Челябинск, Челябинская область, Россия
Бирациональные (кремоновы) соответствия двух плоскостей П, П′ либо кремоновы преобразования на совмещенной плоскости П = П′ представляют собой эффективный аппарат конструирования гладких динамических кривых и двумерных обводов. Простейшим из бирациональных соответствий является квадратичное отображение Ω плоских полей друг на друга. В проективном определении квадратичного соответствия могут участвовать две пары мнимых комплексно сопряженных F-точек, заданных как двойные точки эллиптических инволюций на прямых, ассоциированных с третьей парой F-точек. В этом случае мнимые проективные F-пучки не удается использовать для построения точек, соответственных в Ω. В статье предлагается универсальный конструктивный алгоритм построения соответственных точек в квадратичном отображении Ω(П ↔ П′), заданном как действительными, так и мнимыми F-точками. Алгоритм основан на использовании вспомогательного проективного соответствия Δ между точками плоскостей П, П′ и преобразования Гирста Ψ с центром в одной из действительных F-точек. Доказана теорема о существовании инвариантной коники, общей для отображений Ω и Δ. Показана возможность представления квадратичного отображения в виде произведения коллинеации и преобразования Гирста: Ω = ΔΨ. Рассмотрено решение вспомогательных задач, возникающих при конструктивной реализации универсального алгоритма: построение конического сечения, инцидентного мнимым точкам, и построение соответственных точек в коллинеации, заданной мнимыми точками. Показано, что возможны два или четыре варианта коллинеации плоских полей П, П′, заданных с участием мнимых соответственных точек, что обусловлено неопределенностью порядка их взаимного соответствия. Полностью решена задача отображения прямой линии в коническое сечение в квадратичном кремоновом соответствии полей П ≠ П′, заданном парой действительных и двумя парами мнимых фундаментальных точек. Показано, что в общем случае задача имеет два решения. Полученные результаты служат развитию геометрической теории мнимых элементов и применению ее в линейной и нелинейной начертательной геометрии, оперирующей проективными образами первого и второго порядков.
гармоническая гомология, эллиптическая инволюция, поляритет, пучок конических сечений, автополярный треугольник, квадратичная инволюция.
Введение
В полях П, П′ указаны две пары проективных пучков
F1 ( j3, j2,a1 ) F1 ( j2 , j3 ,a1 ), (1)
F j j a F j j a 2 3 1 2 2 1 3 2 ( , , ) ( , , ). (2)
Выражения (1, 2) устанавливают точечное соответствие Ω плоских полей П и П′ (почти всюду взаимно однозначное), при котором точке A = a1 ∩ a2 поля П соответствует точка A = a a 1 2 поля П′, и наоборот, точке A′ поля П′ отвечает точка A поля П (рис. 1).
1. Волков В.Я. Элементы математизации теоретических основ начертательной геометрии [Текст] / В.Я. Волков [и др.] // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. – № 1. — C. 3–15. — DOI: 10.12737/10453.
2. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация [Текст] / Д.В. Волошинов. — Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. — 355 с.
3. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / О.А. Вольберг. — М.-Л.: Учпедгиз, 1949. — 188 с.
4. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов [Текст] / Я.Л. Геронимус. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 1962. — 399 с.
5. Гирш А.Г. Комплексная геометрия — евклидова и псевдоевклидова [Текст] / А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2013. — 216 с.
6. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 3–8. — DOI: 10.12737/5583.
7. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2008. — 216 с.
8. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 3. — C. 4–17. — DOI: 10.12737/14415.
9. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 343 с.
10. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. — 472 с.
11. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1987. — 192 с.
12. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования cвойств параметрически заданных кривых [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 3. — C. 3–6. — DOI: 10.12737/6518.
13. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 3–8. — DOI: 10.12737/12163.
14. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн; пер. с нем. Н.К. Брушлинского. — М.: УРСС, 2004. — 400 с.
15. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн; под ред. В.Г. Болтянского; пер. с нем. Д.А. Крыжановского. — М.: Наука, 1987. — 416 с.
16. Кокстер Х.С.М. Действительная проективная плоскость [Текст] / Х.С.М. Кокстер; под ред. А.А. Глаголева; пер. с англ. Т.В. Солнцевой. — М.: Физматлит, 1959. — 280 с.
17. Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений [Текст] / В.А. Короткий // Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии». — 2013. — № 1. — С. 9–14.
18. Короткий В.А. Проективное построение коники [Текст] / В.А. Короткий. — Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. — 94 с.
19. Короткий В.А. Синтетические алгоритмы построения кривой второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2014. –№ 11. — С. 20–24.
20. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: Изд-во АСВ, 2000. — 344 с.
21. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: Изд-во АСВ, 2007. — 104 с.
22. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» [Текст] / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011 г.
23. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 22–23. — DOI: 10.12737/465.
24. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1. — C. 44–54. — DOI: 10.12737/18057.
25. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / И. М. Дмитриева [и др.] // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3/4. — C. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.
26. Суворов Ф.М. Об изображении воображаемых точек и воображаемых прямых на плоскости и о построении кривых линий второй степени, определяемых с помощью воображаемых точек и касательных [Текст] /Ф.М. Суворов. — Казань: Типография императорского Университета, 1884. — 130 с.
27. Энциклопедия элементарной математики [Текст]. В 5 т. Т. 5: Геометрия / под ред. П.С. Александрова, А.И. Маркушевича, А.Я. Хинчина. — М.: Физматлит, 1963. — 567 с.
