Омск, Омская область, Россия
Омск, Омская область, Россия
Омск, Омская область, Россия
В работе приводится исследование особенности отображения ортогональным проецированием гиперповерхности, заданной параметрическими уравнениями, в 4-мерном пространстве. На основе этого исследования предложены с единых позиций три подхода к определению дискриминанты гиперповерхности. Так, определены условия, которым удовлетворяют дискриминантное множество и криминанта исследуемой гиперповерхности. Получены зависимости, устанавливающие связь параметров гиперповерхности в точках ее дискриминанты. Они используются для определения особенности отображения гиперповерхности аналитическими методами в общем виде. Сложность такого подхода (первого) заключается в том, что уравнение, связывающее параметры гиперповерхности, содержит ее дифференциальные характеристики и часто в приложениях является трансцендентным, что вызывает определенные затруднения при его решении. Получены зависимости, при выполнении которых дискриминанта гиперповерхности имеет ребро возврата. Проведено исследование сечений гиперповерхности гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям. Последние содержат координатную ось, вдоль которой выполняется отображение гиперповерхности. Установлено, что кривые, получаемые в этих сечениях, имеют экстремальные точки, принадлежащие дискриминанте гиперповерхности. Такое свойство используется для расчета точек дискриминанты гиперповерхности численными методами без использования дифференциальных характеристик гиперповерхности и является базой второго подхода к решению поставленной задачи. Показано также применение 3D-моделирования для исследования различных сечений гиперповерхности, а также ее дискриминанты, что представляет третий подход к исследованию. Все три подхода, имеющих общую основу, могут использоваться как самостоятельно, так и дополнять друг друга при определении огибающей однопараметрического семейства поверхностей. В качестве примера рассмотрена гиперповерхность, образованная семейством сфер. На основе изложенных результатов получены уравнения, определяющие дискриминанту гиперповерхности и соответствующую огибающую этого семейства, а также различные сечения. Приведенные уравнения использованы для создания полигональных 3D-моделей дискриминанты гиперповерхности и некоторых ее сечений.
особенность отображения, гиперповерхность, дискриминанта, огибающая, геометрическое моделирование.
1. Введение
Понятие огибающей семейства линий или поверхностей широко используется в различных приложениях. В теории зацеплений огибающие используется для определения сопряженных поверхностей в зубчатых зацеплениях.
1. Арнольд В.И. Особенности гладких отображений [Текст] / В.И. Арнольд // Успехи мат. наук. — 1968. — Т. 23. — Вып. 1. — С. 4–44.
2. Брус Дж. Кривые и особенности [Текст] / Дж. Брус, П. Джиблин. — М.: Мир, 1988. — 262 c.
3. Быков В.И. Определение контурной линии на поверхности, заданной уравнением в неявной форме [Текст] / В.И. Быков, В.В. Найханов // В сб.: Тезисы Всесоюзного научно-методического симпозиума «Применение систем автоматизированного проектирования конструкций в машиностроении». — Ростов н/Д, 1983. — С. 40–41.
4. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 2002. — 472 с.
5. Залгаллер В.А. Теория огибающих [Текст] / В.А. Залгаллер. — М.: Наука, 1975. — 104 с.
6. Карачаровский В.Ю. Геометрическое моделирование формообразования пространственных поверхностей при винтовом относительном движении [Текст] / В.Ю. Карачаровский, С.А. Рязанов // Проблемы геометрического моделирования в автоматизированном проектировании и производстве: 1-я Междунар. науч. конф. М.: МГИУ, 2008. — С. 143–146.
7. Козлов Ю.В. Моделирование процесса фрезерования зубчатых колес и оценка их кинематических погрешностей [Текст] / Ю.В. Козлов // Вестник Белорусско-Российского университета. — 2008. — № 3. — С. 82–89.
8. Короткий В.А. Геометрическое моделирование поверхности посредством ее отображения на четырехмерное пространство [Текст] / В.А. Короткий // Омский научный вестник. — 2015. — № 137. — С. 8–12.
9. Короткий В.А. Компьютерное моделирование кинематических поверхностей [Текст] / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова, Е.А. Усманова // Геометрия и графика. — 2015. –Т. 3. — № 4. — С. 19–26. — DOI: 10.12737/17347.
10. Короткий В.А. Компьютерное моделирование фигур четырехмерного пространства [Текст] / В.А. Короткий // Вестник компьютерных информационных технологий. — 2014. — № 7. — С. 14–20. — DOI: 10.14489/ vkit.2014.07.pp.014-020.
11. Лашнев С.И. Расчет и конструирование металлорежущих инструментов с применением ЭВМ [Текст] / С.И. Лашнев, М.И. Юликов. — М.: Машиностроение, 1975. — 392 с.
12. Литвин Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений [Текст] / Ф.Л. Литвин.– М.: Наука, 1968. — 584 с.
13. Ляшков А.А. Моделирование формообразования винтовых поверхностей деталей рейкой и червячной фрезой [Текст] / А.А. Ляшков // Металлообработка. — 2011. — № 1. — С. 2–7.
14. Ляшков А.А. Компьютерное моделирование процесса формообразования дисковой фрезой деталей с винтовой поверхностью [Текст] / А.А. Ляшков // СТИН. — 2012. — № 1. — С. 26–29.
15. Несмелов И.П. Недифференциальный подход к решению задачи огибания [Текст] / И.П. Несмелов, В.И. Гольдфарб // В сб. «Механика машин». — Вып. 61. — 1983. — С. 3–10.
16. Платонова О.А. Особенности проекций гладких поверхностей [Текст] / О.А. Платонова // Успехи мат. наук. — 1984. — Т. 39. — Вып. 1. — С. 149–150.
17. Платонова О.А. Особенности проектирований гладких поверхностей [Текст] / Успехи. мат. наук. — 1979. — Т. 34. — Вып. 2. — С. 3–38.
18. Платонова О.А. Проекции гладких поверхностей [Текст] / О.А. Платонова // Тр. Семинара им. И.Г. Петровского. — 1984. — Т. 10. — С. 135–149.
19. Пшеничный Б.Н. Необходимое условие экстремума [Текст] / Б.Н. Пшеничный. — М., 1969. — 151 с.
20. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии [Текст] / П.К. Рашевский. — М.: Гос. изд-во техн.-теор. литер., 1956. — 420 с.
21. Сальков Н.А. Геометрическое моделирование и начертательная геометрия [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. –Т. 4. — № 4. — С. 31–40. — DOI: 10.12737/22841
22. Толстов Г.П. К отысканию огибающей семейства плоских кривых [Текст] / Г.П. Толстов // УМН. — 1952. — Т. 7. — Вып. 4. — С. 173–179.
23. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума [Текст] / Д.Дж. Уайлд. — М.: Наука, 1967. — 267 с.
24. Шевелева Г.И. Теория формообразования и контакта движущихся тел [Текст] / Г.И. Шевелева. — М.: Мосстанкин, 1999. — 494 с.
25. Litvin F.L. Alfonso Fuentes Geometry and Applied Theory [Текст] / F.L. Litvin. — Cembridge University Press, 2004. — 816 pp.
26. Schulz T. Envelope Computation by Approximate Implicitization / T. Schulz, B. Juttler // Industrial Geometry. — 2010. — 20 p. — URL: http://www.industrial-geometry.at
