Хабаровск, Хабаровский край, Россия
Хабаровск, Хабаровский край, Россия
Метод Декарта и Ферма позволил в координатной плоскости численно определять при помощи уравнений многие геометрические формы, в том числе и окружности, производить необходимые аналитические операции при реше- нии поставленных задач для многих теоретических и прикладных исследований различных научных направлений. Однако большинство исследований направлено либо на использование уравнения окружности и других коник для последующего анализа прикладной задачи, либо на аналитическое подтверждение конструктивного решения геометрических исследований, о чем высказывались еще Г. Монж и другие, в том числе российские, геометры. Естественно полагать, что окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой фиксированной другой точки — центра окружности — на постоянное расстояние R. Есть и другая формулировка определения окружности: это множество точек, из которых данный отрезок виден под постоянным направленным углом. Кроме того, окружность принимается за модель плоскости Евклида в известной схеме неевклидовых геометрий Кэли-Клейна, является абсолютом, который впервые дал А. Кэли в своих мемуарах. Классически может служить построение касательных к окружности, простым примером является их конструктивное определение, но возможны построения на основании известных положений проективной геометрии. Эти положения можно применить для построения касательных к окружности, эллипсу и гиперболе для определения мнимых точек пересечения окружности с прямой линией, что встречается в других вопросах геометрического характера. В статье показано построение касательных к окружности без применения дуг вспомогательных окружностей, что нашло свое применение для определения мнимых точек пересечения окружности с прямой линией (осью координат). Кроме того, аналитически определены различные зависимости параметра p2, равного произведению значений координат точек пересечения окружности с координатными осями.
окружность координатной плоскости, действительные и мнимые точки, аналитическое и конструктивное решение, математический пакет Maple.
Метод Декарта и Ферма позволил в координатной плоскости числено определять при помощи уравнений многие геометрические формы, в том числе и окружности, производить необходимые аналитические операции при решении поставленных задач для многих теоретических и прикладных исследований различных научных направлений, например [1; 2; 21; 27].
1. Аракелян А.Г. Бесконечные последовательности взаимно касающихся окружностей [Текст] / А.Г. Аракелян // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 3. — C. 29–35. — DOI: 10.12737/21531.
2. Бойков А.А. О круговых орбитах планет [Текст] / А.А. Бойков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 2.– C. 66–68. — DOI: 10.12737/795.
3. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. — М.: Наука, 1986. — 544 с.
4. Гирш А.Г. Критерий мнимости коник при различном их задании [Текст] / А.Г. Гирш // Начертательная геометрия и машинная графика в практическом решении инженерных задач: Межвузовский тематический сб. науч. тр. / ОмПИ. — Омск, 1986. — С. 51–54.
5. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 3–8. — DOI: 10.12737/5583.
6. Гирш А.Г. Точки пересечения и общие касательные двух окружностей [Текст] / А.Г. Гирш // Начертательная геометрия и машинная графика в практическом решении инженерных задач: Межвузовский тематический сб. науч. тр./ ОмПИ. — Омск, 1987. — С. 53–57.
7. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 3. — C. 4–17. — DOI: 10.12737/14415.
8. Графский О.А. Касательная к окружности [Текст] / О.А. Графский, О.В. Саенко // Научно-технические проблемы транспорта, промышленности и образования: Труды Всероссийской научно-практической конференции, 21–23 апр. 2010 г. — Т. 6. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2010. — С. 190–192.
9. Графский О.А. К вопросу построения касательной к гиперболе [Текст] / О.А. Графский, Н.А. Насонова // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке: труды Всероссийской молодежной научно-практической конференции с международным участием 20–22 апреля 2011, Хабаровск, ДВГУПС. — Т. 5. — С. 205–209. 22
10. Графский О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости [Текст]: монография / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. — 162 c.
11. Графский О.А. Некоторые методические аспекты геометрографической подготовки студентов [Текст] / О.А. Графский, Ю.В. Пономарчук // Проблемы и перспективы развития образования в технических вузах: Сб. матер. науч.-метод. конф., 8–10 ноября 2016 г. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2016. — С. 200–204.
12. Графский О.А. Обоснование построения касательной к окружности и эллипсу [Текст] / О.А. Графский, О.В. Саенко // Научно-технические проблемы транспорта, промышленности и образования: труды Всероссийской научно-практич. конференции, 20–22 апреля 2011 г. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2011. — С. 14–18.
13. Графский О.А. Окружность координатной плоскости [Текст] / О.А. Графский, Ю.В. Пономарчук // Естественные и технические науки. — 2017. — № 1. — С. 131–136.
14. Графский О.А. Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях [Текст]: автореф. дис. ... д-ра техн. наук / О.А. Графский. — М., 2004. — 406 с.
15. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 3–8. — DOI: 10.12737/12163.
16. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии как учебной дисциплины [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 26–27. — DOI: 10.12737/467.
17. Иванов Г.С. Теоретические и конструктивно-прикладные вопросы квадратичных кремоновых инволюций [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / Г.С. Иванов. — М., 1968. — 149 с.
18. Конакбаев К.К. О мнимых точках пересечения прямой с коникой [Текст] / К.К. Конакбаев // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Тр. ин-та МАИ. — М., 1970. — Вып. 4. — № 205. — С. 33–42.
19. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. — М.: Наука, 1977. — 832 c.
20. Кэли А. Шестой мемуар о формах [Текст] / А. Кэли // Об основаниях геометрии: Сб. классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей; ред. и вступ. ст. А.П. Нордена. — М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. — С. 222–252.
21. Милосердов Е.П. Траектории планетарных спутников в цилиндрических проекциях [Текст] / К.И. Волков, Е.П. Милосердов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 15–16. — DOI: 10.12737/462.
22. Монж Г. Начертательная геометрия [Текст] / Г. Монж; под общ. ред. Т.П. Кравца; пер. с фр. В.Ф. Газе. — Л.: Изд-во АН СССР, 1947. — 297 с.
23. Протокол 79-го заседания. 31 марта 1898 г. [Текст] / Известия Физико-математического общества Императорского Казанского университета. Вторая серия. — Казань: Типолитография Императорского ун-та, 1898. — Т. 8. — № 2. — С. 18–20.
24. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения: Справочное руководство [Текст] / А.А. Савелов. — М.: РХД, 2002 . — 294 с.
25. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел [Текст] / Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 22–23. — DOI: 10.12737/2079.
26. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1. — C. 44–54. — DOI: 10.12737/18057.
27. Сальков Н.А. Эллипс: касательная и нормаль [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 35–37. — DOI: 10.12737/470.
28. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин [и др.] // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3/4. — C. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.
29. Чекмарев А.А. Справочник по машиностроительному черчению [Текст] / А.А. Чекмарев, В.К. Осипов. — М.: Высшая школа, 1994. — 671 с.
30. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. — М.: Просвещение, 1969. — 368 с.
31. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия [Текст] / И.М. Яглом. — М.: Наука, 1969. — 303.
