51–74.
6. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств [Текст] / А.И. Долгарев. — Пенза: Информационно-издательский центр ПГУ, 2005. — 306 с.
7. Долгарев А.И. Одули Ли преобразований. Траектории и поверхности траекторий. Собственная геометрия поверхности [Текст] / А.И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. Математика. — 2008. — № 2. — С. 21–38.
8. Ефимов И.Н. Устойчивые алгоритмы на основе эквиаффинных преобразований [Текст] / И.Н. Ефимов, Е.А. Морозов, С.А. Жукова, В.В. Магафуров // Вестник ИжГТУ. — 2013. — № 3. — С. 165–167.
9. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований) [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1987. — 192 с.
10. Кокарєва Я.А. Аналітичні та комп'ютерні моделі поверхонь конгруенцій першого порядку прямих [Текст]: автореф. дис. ... канд. техн. наук / Я.А. Кокарєва. — Макіївка, 2011. — 203 с.
11. Кокарева Я.А. Конструирование поверхности с переменным сечением [Текст] / Я.А. Кокарева, Д.С. Науменко // Вісник Донбаської академії будівництва і архітектури. — 2012. — № 3. — С. 74–77.
12. Кокарева Я.А. Линейчатая поверхность эквиаффинных сечений [Электронный ресурс] / Я.А. Кокарева // Инженерный вестник Дона. — 2015. — № 4. — URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n4y2015/3355.
13. Кокарєва Я.А. Параболічна конгруенція прямих та її поверхні в параметрах параболічного звороту [Текст] / Я.А. Кокарєва // Комп'ютерно-інтегровані технології: освіта, наука, виробництво. — Луцьк: Изд-во ЛНТУ, 2011. — № 6. — С. 119–123.
14. Кокарева Я.А. Эквиаффинные свойства линейчатых поверхностей конгруэнций параболического поворота [Текст] / Я.А. Кокарева // «Строительство и архитектура — 2015»: Современные информационно-экономические технологии: тенденции и перспективы развития: материалы Международной научно-практической конференции. — Ростов н/Д: Изд-во Рост. гос. строит. ун-та, 2015. — С. 79–80.
15. Короткий В.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей [Текст] / В.А. Короткий, Е.А. Усманова, Л.И. Хмарова // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 3. — № 4. — C. 19–26. — DOI: 10.12737/17347.
16. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. — М.: Либроком, 2010. — 560 с.
17. Михайленко В.Е. Формообразование оболочек в архитектуре [Текст] / В.Е. Михайленко, В.С. Обухова, А.Л. Подгорный. — Киев: Будівельник, 1972. — 208 с.
18. Некрасова О.И. Геометрическое моделирование и автоматизация проектирования групп каналовых поверхностей [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / О.И. Некрасова. — М., 1984. — 171 с.
19. Ницын А.Ю. Конструирование точечного каркаса поверхности общего вида по заданным граничным условиям [Текст] / А.Ю. Ницын // Вестник Национального технического университета Харьковский политехнический институт. Серия «Информатика и моделирование». — 2007. — № 39. — С. 132–140.
20. Розенфельд Б.А. Аполлоний Пергский [Текст] / Б.А. Розенфельд. — М.: Изд-во МЦНМО, 2004. — 176 с.
21. Сальков А.В. Сопряжение поверхностей второго порядка каналовой поверхностью постоянного или переменного радиуса: автореф. дис. ... канд. техн наук [Текст] / А.В. Сальков. — Рига, 1969. — 194 с.
22. Сальков Н.А. Параметрическая геометрия в геометрическом моделировании [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2014. — № 3. — С. 7–13. — DOI: 10.12737/6519.
23. Сидякин С.В. Морфологические дескрипторы формы бинарных изображений на основе эллиптических структурирующих элементов [Текст] / С.В. Сидякин, Ю.В. Визильтер // Компьютерная оптика. — 2014. — № 3. — Т. 38. — С. 511–520.
24. Цвицинский И.В. Графо-аналитическое построение коллинеаций [Текст] / И.В. Цвицинский. — Кишинев: Редакционно-издательский отдел Академии наук Молдавской ССР, 1968. — 80 с.
25. Цвицинский И.В. Конструктивное исследование однопараметрических групп преобразований [Текст] / И.В. Цвицинский. — Кишинев: Штиинца, 1977. — 82 с.
26. Широков П.А. Аффинная дифференциальная геометрия [Текст] / П.А. Широков, А.П. Широков. — М.: Физматлит, 1959. — 319 с.
27. Яглом И.М. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Ч. 1. Аффинная геометрия [Текст] / И.М. Яглом, В.Г. Ашкинузе. — М.: Учпедгиз, 1962. — 248 с.
28. Nomizu K. Affine Differential Geometry [Текст] / K. Nomizu, T. Sasaki. — Cambridge University Press, 1994. — 268 p.
29. Raviv D. Affine-invariant diffusion geometry of deformable 3D shapes [Электронный ресурс] / D. Raviv, A.M. Bronstein, M.M. Bronstein, R. Kimmel, N. Sochen // Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR). 2011. URL: cs.technion.ac.il/~ron/PAPERS/Conference/RavBroBro- KimSocSMI2011.pdf/
30. Raviv D. Equi-affine Invariant Geometry for Shape Analysis [Электронный ресурс] / D. Raviv, A.M. Bronstein, M.M. Bronstein, D. Waisman, N. Sochen, R. Kimmel // Math Imaging Vision. 2013. URL: cs.technion.ac.il/~ron/PAPERS/ Journal/RavBroBroWaiSocKimJMIV2013.pdf/
