Каковы методы введения объектов научных теорий? Задавая этот вопрос, необходимо, прежде всего, помнить, что: а) объектами научных теорий являются идеальные, а не реальные объекты, и что б) в любой теории существует два разных вида объектов: исходные (базовые) и производные [5, 8].

Методы введения исходных объектов научной теории

Как известно, в геометрии Эвклида имеется только два исходных теоретических объекта: геометрическая точка и идеальная прямая линия. Все остальные объекты эвклидовой геометрии (разного рода линии, плоские и объемные фигуры, образующие теоретическую геометрическую реальность) являются производными. И число производных объектов любой научной теории в принципе неограниченно и может быть всегда путем их комбинаторики увеличено. Например, в геометрии ее производными теоретическими идеальными объектами являются окружность, угол, различные ломаные линии, все плоские фигуры, все объемные фигуры (шар, параллелепипед, цилиндр и т.д.), а также все, что может быть построено из них в логически возможных и непротиворечивых комбинациях [2, 4]. В классической механике ее производными теоретическими объектами являются: математический маятник, идеальный газ, абсолютно черное тело, абсолютно упругое тело, дальнодействие, абсолютное пространство, абсолютное время и т.д. [10, 12].

Если говорить о методах введения в научную теорию ее исходных объектов, то существует три таких метода:

1) идеализация свойств эмпирического объекта;

2) чисто мысленное конструирование (введение по определению);

3) неявное введение с помощью системы аксиом.

Идеализация через предельный переход. Большинство исходных идеальных объектов конкретно-научных теорий было сконструировано мышлением первым методом, т.е. путем предельного перехода от наблюдаемых свойств эмпирических объектов. Например, так были получены исходные теоретические объекты эвклидовой геометрии – точка и прямая, исходные теоретические объекты арифметики – натуральные числа, исходные теоретические объекты классической механики – материальная точка, энергия, дальнодействие, абсолютное пространство и абсолютное время, исходный теоретический объект релятивистской космологии – точка сингулярности. В чем заключается суть метода предельного перехода? Он состоит в доведении интенсивности свойств наблюдаемых объектов до предельных значений (имеющих на соответствующей шкале интенсивности значения либо 1, либо 0). Наблюдать в опыте объекты и свойства с такими значениями нельзя, но допустить мысленное существование таких объектов вполне возможно, так как в таком допущении не содержится никакого внутреннего логического противоречия. Например, можно наблюдать или построить последовательность математических объектов, которые будут последовательно уменьшаться в своих размерах. Очевидно, что любой наблюдаемый объект этой последовательности будет всегда иметь некоторые, вполне определенные размеры. Но логическим пределом такой последовательности будет уже являться объект, не имеющий абсолютно никаких размеров, никакой величины. Этот лишь логически возможный или чисто мыслимый объект уже принципиально наблюдать невозможно. Таким объектом и стала геометрическая точка в геометрии Эвклида. Аналогичным способом были введены такие идеальные объекты (только большие по размерам) геометрии и космологии, как бесконечное пространство, бесконечное время и бесконечная Вселенная. Отправляясь от эмпирически наблюдаемой последовательности почти одномерных объектов, сначала было выработано такое теоретическое понятие, как «геометрическая линия», а затем и понятие «прямая линия» и «отрезок прямой». «Прямая линия» как теоретический объект геометрии обладает такими, уже ненаблюдаемыми, свойствами, как абсолютная одномерность, абсолютная прямизна, абсолютная однородность, бесконечность (по крайней мере, потенциальная). Идеализацией через предельный переход были получены и такие исходные идеальные объекты арифметики, как натуральные числа. На опыте мы наблюдаем совокупности материальных объектов, состоящие из разного количества предметов: одного, двух, трех и т.д. Очевидно, что совокупность, состоящая из трех яблок (камней, деревьев, людей и т.п.), больше совокупности, состоящей из двух яблок или только одного яблока. Натуральное число n как теоретический объект арифметики есть общее свойство всех совокупностей материальных предметов, которые состоят из n элементов. Например, натуральное число 0 есть общее свойство всех пустых классов, т.е. совокупностей, в которых не содержится ни одного предмета. В известном смысле 0 – это виртуальное свойство, потому что реально существующие совокупности состоят как минимум из одного предмета. Натуральное число 2 – это обозначение общего свойства всех реальных и возможных совокупностей, которые состоят только из двух предметов. Обобщая эмпирический смысл такого идеального объекта, как натуральное число, Г. Фреге и Б. Рассел дали ему следующее определение: «натуральное число – это класс всех равночисленных классов» (определение натурального числа Фреге-Рассела). Что же позволило ввести натуральное число как идеальный объект такой математической теории, как арифметика натуральных чисел? Это были три чисто мысленных допущения (поскольку в реальной материальной действительности они в строгом смысле не реализуемы и соответственно не наблюдаемы).

Первое допущение: допущение о возможности существовании полностью тождественных предметов, к которым только и применимы в строгом смысле главные (исходные) арифметические операции: пересчет, сложение, вычитание. Когда кто-то говорит в арифметике что 3 больше 2, он неявно подразумевает, что речь идет о пересчете и сравнении полностью тождественных предметов, иначе утверждение что 3 больше 2 будет не только не строгим, но, по существу, бессмысленным. Другими словами, когда мы считаем или численно сравниваем совокупности реальных предметов, мы с логической необходимостью предполагаем, что все они тождественны друг другу. Хотя реально они таковыми быть не могут и обязательно в чем-то отличаются друг от друга. В основе арифметического подсчета количества предметов любой реальной совокупности всегда лежит абстракция полного отождествления этих предметов как элементов некой реальной совокупности. Идеальными объектами арифметики натуральных чисел являются не только все положительные натуральные числа, но также 0 и все отрицательные натуральные числа (-5, -8, -10⁵ и т.п.). Второе мысленное допущение, которое используется при мысленном конструировании такого идеального объекта, как «натуральное число» состоит в предположении существования (или возможности построить) сколь угодно больших и сколь угодно малых чисел. Это допущение, в свою очередь, основывается на третьем предположении, гипотезе о принципиальной возможности реализовать операцию «итерации» – постоянного еще раз прибавления «единицы» к любому сколь угодно большому натуральному числу и тем самым построению бесконечного по численности натурального ряда чисел. Очевидно, что живущее человечество в принципе не располагает бесконечным временем, а также бесконечной энергией для осуществления бесконечного количества операций итерации.

Вне указанных выше трех чисто мысленных допущений построение такого исходного и фундаментального объекта и понятия арифметической теории, как натуральное число в принципе невозможно. Более того, только после введения в арифметику натурального числа в качестве ее особого теоретического (идеального) объекта стало возможно не только более строго описывать количественные характеристики различных совокупностей материальных предметов и, соответственно, сравнивать их между собой, но и применять операцию счета, а также другие арифметические операции к самим натуральным числам, их совокупностям (множествам), а позже – и к построенным из этих исходных идеальных объектов арифметики другим ее идеальным объектам (рациональные числа, иррациональные числа, мнимые числа, комплексные числа, гиперкомплексные числа, матрицы и т.п.) [1]. Методом идеализации через предельный переход были мысленно сконструированы теоретические объекты не только эвклидовой геометрии и арифметики натуральных чисел (это было сделано уже в эпоху античности – Пифагор, Фалес, Эвклид, Евдокс и др.), но и многие теоретические объекты естествознания. Первыми областями были астрономия и физика. Идея Земли как центра Вселенной и эпициклические траектории движения Солнца и планет вокруг Земли в астрономической теории Птолемея были, несомненно, получены как результат идеализации наблюдения за реальным перемещением Солнца и планет относительно Земли и фиксацией этих регулярных перемещений не только астрономами, но и обычными людьми. В ходе мысленной идеализации реальных астрономических наблюдений в рамках теории Птолемея Земля как реальная относительная система отсчета стала рассматриваться в качестве абсолютной и единственно возможной, а траектории движения всех небесных тел как в своей основе круговые и равномерные [3, 7]. Немалую роль в закреплении таких идеализаций в астрономии Птолемея сыграли философские собрания (прежде всего, натурфилософия Аристотеля), а позже и религиозные (ссылка на Священное Писание). Но в целом астрономическая теория Птолемея была таким же полноценным научным построением с соответствующим набором идеализаций и достаточно хорошим соответствием наблюдаемым фактам, как и геометрия Эвклида и арифметика Пифагора. Разумеется, в любой научной теории в силу идеализированного характера ее объектов всегда будет иметь место некоторое расхождение между утверждением теории и реальным эмпирическим соотношением дел. Более того, между ними никогда не будет полного (абсолютного) тождества просто в силу различных методов построения эмпирического и теоретического знания. И главный вопрос здесь заключается лишь в определении допустимой степени и качества расхождения между теоретическими и эмпирическими высказываниями. И, как убедительно демонстрирует вся история применения научных теорий, этот вопрос, вопрос о допустимой степени расхождения между теорией и опытом решается не чисто теоретически, а практически (К. Маркс) [9]. Практический успех применения той или иной теории оправдывает или, наоборот, не оправдывает все же имеющуюся определенную степень несоответствия теории данным эмпирического, а тем более чувственного опыта. При этом необходимо помнить, что степень строгости и точности самых практических проблем разного рода и их материальных воплощений также не являются чем-то абсолютно одинаковым и неизменным. В этом отношении сам критерий практики как определитель допустимой степени расхождения (или, наоборот, совпадения) между теорией и опытом является не абсолютной, а всегда относительной характеристикой при своем конкретном применении.

Астрономическая теория Коперника, пришедшая на смену теории Птолемея, также не была свободна от идеализаций. Это, прежде всего, ее представления о круговом и равномерном движении Земли и всех планет Солнечной системы вокруг Солнца как неподвижного центра и единственно истинной системы отсчета для описания астрономических наблюдений за Небом. Во-вторых, астрономическая теория Коперника исходила из представления о Солнце как вечном и неизменном объекте Вселенной. В-третьих, она опиралась на представление о вечности и пространственной бесконечности Вселенной (Дж. Бруно) [7]. Позднее, сначала с позиций небесной механики, затем – частной и общей теории относительности, но особенно – с точки зрения современной релятивистской космологии стали очевидны не только теоретически идеализированный характер системы Коперника, но и ее явное несоответствие реальным траекториям движения планет вокруг Солнца. Эти траектории, как показали Кеплер и Ньютон, имеют: во-первых, не круговой, а эллиптический характер; во-вторых, неравномерную скорость движения по этим орбитам; а, в-третьих, лишь статистически-эллиптический характер, так как имеет место взаимодействие реальных планет не только с Солнцем, но и друг с другом, а также с другими небесными объектами. В-четвертых, на более сложный, чем идеально-эллиптический, характер траекторий движения планет влияют различного рода астрономические и физические флуктуации. И более того, с практической точки зрения оказалось, что теория Коперника менее точна и универсальна, чем теория Птолемея, а обе они одинаково плохи по сравнению с астрономической теорией Кеплера-Ньютона. Да и последняя теория, оказалось, во-первых, не полностью соответствует реальному положению дел с движением планет Солнечной системы (проблема перигелия Меркурия), а во-вторых, прошлому Солнечной системы, и особенно ее возможному будущему [3, 7].

При создании классической механики методом идеализации через предельный переход были введены все исходные объекты данной теории. Это материальная точка (геометрическая точка, имеющая массу), инерция (состояние абсолютного покоя или прямолинейного равномерного движения тела при абсолютном отсутствии трения), пустота (абсолютное отсутствие какой-либо материальной среды), дальнодействие (бесконечная скорость передачи физического воздействия от одного тела к другому), абсолютное пространство, абсолютное время [5, 7].

В классической термодинамике ее исходный теоретический объект – абсолютно изолированная термодинамическая система также был получен с помощью предельного перехода от наблюдения за свойствами реальных термодинамических систем. В молекулярно-кинетической теории газов Больцмана ее исходным теоретическим допущением было отождествление молекул газа со множеством упругих материальных точек, хаотически сталкивающихся друг с другом [16].

Философия как теоретическая форма мировоззрения также стала возможной лишь после того, как античными философами был введен в ее структуру ряд идеальных сущностей, таких как чистое бытие, ничто, сознание, абсолютное благо, мировой Разум (Логос), первопричина, абсолютная объективная истина, объективная идея (как чистая форма или чистая возможность вещи), умозрение, идеальный человек, идеальное общество, идеальное государство, абсолютные нормы морали, абсолютная красота (Парменид, Сократ, Платон и др.). Эти идеальные объекты философской теории также были введены путем применения операции предельного перехода к эмпирическим объектам, таким как реальное бытие, психика, причина, добро, польза, совпадение содержания вещей и образов этих вещей, понятие, интуиция, относительно совершенный человек, относительно развитое общество, относительно развитая система управления обществом, следование долгу и совести, относительное совершенство и гармония и др.) [6]. В опоре на идеальные объекты как на свой непосредственный предмет философская теория ничем принципиально не отличается от различных конкретно-научных теорий. Различие между ними, как и между самими конкретно-научными теориями, лишь в степени общности и конкретном содержании их идеальных объектов. И отсюда не случайно, что первая развитая конкретно-научная теория (геометрия Эвклида) и первая развитая система теоретической философии появились в Древней Греции. Именно в античной философии была отрефлексирована в качестве принципиальной идея, что материальная вещь и ее идея («понятие») никогда полностью не совпадают в своем содержании, что вещи и идеи имеют разную природу и онтологический статус («быть вещью» и «быть идеей вещи» – не одно и то же; это качественно различные виды бытия). Как следствие, древнегреческими философами было сформулировано и обосновано положение, что непосредственным предметом науки как доказательной системы знания могут и должны быть не (сами) вещи, а идеи вещей (как идеальные прототипы, идеальные образцы, как формы и потенции вещей – Фалес, Парменид, Пифагор, Платон, Сократ, Аристотель и др.). Вот почему именно в Древней Греции был сформулирован проект создания новой науки как теоретического способа познания действительности в противоположность эмпирико-практическому пониманию метода научного познания в науке Древнего Востока. Пониманию науки как теоретического способа познания действительности человечество обязано исключительно Древней Греции. Именно там был заложен фундамент и обоснована значимость теоретического уровня сознания в науке [8]. Однако метод конструирования исходных идеальных объектов научных теорий с помощью предельного логического перехода от соответствующих эмпирических объектов является лишь одним из трех методов построения теоретических объектов. Вторым методом введения в научные теории их исходных идеальных объектов является способ введения их просто в качестве логически возможных мысленных сущностей или метод конструктивного введения идеальных объектов.

Конструктивное введение идеальных объектов. Этот метод получил применение в основном в математике и лишь частично в естествознании и других науках. Именно таким методом были введены в арифметике сначала отрицательные и действительные (иррациональные) числа, а позже – мнимые и комплексные числа. В частности, о мнимых числах как об идеальных объектах, созданных путем чисто логического конструирования, а не через предельный переход, остроумно высказался Ст. Хокинг: …«это чисто математическая конструкция. Они не нуждаются в физической реализации; никто, например, не может иметь мнимое число органов или мнимый счет на кредитной карте» [14, с. 67]. Введение идеальных объектов в теорию вторым методом является конструктивно-гипотетической процедурой. Оправдание такого введения, как правило, является не эмпирическим (хотя может случиться и такое, как это было с введением в теорию элементарных частиц таких первоначально чисто мысленных сущностей с дробным электрическим зарядом как кварки), а прагматическим. Их введение обычно связано с доведением некоторой теории до логически целостного вида (как это было с введением отрицательных, вещественных, мнимых и комплексных чисел в арифметике и алгебре). Но оно помогает выводить из теории в целом новые следствия и предсказания, которые могут хорошо соответствовать опыту (данным наблюдения и эксперимента). Например, именно так был введен в частную теорию относительности такой ее исходный идеальный объект, как четырехмерный континуум – пространство-время. Именно так был введен в общую теорию относительности такой ее исходный идеальный объект, как пространство переменной кривизны Римана. Именно таким конструктивно-гипотетическим методом были введены в современные фундаментальные физические теории такие исходные идеальные объекты, как струны и браны (теория суперструн), а также мнимое время в квантовой теории гравитации. Струны – это чисто одномерные физические объекты. У них есть только длина. «Струны в теории струн движутся на фоне пространства-времени, а их колебания интерпретируются как частицы» [14, c. 61].

Струны как одномерные объекты могут иметь концы (наподобие «кусочка» любой прямой или кривой линии), а могут и не иметь, замыкаясь на себя и образуя петли (в частности, наподобие окружностей, эллипсов и более замысловатых замкнутых кривых). Но самое главное их отличительное свойство состоит в том, что все математические операции с ними (сложение, умножение и т.п.) не подчиняются правилам обычной коммутативной алгебры, где действует закон коммутативности A×B=B×A. Поведение и взаимодействие струн подчиняется законам некоммутативной алгебры и описывается числами Грассмана, для которых верно соотношение A×B=-B×A. Понятие «струны» было обобщено до понятия «браны» как идеального объекта, могущего иметь в отличие от струн больше одного измерения (в общем случае p-измерений). Например, известный геометрический объект тор (бублик) – это пример свернутой 2-мерной браны. Пустой цилиндр или конус – это также примеры свернутых бран. С точки зрения теории суперструн пространственная ткань нашей Вселенной может иметь как протяженный (развернутый) характер, так и свернутый (частично или полностью). Например, пространство может быть свернуто в разных местах цилиндрически, конусообразно, шарообразно и другим образом. Очевидно, что современная физическая теория суперструн или квантовая теория гравитации опирается на более широкое понимание пространства по сравнению с общей теорией относительности или стандартной квантовой механикой, не говоря уже о классической механике (и шире – всей классической физике) с ее представлениями об эвклидовом характере физического пространства [14].

Другим примером конструктивно-гипотетического введения идеальных объектов в научную теорию является «мнимое время» в квантовой механике и квантовой теории гравитации, а также такой новый теоретический объект квантовой теории гравитации, как пятимерный континуум. К известному четырехмерному континууму частной теории относительности чисто мысленно прибавляется еще одно измерение – мнимое время. Оно «течет» перпендикулярно по отношению к реальному времени. В отличие от реального времени мнимое время не имеет выделенного направления. Оно изотропно и может иметь не только положительное значение, но и отрицательное, не только возрастать, но и уменьшаться. Но самое интересное заключается в том, что мнимое время измеряется мнимыми числами. Если в классической физике (механике и термодинамике), а также теории относительности имеется только действительное время, в квантовой механике используется как действительное время (анизотропное, имеющее всегда определенное направление: от прошлого к будущему), так и мнимое (изотропное) время [14].

Исходным идеальным объектом современной релятивистской космологии, также введенным конструктивно мысленно, является начальное состояние Вселенной, именуемое «точкой сингулярности» [3]. В этой точке материя (по предположению) имеет бесконечную плотность, поэтому там не действуют никакие физические законы. Однако в непосредственной близости от точки сингулярности, хотя еще и не действуют законы общей теории относительности, однако уже действуют законы квантовой механики с ее принципом неопределенности. Именно благодаря этому возможны различного рода флуктуации материи, в том числе и флуктуации ее первоначального состояния – квантового вакуума, благодаря которым стало возможным возникновение нашей Вселенной. С точки зрения современной релятивистской космологии, а также синергетики без неопределенности и случайности, этих двух макрорегуляторов динамики всех неравновесных материальных систем и процессов от микромира до мегамира, возникновение и дальнейшая эволюция нашей Вселенной принципиально невозможны. Как говорит по этому поводу Ст. Хокинг, «Все свидетельствует в пользу того, что Господь Бог – завзятый игрок» [14, с.87] и «Вселенная постоянно бросает кости, чтобы выяснить что случится дальше» [14, с.88]. Согласно теории Большого взрыва в первую эпоху эволюции Вселенной от начала взрыва до времени 10^-43 сек, которая называется планковской эрой, не действуют никакие известные современной науке физические законы. Они начинают действовать только со времени 10^-43 сек существования Вселенной. И это уже известные законы квантовой механики и физики элементарных частиц, благодаря которым за время 10^-43 сек – 10^-35сек первичный баланс вещества и антивещества благодаря случайности склонился в пользу вещества, и затем началась последующая эволюция материи, которая уже через 1 млрд лет приведет к образованию в нашей Вселенной звезд и протогалактик, а еще через 14 млрд лет – возникновению первых биологических молекул и первичных форм жизни в Космосе [3].

Третьим методом введения исходных объектов теории является их введение с помощью неявных определений через систему аксиом.

Введение исходных теоретических объектов с помощью неявных определений. Этот метод состоит во введении и определении свойств исходных объектов с помощью системы аксиом теории, в которых упоминаются их имена. Он имеет ограниченное применение и используется только в математике и логике при построении в них формализованных теорий. Впервые, правда, хотя и неосознанно, этот метод был использован Н.И. Лобачевским при построении им своей гиперболической неевклидовой геометрии. Неслучайно наш великий соотечественник назвал свою геометрию «воображаемой». Дело в том, что понятие «прямая», «окружность», «прямой» «угол», «параллельная линия», хотя и фигурировали в аксиомах в аксиомах геометрии Лобачевского, однако имели совсем не тот смысл и значения, которые у них были в геометрии Эвклида. Впоследствии Б. Риман, построивший новую, отличную от Лобачевского неевклидову геометрию (так называемую эллиптическую), уже сознательно использовал этот чисто формальный подход при построении своей теории. Этот же подход использовался и при построении так называемой общей римановой геометрии, где кривизна плоскостей и линий была уже величиной переменной. Но особенно четким примером введения исходных идеальных объектов теории было формальное построение Д. Гильбертом в конце XIX в. эвклидовой геометрии [2].

Еще раз подчеркнем, что неявное введение в теорию ее исходных идеальных объектов имеет место отнюдь не при всяком аксиоматическом способе построения теории, а только при ее построении формально-аксиоматическим методом. Вот, как сам Гильберт охарактеризовал введение объектов эвклидовой геометрии при формально-аксиоматическом способе ее построения: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем A, B, C,…; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c,…; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем α, β, γ,…; точки называются также элементами линейной геометрии, точки и прямые – элементами плоской геометрии, точки, прямые и плоскости – элементами пространственной геометрии…Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определенных соотношениях и обозначаем эти соотношения различными словами, как-то: «лежать», «между», «конгруэнтный», «параллельный», «непрерывный». Точное и для математических целей полное описание этих соотношений достигается аксиомами геометрии» [2, с. 56]. Пока введение таких исходных идеальных объектов эвклидовой геометрии, как точка, прямая и плоскость еще нельзя считать полностью заданными. Введение этих идеальных объектов становится окончательно заданным только после формулировки всех аксиом эвклидовой геометрии, в которых встречаются имена этих идеальных объектов.

При этом именно Д. Гильберту удалось показать, что для полного описания всех свойств точки, прямой и плоскости как исходных объектов эвклидовой геометрии требуется не пять, как это было у Эвклида, а двадцать независимых друг от друга аксиом («или исходных положений») для последующего, чисто логического развертывании всего содержания этой теории. Неявное определение содержания таких исходных объектов геометрической теории, как «точка», «прямая» и «плоскость» с помощью соответствующей системы аксиом означает то, что под «точкой», «прямой», и «плоскостью» мы имеем право и должны понимать то, и только то, что сказано о них во всей системе аксиом. С содержательной точки зрения это могут быть любые объекты (теоретические или идеальные), но при одном обязательном условии: их свойства должны удовлетворять всем требованиям, которые заданы системой аксиом. В частности, оказалось, что при неявном введении исходных объектов эвклидовой геометрии роль точки, прямой и плоскости могут выполнять не только привычные идеальные объекты геометрии Эвклида. Например, если под точкой понимать тройку чисел, под прямой – линейное уравнение определенного вида, а под плоскостью – линейное уравнение другого вида, то такое понимание точки, прямой и плоскости полностью удовлетворяет аксиомам формализованной системы эвклидовой геометрии. Именно такая интерпретация «точки», «прямой» и «плоскости» позволила Декарту создать свою аналитическую геометрию, в которой все геометрические положения переводились в соответствующие алгебраические уравнения. Далее. Если под точкой иметь в виду «шар определенного радиуса», под прямой «цилиндр того же радиуса и любой длины», а под плоскостью «параллелепипед толщиной в размер радиуса исходного шара», то для такого понимания точки, прямой и плоскости также выполняются все аксиомы геометрии Эвклида [4]. Наконец, А. Пуанкаре показал, что если под точкой иметь в виду эвклидову точку, прямыми – эвклидовы окружности, проходящие через выделенную точку, то для такого многообразия также оказываются верными все аксиомы геометрии Эвклида [4, с. 46, 47]. Таким образом, при неявном введении исходных идеальных объектов некоторой теории область их теоретической и эмпирической интерпретации оказывается практически неограниченной. Таким образом, формализованные математические теории и их идеальные объекты оказываются имеющими более высокий уровень абстракции и, соответственно, более общий характер, чем неформализованные математические теории. Конечно, построение формализованных математических теорий возможно только тогда, когда уже имеются соответствующие содержательные математические теории как прототипы формализованных теорий и одна из гарантированных областей их возможных интерпретаций. С другой стороны, только формализованные научные теории могут быть по-настоящему доказательными и полными по отношению к описанию всех свойств исходных идеальных объектов содержательной математической теории. В этом приращении научного знания, которое всегда имеет место при формализации любых содержательных математических теорий, заключается одно из главных достоинств метода формализации и оправдание сопутствующего ему метода введения исходных идеальных объектов теории. Но в структуре любой научной теории имеют место не только ее исходные объекты, но и производные от них теоретические объекты. Каковы же основные методы построения производных теоретических объектов?

Методы введения производных объектов теории

Существуют три основных метода введения производных объектов теории: 1) метод редукции; 2) метод итерации; 3) конструктивно-генетический метод.

Метод редукции. Этот метод конструирования производных теоретических объектов применяется при построении любых теорий, ибо он гарантирует логическую взаимосвязь и зависимость различных положений теории между собой и тем самым возможность построения теории как доказательной системы знания. Но универсальное значение метод редукции имеет лишь при построении теории аксиоматическим способом. Последнее оказалось возможным только в математике и логике. Первой удачной попыткой аксиоматического построения научной теории стала, как известно, геометрия Эвклида [11]. В этой теории имелось лишь два исходных теоретических объекта – точка и прямая. Все остальные объекты эвклидовой геометрии были получены в качестве логических комбинаций точек и прямых. Большинство производных объектов аксиоматической теории получается путем логической комбинации из других более простых по отношению к ним, но производных же, объектов. Из исходных объектов геометрии Эвклида (точка и прямая) сначала были построены такие наиболее простые ее производные объекты, как угол, прямой угол, треугольник, квадрат, окружность. Например, угол строился как фигура, полученная проведением расходящихся в разные стороны прямых линий, исходящих из одной общей точки. Прямой угол строился как прямые, расходящиеся из одной общей точки взаимно перпендикулярно друг другу. Треугольник строился как замкнутая фигура, образуемая пересечением трех прямых линий, принадлежащих одной плоскости, когда каждая из двух линий имели общей только одну точку. Квадрат строился и определялся как равносторонний четырехугольник, имеющий углы 90°. Наконец, окружность строилась с помощью циркуля, одна из ног которого находилась в неподвижной точке, а другая нога вращалась вокруг первой как своей оси и описывала некоторую замкнутую кривую, совершая один полный оборот. Определением же окружности было следующее: «окружность – это геометрическое место точек, равноудаленное от другой точки как их общего центра». Таким образом, такое производное понятие, как «окружность» определялось только через исходные понятия «точка» и «прямая». Это же имело место и при определении других производных понятий, о которых говорилось выше: угол, прямой угол, треугольник, квадрат. Логической формой закрепления соотношения исходных и производных объектов теории являются определения, и прежде всего родовидовые определения. Например, «квадрат – это четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами». Слово «это» в определении означает, что слова «квадрат» и «четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами» имеют одно и то же значение и поэтому взаимозаменимы (при желании) во всех возможных контекстах их использования. Далее, из одних, более простых производных объектов и понятий могут быть построены более сложные производные объекты и понятия. Например, такое производное понятие, как «равнобедренный треугольник» определяется уже не непосредственно, не через исходные понятия прямая и точка, а через производное понятие «треугольник». Это определение звучит так: «равнобедренный треугольник – это такой треугольник, боковые стороны которого равны». Формой логической связи более сложных и более простых производных понятий является, как правило, родовидовое определение, где в качестве родового понятия обычно выступает более простое производное понятие (в нашем примере это понятие «треугольник»). Видовым понятием, обозначающим более сложный производный объект, выступает понятие «равнобедренный треугольник». Из таких производных объектов, как «равнобедренный треугольник» или «окружность» могут быть, в свою очередь, построены еще более сложные производные геометрические объекты. Например, такие как «конус» или «шар», а из них еще более сложные и т.д. Но самое главное при аксиоматическом способе построения теории состоит в том, что в ней признаются законными (ее собственными) те, и только те объекты, которые могут быть построены из ее исходных объектов. Объекты, не редуцируемые к исходным объектам теории, не являются предметом ее рассмотрения, так как любые утверждения о них не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты в рамках аксиоматической теории. С другой стороны, идеальный объект теории может быть сколь угодно сложным (например, пространство 20 измерений) или даже неконструктивным, или вообще невообразимым (например, пространство бесконечного числа измерений). Но если объект сводим (редуцируем) к исходным идеальным объектам и понятиям теории, то он считается столь же законным в данной теории, как и ее более простые производные объекты. Таким образом, функция редукции всех возможных объектов теории только к ее исходным объектам состоит в том, чтобы обеспечить (гарантировать) возможность построения теории как логически доказательной системы знания. Этой же цели служит и метод итерации.

Метод итерации. Метод итерации состоит в построении производных объектов научной теории из ее исходных объектов, когда имеет место последовательное применение (путем повторения) некоторой элементарной операции сначала к ее исходным, а затем и производным объектам. В результате происходит порождение всего множества возможных объектов теории [4]. Метод итерации применяется в основном в арифметике, логике и теории множеств. Этим методом, например, создаются все числа натурального ряда как множество всех объектов такой теории, как арифметика натуральных чисел. Исходным идеальным объектом арифметики натуральных чисел является число 1 или 0 – это дело конвенции. А каждое другое ее число (производный объект) создаются путем прибавления единицы к предшествующему ему числу. Путем последовательного повторения (итерации) этой простейшей операции прибавления единицы к любому натуральному числу, начиная с исходного числа, создается весь натуральный ряд чисел как последовательно возрастающая их последовательность. Очевидно, что потенциально эта последовательность является бесконечной (хотя реально – всегда конечной), поскольку к любому сколь угодно большому натуральному числу в принципе (логически) всегда может быть прибавлена еще одна единица. Это означает, что потенциально число членов натурального ряда бесконечно и что в принципе не может существовать самого большого натурального числа. Как замечает по этому поводу Г. Вейль, натуральный ряд чисел создается как «многообразие возможного, развертывающегося путем итерации и простирающегося в бесконечность» [1, c. 13]. Аналогично, по Вейлю, создается и такой производный объект математики, как пространство, а именно как «конструктивное задание всех возможных местоположений (places)» [1, c. 14]. Методом итерации также создаются такие производные объекты математики, как любые рациональные числа (числа вида m, деленное на n, где m и n – любые натуральные числа) и любые действительные числа (числа вида m, n, k, c,…, где m, n, k, c – любые натуральные числа, а «…» означает открытый характер последовательности натуральных чисел после запятой в действительном числе). И это притом, что, как строго доказано, количество действительных чисел не просто бесконечно как количество натуральных или рациональных чисел, но еще и несчетно. То есть бесконечное множество действительных чисел «больше» по своей мощности бесконечного множества натуральных или рациональных чисел, которые счетны и равномощны по количеству своих элементов. Методом итерации создаются также все производные объекты таких математических и логических теорий, как теория множеств (ее исходным объектом является либо пустое множество, либо множество, состоящее только из одного элемента), все алгебраические теории, теория вероятности, а также все формализованные теории математики и логики. Конечно, метод итерации также является, безусловно, редукционистским способом отношения производных объектов некоторой теории к ее исходным идеальным объектам. И поскольку, как это было строго показано в математике уже в конце XIX в., исходные понятия всех математических теорий могут быть применены в понятиях арифметики и алгебры, а все понятия последних, в конечном счете, могут быть определены в понятиях арифметики натуральных чисел, постольку вся математика в принципе представляет собой глобальную конструкцию различного рода идеальных объектов и их взаимосвязей, основу которой составляет арифметика натуральных чисел. Однако все же имеются существенные различия между методом индукции и методом итерации. Они стоят в следующем. Во-первых, метод редукции опирается при построении производных объектов на работу воображения (продуктивного воображения») – Кант, тогда как метод итерации на глобальную интуицию, на способность различения и отождествления минимальных порций когнитивной информации. Во-вторых, метод редукции допускает больше свободы в конструировании производных объектов теории, чем метод итерации. В-третьих, метод редукции, в отличие от метода итерации, может приводить к введению в теорию неконструктивных объектов (например, актуальной бесконечности в теории множеств, сингулярности в космологии, актуальной бесконечной прямой линии, непредикативных множеств и функций (множеств и функций, включающих себя в качестве своих элементов или аргументов) и т.д.). Метод итерации беднее по своим конструктивным возможностям метода редукции, но зато он практически гарантирует невозможность введения в теорию неконструктивных сущностей. Введение последних часто приводит теорию к логическим противоречиям (как это было, например, с теорией множеств Кантора, или с понятием бесконечной Вселенной в космологии, или с понятиями абсолютного пространства и времени в классической физике, или с понятием непрерывного характера энергии, или с понятием абсолютной истины в эпистемологии и т.д.). Сравнивая методы редукции и итерации, справедливо утверждать, что метод итерации является более жестким по сравнению с методом редукции в сведении производных понятий теории к ее исходным. Но и тот и другой методы сходны в том, что не допускают использования в производных объектах и понятиях теории такого содержания, которого нет в ее исходных объектах и понятиях. Именно благодаря этому все теории, построенные с помощью этих методов, имеют строго аналитический характер, а обоснование их истинности не требует выхода за пределы самих теорий. Они, так сказать, самодостаточны именно благодаря рассмотренным выше методам своего построения. И понятно, что такими теориями являются в основном математические и логические теории. Совсем другое дело – конкретно-научные, естественные и социально-гуманитарные теории, которые призваны быть моделями определенных аспектов объективной действительности и которые поэтому не могут быть чисто аналитическими и замкнутыми по отношению к миру «вещей в себе» (Кант). Поэтому в этих теориях основным методом построения производных методов и понятий является конструктивно-генетический метод.

Главным отличием конструктивно-генетического метода введения производных идеальных объектов теории от методов редукции и итерации является его синтетический характер, т.е. добавление к их исходным объектам нового содержания при построении производных объектов теории [13]. При этом добавление нового содержания должно отвечать одному непременному условию: оно должно быть относительно небольшим, чтобы быть полностью контролируемым со стороны мышления [1]. Примерами введения производных идеальных объектов конструктивно-генетическим методом могут служить следующее: конструирование такого объекта классической механики, как идеальный (математический) маятник; конструирование в молекулярно-кинетической теории газов Больцмана такого ее производного объекта, как идеальный газ; конструирование в политической экономии такого ее производного идеального объекта, как полностью эквивалентный обмен товаров; идеальная жидкость в гидродинамике; магнитный монополь в квантовой электродинамике; квантовый вакуум в квантовой механике и др. Например, исходным элементом такого производного объекта механики, как математический маятник является вертикальная прямая линия (эмпирической реализацией которой является тонко натянутая нить (или упругий стержень), имеющая некоторый вес (подвешенный на конце нити некоторый груз)). Но к этому объекту в качестве одного из его новых свойств добавляется колебательное движение. Это движение идеального стержня определенной массы, вызванное действием так называемой упругой силы, заставляющей стержень каждый раз возвращаться в исходное положение после отклонения от него. Свойства колебательного движения тел и существования упругой силы непосредственно не содержатся в исходных понятиях механики Ньютона (материальная точка, инерция, движение, инерция, скорость, ускорение, пространство, время, взаимодействие, сила, масса и др.). Такой вид движения, как колебание тела под действием упругой силы приходится специально вводить в качестве нового, дополнительного свойства при построении теории идеального маятника [13]. Введение производных идеальных объектов теории на основе ее исходных объектов с помощью конструктивно-генетического метода имеет своим неизбежным следствием те обстоятельства, что теория математического маятника: а) не может быть выведена чисто логически из механики Ньютона, и б) является не частным случаем теории классической механики, а ее конкретизацией. Именно конструктивно-генетический метод введения производных объектов и понятий составил, на наш взгляд, «логический нерв» разработанной К. Марксом концепции построения политэкономической теории методом восхождения от абстрактного к конкретному в отличие от ее построения методом принципов [5]. Аналогично Больцман таким же образом сконструировал понятие идеального газа на основе понятий механики [5]. У него идеальный газ – это множество материальных точек классической механики. Но Л. Больцман ввел для характеристики идеального газа такие новые свойства молекул газа в качестве материальных точек, как их абсолютную упругость (абсолютную твердость) и абсолютно свободное, хаотическое движение материальных точек с вероятностной мерой распределения скоростей их движения в закрытом объеме. Поэтому молекулярно-кинетическая теория газов – это не просто применение понятий, законов и принципов классической механике к описанию поведения молекул газа, но и конкретизация и развитие содержания классической механики. И то, что современник Больцмана Э. Мах не просто не принял, он яростно «атаковал» молекулярно-кинетическую теорию газов, считая ее лженаучной теорией, было лишь следствием его позитивистских взглядов на научную теорию как на хотя и общее, но все же эмпирическое знание. Ярким примером применения генетически-конструктивного метода в социально-гуманитарных науках может служить построение такого производного идеального объекта классической политэкономии, как эквивалентный обмен товаров. Такой обмен означает обмен товаров строго в соответствии с их стоимостью, т.е. общественно необходимым временем для их производства. Ясно, что понятие «строго эквивалентный обмен товаров» опирается на такие исходные понятия теоретической политэкономии, как товар и обмен, но в него вводится такое новое свойство как строго эквивалентный обмен, которое не содержится в исходных понятиях политэкономии, рассчитанных на максимально широкую применимость при описании экономической реальности [9]. Введение производного объекта «абсолютно эквивалентный обмен» явилось дальнейшим развитием экономической теории и необходимым условием создания трудовой теории стоимости Смита-Рикардо как описания сущности рыночного типа экономики и справедливого капитализма.

В чем преимущества и в чем недостатки генетически-конструктивного метода введения производных идеальных объектов научной теории по сравнению с методами редукции и итерации. Почему генетико-конструктивный метод является основным методом введения производных идеализаций в естествознании и социальных науках, а методы редукции и итерации – в математике и логике?

Ответ на первый вопрос состоит в следующем. Главным преимуществом генетически-конструктивного метода по сравнению с методами редукции и итерации является способность мысленной репрезентации содержания сколь угодно сложных и развивающихся систем, вводя постоянно новое содержание, дополнительное к содержанию исходных объектов, но при этом полностью контролируемое мышлением. Методы редукции и итерации является методами построения производных идеальных объектов из исходных для репрезентации относительно простых и непересекающихся систем. Слабостью же генетически-конструктивного метода образования теоретических абстракций являются значительные риски, связанные с актами мысленного творчества и доверие к интеллектуальной интуиции как способу контроля мышления за содержанием все более богатых абстракций. Соответственно, отсутствие такого рода рисков является явным преимуществом методов редукции и итерации при конструировании производных теоретических объектов из исходных объектов теории.

Ответ на второй вопрос может быть дан такой. Естественные и социально-гуманитарные науки ориентированы (имеют своей установкой и интенцией) на познание «вещей в себе», объектов с достаточно богатым, независимым от сознания содержанием. Поэтому способом теоретической реконструкции таких объектов может быть только синтетический метод построения последовательности производных объектов теории из ее исходных объектов путем step by step. Но плохо контролируемый метод теоретической репрезентации «вещей в себе» ведет к введению разного рода схоластических, «метафизических» сущностей типа «теплород», «флогистон», «первоначальная модель атома Резерфорда-Бора» и др.

В математике же и логике более предпочтительным способом введения производных объектов теорий являются методы редукции и итерации, поскольку математика и логика не имеют дела с познанием «вещей в себе». Они имеют дело только с конструированием и описанием реальности, содержание которой может быть определено достаточно строго. Однако кроме необходимого различения всех идеальных объектов научных теорий на исходные и производные и установления соответствующих механизмов взаимосвязи между ними. Столь же важным условием построения научной теории является четкое различение и всех ее утверждений (высказываний) также на основные (исходные) и производные. Исходные или основные утверждения теории обычно называют «аксиомами» или «принципами», хотя иногда между ними и проводят различие как между двумя структурно различными элементами, полагая аксиомы содержательными высказываниями, отражающими специфику исследуемой области объектов, а принципы – более общими научными утверждениями, имеющими методологический характер. Производные же утверждения теории, которые зависят от ее исходных утверждений и базируются на них, часто называют «теоремами», «выводами», «конкретизациями» и др. Разбиение всех высказываний на исходные и производные является абсолютно необходимым, хотя, разумеется, и недостаточным условием построения научного знания в виде теории. Дело в том, что научные теории должны быть логически взаимосвязанными и логически организованными системами высказываний, ибо только в этом случае они могут быть логически доказательными системами знания. Любое доказательство (по определению) состоит из двух необходимых частей, представленных соответствующими высказываниями или их множествами. Одна часть – это высказывание, которое выступает в роли основания доказательства, а вторая – это логически выводимые из них высказывания (следствия). При этом каждое из этих множеств высказываний может состоять из любого числа высказываний от 1 до n. Столь же необходимым элементом структуры логического доказательства, а значит, и научной теории являются четко сформулированные правила, приемы, методы заданного перехода от оснований доказательства к его следствиям. В математических и логических теориях приемами такого перехода от исходных утверждений к производным являются законы и правила формальной логики, опирающиеся в процессе вывода, только на логическую форму высказываний [15]. В естественнонаучных же и социально-гуманитарных теориях переходы от оснований теории к их следствиям осуществляются и контролируются более сложным образом. Здесь учитывается не только форма, но и содержание как исходных высказываний теории, так и выводимых из них следствий [5].

1. Вейль Г. Математическое мышление [Текст] / Г. Вейль. – М., 1989.

2. Гильберт Д. Основания геометрии [Текст] / Д. Гильберт. – М.-Л., 1948.

3. Грин Б. Элегантная Вселенная [Текст] / Б. Грин. – М., 2004.

4. Каган В.Ф. Очерки по геометрии [Текст] / В.Ф. Каган. – М., 1963.

5. Лебедев С.А. Методы научного познания [Текст] / С.А. Лебедев. – М.: Альфа-М, 2014. – 272 с.

6. Лебедев С.А. Проблема универсального научного метода [Текст] / С.А. Лебедев, К.С. Лебедев // Новое в психолого-педагогических исследованиях. – 2015. – № 3. – С. 7–22.

7. Лебедев С.А. Концепции современного естествознания [Текст] / С.А. Лебедев. – М.: Юрайт, 2015. – 374 с.

8. Лебедев С.А. Философия науки: общие проблемы [Текст] / С.А. Лебедев. – М.: Издательство Московского университета, 2012. – 336 с.

9. Маркс К. Экономические рукописи 1857–1859 гг. [Текст] / К. Маркс, Ф. Энгельс // Собрание сочинений. – 2-е изд. – Т. 46.

10. Мах Э. Познание и заблуждение [Текст] / Э. Мах. – М., 2011.

11. Начала Эвклида [Текст]: пер. с греч. Д.Д. Мордухай-Болтовского. – Книги I–VI. – М.-Л., 1948.

12. Ньютон И. Математические начала натуральной философии [Текст] / И. Ньютон. – М., 1989.

13. Степин В.С. Теоретическое знание [Текст] / В.С. Степин. – М., 2000.

14. Хокинг Ст. Мир в ореховой скорлупке [Текст] / Ст. Хокинг. – М., 2007.

15. Черч А. Введение в математическую логику [Текст] / А. Черч. – М., 2012.

16. Эйнштейн А. Эволюция физики [Текст] / А. Эйнштейн, Л. Инфельд. – М., 1965.