Белгород, Белгородская область, Россия
Белгород, Белгородская область, Россия
Исследуются динамические режимы и бифуркации в импульсной системе управления нагревательной установкой, состояние которой описывается дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями. Показано, что рассматриваемая система может демонстрировать чрезвычайно большое многообразие нелинейных явлений и бифуркационных переходов, таких как, квазипериодичность, мультистабильное поведение, хаотизация колебаний через классический каскад бифуркаций удвоения периода и бифуркации граничного столкновения.
нагревательная установка, тепловой объект, теплопроводность, тигель, дробный порядок, закон управления, полевой транзистор, широтно-импульсная модуляция, бифуркация.
Введение. Технология выращивания монокристаллов представляет собой процесс управляемой кристаллизации, при котором качество растущего кристалла определяется точностью управления условиями фазовых переходов [1]. При выращивании кристалла синтетического сапфира необходимо обеспечить закон изменения температуры в тигле от 25 °С до 2050 °С с определённой степенью наращивания и спада температуры, что предполагает применение автоматической системы управления с возможностью программного задания изменения температуры в тигле с заданной точностью.
Теплотехнический объект, нагревательная установка, состоит из следующих зон: внутреннего печного пространства 1, заполненного воздухом или газом; нихромового электронагревателя 2, равномерно распределённого во внутреннем слое футеровки 3, состоящей из магнезитового кирпича и внешнего слоя футеровки 4 из минеральной ваты в цилиндрическом стакане из оцинкованной стали (рис. 1). Геометрическая форма печи – ограниченный цилиндр, сверху и снизу которого располагается футеровка.
Для решения задачи синтеза закона управления классическим методом аппроксимации с использованием свободно распространяемой библиотеки FOMCON по экспериментальной кривой разгона теплового объекта определена передаточная функция нагревательной установки следующего вида:
(1)
где – коэффициент передачи объекта, T1,T2 – постоянные времени объекта [2, 3].
Рис. 1. Нагревательная установка
Используемые в настоящее время регуляторы температуры с тиристорными преобразователями существенно искажают форму кривой тока, потребляемого из сети, приводя к возникновению в питающей сети несинусоидальных режимов.
Для устранения указанных недостатков на базе патента авторов [4] разработана и реализована система управления нагревателем высокой мощности, построенная на основе высокочастотного преобразователя электрической энергии с широтно-импульсным регулированием. Повышение энергетических показателей с упрощением управления технологическим объектом достигается за счет использования в качестве ключевых элементов преобразователя полевых транзисторов с применением дробных законов управления широтно-импульсной модуляцией, улучшающих качество системы [5–7].
Однако в нелинейных импульсных системах при вариации параметров объекта управления, а также воздействии внешних возмущений возможно возникновение сложных нелинейных явлений, включая колебания на пониженных частотах, кратных частоте модуляции, квазипериодические и хаотические режимы [8, 9].
Следствием этого является многократное увеличение амплитуды колебаний температуры нагревательной установки, снижение точности регулирование и нарушение хода технологического процесса.
Целью данной работы является численное исследование бифуркационных явлений в динамике импульсной системы управления нагревательной установкой.
- Постановка и аналитическое решение
задачи
Уравнение движения системы управления нагревательной установкой, непрерывная линейная которой описывается передаточной функцией (1), имеет вид
(2)
где – температура в нагревательной установке;
,
– сигналы на входе и выходе широтно-импульсного модулятора, соответственно;
– коэффициент передачи непрерывной линейной части системы; T1, T2 – постоянные времени.
Введем ,
и перепишем уравнение движения (2) в нормальной форме Коши:
(3)
Выходной сигнал модулятора
(4)
где T0 – период модуляции, τk – ширина импульса, определяемая видом импульсной модуляции. В работе рассматривается система с широтно-импульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1) и пропорциональным корректирующим звеном в цепи обратной связи. Тогда входной сигнал модулятора определяется выражением
Здесь Vref – сигнал задания температуры нагревательной установки, β – коэффициент передачи датчика температуры, α – коэффициент усиления.
При ШИМ-1 величина τk находится как:
где Vs – опорный сигнал модулятора.
Введем обозначения
,
,
. (5)
Уравнения движения (3) примут вид:
(6)
Исследование динамической системы (6) можно свести к изучению свойств двумерного кусочно-гладкого отображения:
,
,
,
.
Здесь ширина импульса τk согласно (5) определяется
где – матрица - строка.
В исследованиях были выбраны следующие значения параметров модели:
= 10240 c2;
= 352 c; T0 = 10 с; K = 327.8 °C/(B·c); U0= 24 В – напряжение питания; β = 0.01 B/°C; Vs = 5 B; α > 0; Vref = 5 B.
Период T периодического движения динамической системы (6) в общем случае является кратным периоду внешнего воздействия T0: T = mT0, m = 1, 2, . . . . Движение с таким периодом будем называть m-циклом или циклом периода m.
2. Бифуркационный анализ
При проведении бифуркационного анализа в качестве варьируемых параметров были выбраны напряжение питания U0 и коэффициент усиления α. На рис. 2 приведены однопараметрические бифуркационные диаграммы, рассчитанные для разных значений U0 при изменении коэффициент усиления α.
Рис. 2. Бифуркационные диаграммы при различных параметрах U0 и T0, Vs = 5 B, Vref = 5 B
(соответствует уставке 500 °С)
При малых значениях U0 система демонстрирует квазипериодическое поведение с ярко выраженной мультистабильностью. На рис. 2, а изображена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая рождение замкнутой инвариантной кривой, отвечающей двухчастотному квазипериодическому режиму. Как следует из рис. 2, а, при увеличении коэффициент усиления α 1 – цикл теряет устойчивость через бифуркацию Неймарка - Саккера. Потеря устойчивости приводит к возникновению устойчивой замкнутой инвариантной кривой, при этом 1 – цикл продолжает существовать, но становится неустойчивым фокусом. Как известно, характер движения на замкнутой инвариантной кривой определяется числом вращения, когда оно иррационально, точки отображения плотно заполняют инвариантную кривую и динамика становится квазипериодической.
При рациональном числе вращения на инвариантной кривой имеется четное число периодических орбит, половина из которых устойчивые, а половина – седловые, а сама инвариантная кривая образована замыканием неустойчивых многообразий седловых циклов. На рис. 2, а окно с периодической динамикой отвечает области устойчивости резонансного 4 – цикла (области существования замкнутой инвариантной кривой с числом вращения 1:4). При увеличении α резонансный 4 – цикл претерпевает каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся хаотизацией колебаний, при этом замкнутая инвариантная кривая разрушается. Численные эксперименты показали, что с увеличением U0 область устойчивости 1 – цикла уменьшается.
Бифуркационная диаграмма, изображенная на рис. 2, б, иллюстрирует типичный сценарий рождения сосуществующих аттракторов. При изменении коэффициента усиления α жестко возникает устойчивый 3 – цикл. При дальнейшем увеличении α реализуется бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся хаотизацией колебаний. По этой причине в широком диапазоне изменения параметров наряду с устойчивым 1 – циклом существуют либо устойчивые периодические колебания, либо хаотические режимы. То есть в зависимости от начальных условий может устанавливаться или периодическое, или хаотическое движение.
На рис. 2, в показан случай субкритического учетверения периода 1 – цикла через так называемую бифуркацию граничного столкновения («border - collision bifurсation», см., например, [8–15]). На рис. 2, г представлен пример рождения 4-х полосного хаотического аттрактора (four-band chaotic attractor) через border-collision flip bifurсation [8, 15].
Заключение. В статье представлены результаты бифуркационного анализа широтно-импульсной системы управления нагревательной установкой.
Выявлено, что при малых значениях напряжения питания системы демонстрирует квазипериодическое поведение с ярко выраженной мультистабильностью [11], но при этом система имеет достаточно большой запас устойчивости по коэффициенту усиления.
Однако, при увеличении напряжения питания область устойчивости 1 – цикла (рабочего режима) сужается, и потеря устойчивости происходит через бифуркацию граничного столкновения, приводящая к внезапной хаотизации колебаний.
*Работа выполнена в рамках Программы развития опорного университета на базе БГТУ им. В.Г. Шухова.
Авторы выражают благодарность проф. Жусубалиеву Ж.Т. за обсуждение результатов исследований и полезные комментарии.
1. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир, 1974. 540 с.
2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.
3. Fractional-order Modeling and Control. [Электронный ресурс]. URL: http://fomcon.net/ (дата обращения: 20.07.2017).
4. Пат. № 2612311 Российская Федерация, МПК G05D 23/22. Устройство регулирования температуры электронагрева / Гольцов Ю. А., Жусубалиев Ж. Т., Кижук А. С., Коленченко В. В., Рубанов В. Г., заявитель и патентообладатель БГТУ им. В.Г.Шухова. – № 2016113209, заявл. 06.04.2016, опубл. 06.03.2017. Бюл. № 7. 5 с.
5. Gol'tsov Yu.A., Kizhuk A.S., Rubanov V.G. Control of high power thermal object in the class of fractional order regulators // International Journal of Pharmacy & Technology. 2016. Т. 8. №.4. С. 24790–24800.
6. Рубанов В.Г., Кижук А.С, Гольцов Ю.А., Кариков Е.Б. Реализация алгоритма аппроксимации дробного интегродифференцирования с оценкой ошибки // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2015. № 2. С. 148–151.
7. Кижук А.С., Гольцов Ю.А. Микропроцессорная система автоматического управления тепловым режимом технологического процесса выращивания кристалла сапфира // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2014. №11. С. 42–49.
8. Мощный полевой транзистор IRF3205. Техническая документация. [Электронный ресурс]. URL: www.irf.com (дата обращения: 20.07.2017).
9. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003. pp: 363.
10. Banerjee S., Verghese G.C. Nonlinear Phenomena in Power Electronics. New York, USA: IEEE Press, 2001.
11. Bernardo Di.M., Feigin M. I., Hogan S. J., Homer M. E. Local Analysis of C -bifurcations in n-dimensional Piecewise-Smooth Dynamical Systems // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. 10(1). Pp. 1881–1908.
12. Nusse H.E., Yorke J. A. Border-Collision Bifurcations Including “Period Two to Period Three” for Piecewise Smooth Systems // Physica D. 1992. 57. Pp. 39–57.
13. Banerjee S., Ranjan P., Grebogi C. Bifurcations in Two-Dimensional Piecewise Smooth Maps – Theory and Applications in Switching Circuits // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2000. 47(5). Pp. 633–643.
14. Zhusubaliyev Zh.T., Soukhoterin E.A., Mosekilde E. Border-Collision Bifurcations and Chaotic Oscillations in a Piecewise-Smooth Dynamical System // Int. J. Bifurcation Chaos. 2001. 11(12). Pp. 1193–1231.
15. Bernardo Di.M., Budd C.J., Champneys A.R., Kowalczyk P. Piecewise-smooth Dynamical Systems: Theory and Applications, in: Applied Mathematical Sciences. Springer. 2008. Vol. 163. Pp. 483.
16. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Multi-stability and Hidden Attractors in a Multilevel DC/DC Converter // Mathematics and Computers in Simulation.
