Челябинск, Челябинская область, Россия
Геометрическое соответствие между точками двух плоскостей может считаться вполне определенным лишь тогда, когда имеются исходные данные, его устанавливающие, и указан способ построения, с помощью которого на основании этих данных можно для каждой точки одной плоскости находить соответственные точки другой. Квадратичное кремоново преобразование можно задать, указав на совмещенной плоскости семь пар соответственных точек. Естественным образом возникает необходимость установить способ построения любого количества соответственных точек. Выдающийся российский геометр К.А. Андреев указал линейное построение, основанное на рассмотрении двух корреляций, с помощью которого для каждой восьмой точки одной плоскости находится соответствующая точка другой. Но в его работе не ставилась задача построения исключенных (фундаментальных) точек квадратичного кремонова преобразования, заданного семью парами точек. Известно множество конструктивных способов получения квадратичного преобразования на плоскости. Например, оно может быть получено с помощью двух пар проективных пучков прямых с вершинами в фундаментальных точках (F-точках). К.А. Андреев отмечал, что такой способ установления квадратичного соответствия распространяется только на те случаи, когда все F-точки суть действительные. Это утверждение, справедливое для уровня геометрической науки XIX в., на сегодняшний день слишком категорично. Теория мнимых элементов в геометрии позволяет разработать универсальный алгоритм построения соответственных точек в квадратичном преобразовании, заданном как действительными, так и мнимыми F-точками. Обобщая задачу К.А. Андреева, приходим к проблеме поиска фундаментальных точек (F-точек) квадратичного преобразования, заданного семью парами соответственных точек. Почти полтора столетия обобщенная задача К.А. Андреева оставалась нерешенной. Формирование конструктивного алгоритма решения задачи и его практическая реализация стали возможны с помощью современных средств компьютерного геометрического моделирования. Согласно предлагаемому алгоритму построение F-точек сводится к построению вспомогательных кривых второго порядка, на пересечении которых отмечаются искомые F-точки. Полученный в статье результат служит развитию теории кремоновых преобразований и дальнейшему применению этой теории в практике геометрического моделирования.
фрактал, фрагмент теплозащиты, метод броуновского движения, фрактальная модель поверхности.
Введение. Геометрическое соответствие между точками двух плоскостей (различных или совмещенных) может считаться вполне определенным лишь тогда, когда имеются исходные данные, его устанавливающие, и указан способ построения, с помощью
которого на основании этих данных можно для каждой точки одной плоскости находить соответственные точки другой [1; 2; 13; 25; 26].
1. Андреев К.А. О геометрических соответствиях в применении к вопросу о построении кривых линий / К.А. Андреев. — М.: Издание Московского Математического общества, состоящего при Императорском Московском Университете, 1879. — 168 с.
2. Волков В.Я. Элементы математизации теоретических основ начертательной геометрии [Текст] / В.Я. Волков [и др.] // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 1. — C. 3–15. — DOI: 10.12737/10453.
3. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов [Текст] / Я.Л. Геронимус. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 1962. — 399 с.
4. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 3–8. — DOI: 10.12737/5583.
5. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 3. — C. 4–17. — DOI: 10.12737/14415.
6. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 343 с.
7. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. — 472 с.
8. Графский О.А. Об установлении взаимной связи ряда и пучка второго порядка / О.А. Графский // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 2. — C. 8–18. — DOI: 10.12737/19828.
9. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: учебное издание / Н.В. Ефимов. — М.: Физматлит, 2003. — 584 с.
10. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1987. — 192 с.
11. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования cвойств параметрически заданных кривых [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — №. 3. — C. 3–6. — DOI: 10.12737/6518.
12. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / И.М. Дмитриева, Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. C. 3–8. — DOI: 10.12737/12163.
13. Иванов Г.С. Принцип двойственности — теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач / И.М. Дмитриева, Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 3. — C. 3–10. — DOI: 10.12737/21528.
14. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. — М.: УРСС, 2004. — 400 с.
15. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]: В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн. — М.: Наука, 1987. — 416 с.
16. Кокстер Х.С.М. Действительная проективная плоскость [Текст] / Х.С.М. Кокстер. — М.: Физматлит, 1959. — 280 с.
17. Короткий В.А. Синтетические алгоритмы построения кривой второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2014. — № 11. — С. 20–24. — DOI: 10.14489/ issn.1810-7206.
18. Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений / В.А. Короткий // Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии». — 2013. — № 1. — С. 9–14.
19. Короткий В.А. Универсальный компьютерный коникограф / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // Труды 26-й Международной научной конференции GraphiCon 2016 (19–23 сентября 2016). — Нижний Новгород: Изд-во ННГАСУ. — С. 347–351.
20. Короткий В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 4. — С. 19–30. DOI: 10.12737/22840.
21. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: АСВ, 2000. — 344 с.
22. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.
23. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1. — C. 44–54. — DOI: 10.12737/18057.
24. Сальков Н.А. Геометрическое моделирование и начертательная геометрия / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 4. — C. 31–40. — DOI: 10.12737/22841.
25. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / И.М. Дмитриева [и др.] // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3/4. — C. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.
26. Серегин В.И. Геометрические преобразования в начертательной геометрии и инженерной графике / И.Ф. Боровиков [и др.] // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 23–28. — DOI: 10.12737/12165.
27. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве [Текст] / М. Пратт, А. Фокс. — М.: Мир, 1982. — 304 с.
28. Юрков В.Ю. Формальное представление условий инцидентности в многомерных проективных пространствах / В.Ю. Юрков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 4. — C. 3–13. — DOI: 10.12737/22838.
29. Яглом И.М. Геометрические преобразования / Л.С. Атанасян, И.М. Яглом // Энциклопедия элементарной математики: В 5 т. Т. 4: Геометрия. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 50–157.
